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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第二课时）
1. 如图，已知 AB ＝ AC ＝10， BD 是边 AC 上的高， CD ＝2，则
BD 的长为（ B ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
（第1题图）
B
2. 如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底
端4m处，则木杆折断之前的高度是（ D ）
A. 5m B. 6m
C. 7m D. 8m
（第2题图）
D
3. 如图，一艘小船从点 A 横渡一条河时，由于受到水流的影
响，实际上岸地点 C 与欲到达地点 B 相距60m.若小船在水中实
际行驶了100m，则这条河宽为（ B ）
A. 60m B. 80m
C. 100m D. 120m
（第3题图）
B
4. 中国古代的“赵爽弦图”如图所示.已知△ ABH ，△ BCG ，
△ CDF 和△ DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和
EFGH 都是正方形.若 AB ＝10， AH ＝6，则 EF 的长为 .
（第4题图）
2
5. 如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形.其
中两个正方形的面积 S1＝22， S2＝14， AC ＝10，则 S3＝ ， AB ＝ .
（第5题图）
36
8
6. 如图，有两棵树，一棵高9m，另一棵高4m，两树相距12m.
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少飞
了 m.
（第6题图）
13
7. 如图，这是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期
的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国
古代的数学成就.它由四个全等的直角三角形与一个小正方形组
成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边长
分别为 a ， b ，斜边长为 c .请你运用此图形说明勾股定理： a2＋
b2＝ c2.
解：由图可知， S大正方形＝4× ab ＋（ b － a ）2＝2 ab ＋ b2＋ a2－2 ab ＝ a2＋ b2.又因为 S大正方形＝ c2，所以 a2＋ b2＝ c2.
8. 如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子
垂到地面还多2m.当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距8m
后，发现下端刚好接触地面.请求出旗杆的高度.
解：设旗杆的高度为 x m，则绳子的长度为（ x ＋2）m.根据勾股定理，得 x2＋82＝（ x ＋2）2.解得 x ＝15，故旗杆的高度为15m.
9. 下图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三
角形拼接而成，记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、正方形
MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3.若 S1＋ S2＋ S3＝18，则 S2的值
是 .
6
【解析】设每个直角三角形的较长直角边为 a ，较短直角边为
b .因为 S1＋ S2＋ S3＝18，所以（ a ＋ b ）2＋（ a2＋ b2）＋（ a －
b ）2＝18.所以（ a2＋2 ab ＋ b2）＋（ a2＋ b2）＋（ a2－2 ab ＋
b2）＝18.所以3（ a2＋ b2）＝18.所以 a2＋ b2＝6.所以 S2＝ a2＋
b2＝6.故答案为6.
10. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏.如图，按照探宝
图，他们从门口 A 处出发，先往东走8km，又往北走2km，遇到
障碍物后又往西走3km，再向北走6km，然后往东拐，仅走了
1km，就找到了宝藏，则门口 A 到藏宝点 B 的直线距离
是 km.
10
【解析】如图，过点 B 作 BC ⊥ AF ，垂足为 C ，延长 ND 交 AC
于点 M . 由图可知， AC ＝ AF － MF ＋ MC ＝8－3＋1＝6（km）， BC ＝6＋2＝8（km）.在Rt△ ACB 中， AB2＝ AC2＋
BC2＝62＋82＝100，所以 AB ＝10km（负值舍去）.所以从门口
A 到藏宝点 B 的直线距离是10km.故答案为10.
11. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同.当
两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放时，也可以用面积
法来验证勾股定理，请完成验证过程.（提示： AC 和 BD 都可以
分割四边形 ABCD ）
答图
答图
解：如答图，连接 BD ，过点 D 作 DF ⊥ BC 交 BC 的延长线于点
F ，则 DF ＝ EC ＝ b － a .
一方面， S四边形 ABCD ＝ S△ ACD ＋ S△ ABC ＝ b2＋ ab ；
另一方面， S四边形 ABCD ＝ S△ ADB ＋ S△ DCB ＝ c2＋ a （ b － a ）.
所以 b2＋ ab ＝ c2＋ a （ b － a ）.
所以 a2＋ b2＝ c2.
12. （选做）如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， AB ＝
5cm， AC ＝3cm.动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以1cm/s的速度
移动，设运动的时间为 t （s）.
（1）求边 BC 的长；
解：（1）在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
BC2＝ AB2－ AC2＝52－32＝16，
所以 BC ＝4 cm（负值舍去）.
（2）连接 AP ，当△ ABP 为直角三角形时，求 t 的值.
（2）由题意，得 BP ＝ t cm.
当△ ABP 为直角三角形时，有以下两种情况：
图1
①当∠ APB ＝90°时，如图1所示.
因为点 P 与点 C 重合，
所以 BP ＝ BC ＝4cm，
所以 t ＝4÷1＝4（s）；
②当∠ BAP ＝90°时，如图2所示.
则 CP ＝（ t －4）cm，∠ ACP ＝90°.
在Rt△ ACP 中，由勾股定理，得
AP2＝ AC2＋ CP2.
图2
在Rt△ ABP 中，由勾股定理，得
AP2＝ BP2－ AB2.
所以 AC2＋ CP2＝ BP2－ AB2，
即32＋（ t －4）2＝ t2－52，
解得 t ＝ .
综上所述，当△ ABP 为直角三角形时， t 的值为4或 .
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第一章 勾股定理
回顾与思考
1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ C ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
2. 在△ ABC 中，已知 AC ＝15， AB ＝17，∠ C ＝90°，则△
ABC 的周长等于（ B ）
A. 8 B. 40 C. 60 D. 9
C
B
3. 小华和小刚两兄弟同时从家去同一所学校上学，步行速度都
是50m/min.小华从家到学校走直线用了10min，而小刚从家出发
先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6min，
从小明家到学校用了8min，小刚上学所走路线是（ C ）
A. 锐角弯 B. 钝角弯
C. 直角弯 D. 不能确定
C
4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，以 AC 长为直径的圆恰好
过点 B . 若 AB ＝8， BC ＝6，则阴影部分的面积是
（结果保留π）.
（第4题图）
25π－24
5. 如图，折叠长方形 ABCD ，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处.若
AB ＝8， BC ＝10，则 EC 的长为 .
（第5题图）
3
6. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点 A 处绕到正
上方的点 B 处.已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩
带最短是 m.
20
7. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，过点 C 作 CD ⊥ AB
于点 D .
（1）通过观察，找出图中所有的直角三角形；
（2）若 AC ＝0.75cm， AB ＝1.25cm，试求 CD 的长和△ ABC 的
面积.
解：（1）由题意，得直角三角形有Rt△ ADC ，Rt△ BDC 和
Rt△ ABC .
（2）在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
BC2＝ AB2－ AC2＝1.252－0.752＝1，
所以 BC ＝1cm（负值舍去）.
因为 S△ ABC ＝ AB · CD ＝ AC · BC ，
所以1.25 CD ＝0.75×1.所以 CD ＝0.6cm.
所以 S△ ABC ＝ AC · BC ＝ ×0.75×1＝0.375（cm2）.
8. 某地区加速推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐.
如图，绿地广场有一块三角形空地将进行绿化.在△ ABC 中，
AB ＝ AC ，点 E 是 AC 上的一点， CE ＝5m， BC ＝13m， BE ＝
12m.
（1）判断△ ABE 的形状，并说明理由；
（2）求线段 AB 的长.
解：（1）△ ABE 是直角三角形.理由如下：
因为 BC2＝132＝169， BE2＝122＝144， CE2＝52＝25，
所以 BE2＋ CE2＝169＝ BC2.
所以△ BCE 是直角三角形，且∠ BEC ＝90°.所以 BE ⊥ AC .
所以△ ABE 是直角三角形.
（2）设 AB ＝ AC ＝ x m，则 AE ＝（ x －5）m.
由（1）可知，△ ABE 是直角三角形，
所以 BE2＋ AE2＝ AB2，
即122＋（ x －5）2＝ x2，解得 x ＝16.9.
所以 AB ＝16.9m.
9. 如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2的度数
为 .
45°
【解析】如答图，连接 BC . 因为 AP ∥ BQ ， CM ∥ AN ，所以
∠1＝∠ BAP ，∠2＝∠ CAN . 设每个小正方形的边长为 a ，则
AB2＝ BC2＝ a2＋（2 a ）2＝5 a2， AC ＝ a2＋（3 a ）2＝10 a2，所
以 AB2＋ BC2＝5 a2＋5 a2＝10 a2＝ AC2.所以△ ABC 是等腰直角三
角形，且∠ ABC ＝90°.所以∠ BAC ＝45°.所以∠ BAP ＋∠
CAN ＝45°.所以∠1＋∠2＝45°.故答案为45°.
答图
10. 《九章算术》提供了许多勾股数，如（3，4，5），（5，
12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为
“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 m 是
大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则 m 与这两个
整数构成一组勾股数；若 m 是大于2的偶数，把它除以2后再平
方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，则 m 与这
两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由 m
生成的勾股数”.根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦
数”为 .
17
【解析】由题意可知，“由 m 生成的勾股数”分以下两种情
况：①当 m 为奇数时，生成的两个数分别为 ， ；②当
m 为偶数时，生成的两个数分别为 －1， ＋1.则“由8生成
的勾股数”为8，15，17.“弦数”表示其中最大的数，即为17.
故答案为17.
11. 如图，长方形地面 ABCD 的长 AB ＝22m，宽 AD ＝7m，中间
竖有一堵砖墙，其高 MN ＝1m.若一只蚂蚁从点 A 爬到点 C ，它
必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m.
25
【解析】如图，将其表面展开，则原图长度增加2m，即 AB ＝
22＋2＝24（m），连接 AC . 因为四边形 ABCD 是长方形， AB
＝24m， AD ＝7m，所以 AC2＝ AB2＋ BC2＝242＋72＝625.所以
AC ＝25m（负值舍去）.所以蚂蚁从点 A 爬到点 C ，它至少要爬
25m的路程.故答案为25.
12. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝10， BC ＝16，点 D 在
BC 上， DA ⊥ CA 于点 A . 求 BD 的长.
解：如答图，取 BC 的中点 E ，连接 AE ，则 BE ＝ CE ＝8.
在△ ABE 和△ ACE 中，
所以△ ABE ≌△ ACE （SSS）.
所以∠ AEB ＝∠ AEC .
又因为∠ AEB ＋∠ AEC ＝180°，
所以∠ AEB ＝∠ AEC ＝90°.所以 AE ⊥ BC .
答图
在Rt△ ACE 中，由勾股定理，得
AE2＝ AC2－ CE2＝102－82＝36.
所以 AE ＝6（负值舍去）.
设 BD ＝ x ，则 DE ＝8－ x ， DC ＝16－ x .
在Rt△ ADE 和Rt△ ADC 中，分别利用勾股定理，得 AD2＝ AE2
＋ DE2＝ DC2－ AC2.
所以62＋（8－ x ）2＝（16－ x ）2－102，解得 x ＝ ，即 BD ＝ .
答图
13. （选做）如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝8cm， BC
＝6cm，点 P ， Q 分别是△ ABC 的边 AB ， BC 上的两个动点.点
P 从点 A 开始，沿 A → B 运动，速度为1cm/s；点 Q 从点 B 开始，
沿 B → C → A 运动，速度为2cm/s.它们同时出发，各自到达终点
时停止.设运动的时间为 t （s）.
（1）在运动过程中，当 t 为何值时，△ APC 是等腰三角形？
（2）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使△ BCQ 成为等腰三角形
的运动时间 t 的值.
备用图
解：（1）由题意，知 AP ＝ t cm， BP ＝（8－ t ）cm， PC2＝62
＋（8－ t ）2.
只有当 AP ＝ PC 时，△ APC 是等腰三角形.
此时 AP2＝ PC2，
即 t2＝62＋（8－ t ）2，解得 t ＝ .
所以当 t ＝ 时，△ APC 是等腰三角形.
（2）在△ ABC 中，由勾股定理，得
AC2＝ AB2＋ BC2＝82＋62＝100，
所以 AC ＝10cm（负值舍去）.
当点 Q 在 AC 上时， AQ ＝ BC ＋ AC －2 t ＝（16－2 t ）cm， CQ
＝2 t － BC ＝（2 t －6）cm.
要使△ BCQ 成为等腰三角形，有以下三种情况：
①当 CQ ＝ CB ＝6cm时，如图1，则2 t －6＝6；
解得 t ＝6；
图1
②当 QC ＝ QB 时，如图2，则∠ C ＝∠ QBC .
又因为∠ C ＋∠ A ＝90°＝∠ CBQ ＋∠ QBA ，
所以∠ A ＝∠ QBA . 所以 QB ＝ QA .
图2
所以 CQ ＝ AC ＝5cm，
即2 t －6＝5，解得 t ＝ ；
③当 BQ ＝ BC ＝6cm时，如图3，取 CQ 的中点 D ，连接 BD ，则
CD ＝ CQ ＝（ t －3）cm.
图3
图3
在△ BCD 和△ BQD 中，
所以△ BCD ≌△ BQD （SSS），
所以∠ BDC ＝∠ BDQ .
又因为∠ BDC ＋∠ BDQ ＝180°，
所以∠ BDC ＝90°，即 BD ⊥ AC .
因为 S△ ABC ＝ AB · BC ＝ AC · BD ，
所以 BD ＝ ＝ ＝ （cm）.
在Rt△ BCD 中，由勾股定理，得
CD2＝ BC2－ BD2＝62－ ＝ .
所以 CD ＝ cm（负值舍去）.
所以 t －3＝ ，解得 t ＝ .
综上所述，当 t 的值为 ，6或 时，△ BCQ 为等腰三角形.
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第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
1. 两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分
钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，挖完10min时两只
小鼹鼠相距（ A ）
A. 100cm B. 50cm
C. 140cm D. 80cm
A
2. 如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点 A 处沿着表面爬到顶点
C 处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中用虚线表示.其
中能说明爬行路线最短的是（ A ）
（第2题图）
A
A
B
C
D
3. 如图，圆柱的高为8cm，底面半径为 cm.一只蚂蚁从点 A 处
出发沿圆柱外壁爬到点 B 处吃食，爬行的最短路程是（ C ）
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
（第3题图）
C
4. 有一个池塘（如图所示），其地面是边长为10尺（ 1尺＝ m
＝0.3 m）的正方形，一棵芦苇 AC 生长在它的中央，高出水面
部分 BC 为1尺.若把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦
苇的顶部 C 恰好碰到岸边的C'处，则水深是 尺.
12
5. 如图，学校 B 前面有一条笔直的公路，学生放学后走 BA ，
BC 两条路可到达公路.经测量， BC ＝6km， BA ＝8km， AC ＝
10km.现计划再修建一条从学校 B 到公路的路，则至少要
修 km.
4.8
（第5题图）
6. 如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm.若用一根细线
从点 A 开始，经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ，则至少需要细
线 cm.
13
7. 如图，∠ AOB ＝90°， OA ＝6m， OB ＝2m.一个小球从点 A
出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O ，同时，机器人从点 B 出发沿直
线匀速前进拦截小球，恰好在点 C 处截住了小球.若小球滚动的
速度与机器人行走的速度相等，求机器人行走的路程 BC .
解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，所以 BC ＝
AC .
设 BC ＝ AC ＝ x m，则 OC ＝（6－ x ）m.
在Rt△ BOC 中，由勾股定理，得 OB2＋ OC2＝ BC2.
所以22＋（6－ x ）2＝ x2，解得 x ＝ .
故机器人行走的路程 BC 是 m.
8. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池.该U型池可以看
作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的横
截面是半径为3m的半圆，该部分的边缘 AB ＝ CD ＝45m，点 E
在 CD 上，且 CE ＝5m.一名滑行爱好者从点 A 滑到点 E ，则他滑
行的最短距离约是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计，π取整
数3）
解：U型池上表面的展开图如图所示.
AD ＝π R ＝3π≈9（m）， AB ＝ CD ＝45m，
DE ＝ CD － CE ＝45－5＝40（m）.
在Rt△ ADE 中， AE2＝ AD2＋ DE2＝92＋402
＝81＋1600＝1681.
所以 AE ＝41m（负值舍去）.
故他滑行的最短距离约是41m.
9. 如图，一架梯子 AB 斜靠在左墙时，梯子顶端 B 距地面2.4m.
保持梯子底端 A 不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端 C 距地
面2m，梯子底端 A 到右墙角 E 的距离比到左墙角 D 的距离多
0.8m，则梯子的长度为 m.
2.5
【解析】设 AD ＝ x m，则 AE ＝（ x ＋0.8）m.在Rt△ ABD 和 △ ACE 中，根据勾股定理，得 AB2＝ AD2＋ BD2， AC2＝ AE2＋
CE2.因为 AB ＝ AC ，所以 AD2＋ BD2＝ AE2＋ CE2，即 x2＋2.42
＝（ x ＋0.8）2＋22，解得 x ＝0.7.所以 AD ＝0.7m.所以 AB2＝
BD2＋ AD2＝2.42＋0.72＝5.76＋0.49＝6.25.所以 AB ＝2.5 m
（负值舍去），即梯子的长度为2.5m.故答案为2.5.
10. 如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是
16dm，3dm，1dm，点 A 和点 B 是这个台阶两个相对的端点.若
点 A 处有一只蚂蚁，则它爬到点 B 的最短路程是 dm.
20
【解析】将台阶展开，如图.由题意，得 BC ＝3×3＋1×3＝12
（dm）， AC ＝16dm，所以 AB2＝ AC2＋ BC2＝162＋122＝400.
所以 AB ＝20dm（负值舍去）.即蚂蚁爬行的最短路程是20dm.
故答案为20.
11. 如图，有一个长方体透明玻璃鱼缸，其长 AD ＝80cm，高
AB ＝60cm，水深 AE ＝40cm，点 G 在水面线 EF 上，且 EG ＝
60cm.在水面上紧贴内壁点 G 处有一小块面包屑，一只蚂蚁想从
鱼缸外的点 A 沿鱼缸壁爬到鱼缸内的点 G 处吃这块面包屑.
（1）该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画
出它爬行的路线，并用箭头标注；
（2）该蚂蚁爬行的最短路程是多少？
答图
解：（1）如答图，作点 A 关于 BC 的对称点A'，连接A'G交 BC
于点 Q ，蚂蚁沿着 A → Q → G 的路线爬行时，路程最短.
答图
（2）由轴对称的性质，得A'Q＝ AQ ，A'B＝ AB ＝60cm.
由题意，得 BE ＝60－40＝20（cm），
所以A'E＝60＋20＝80（cm）.
在Rt△A'EG中，由勾股定理，得
A'G2＝A'E2＋ EG2＝802＋602＝10000.
所以A'G＝100cm（负值舍去）.
所以 AQ ＋ QG ＝A'Q＋ QG ＝A'G＝100cm.
故该蚂蚁爬行的最短路程是100cm.
12. 如图，在一条笔直的公路 MN 的一旁有一个村庄 A ，村庄 A
到公路 MN 的距离为600m.已知一辆宣传车 P 在公路 MN 上从点
M 开始，以200m/min的速度沿 MN 方向行驶，且宣传车周围
1000m以内能听到广播宣传.
（1）村庄 A 能否听到宣传声音？请说明理由；
（2）如果能听到，那么村庄 A 总共能听到多长时间的宣传
声音？
解：（1）村庄 A 能听到宣传声音.理由如下：
如图，过点 A 作 AB ⊥ MN 于点 B .
因为村庄 A 到公路 MN 的距离为600m＜1000m，
所以村庄 A 能听到宣传声音.
（2）如图，假设当宣传车行驶到点 K 时，村庄 A 开始听到宣传
声音，行驶到点 Q 时恰好听不到宣传声音，连接 AK ， AQ .
则 AK ＝ AQ ＝1 000m， AB ＝600m.在Rt△ ABK 中，由勾股定理，得 BK2＝ AK2－ AB2＝10002－6002＝640000.
所以 BK ＝800m（负值舍去）.
同理， BQ ＝800m，
所以 KQ ＝ BK ＋ BQ ＝800＋800＝1600（m）.
所以村庄 A 能听到宣传声音的时间为1600÷200＝8（min）.
故村庄 A 总共能听到8min的宣传声音.
13. （选做）如图，长方体的长 BE ＝30cm，宽 AB ＝20cm，高
AD ＝40cm，点 M 在 CH 上，且 CM ＝10cm.若一只蚂蚁要沿着
长方体的表面从点 A 爬到点 M ，则需要爬行的最短路程是多少
厘米？
解：将长方体含点 A ， M 的相邻两个表面展开，有以下三种
情况：
①将正面和右面展开，如图1.在Rt△ ADM 中， AM2＝ AD2＋
DM2＝402＋（20＋10）2＝2500；
图1
图2
②将正面和上面展开，如图2.
在Rt△ ABM 中，根据勾股定理，得
AM2＝ AB2＋ BM2＝202＋（40＋10）2＝2900；
图3
图3
③将左面和上面展开，如图3.
在Rt△ AMC 中，根据勾股定理，得
AM2＝ AC2＋ CM2＝（40＋20）2＋102＝3700.
因为2500＜2900＜3700，
所以图1中的 AM 的长最短.
此时， AM2＝2500.
所以 AM ＝50cm（负值舍去）.
故这只蚂蚁要沿长方体表面从点 A 爬到点 M ，则需要爬行的最
短路程是50cm.
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第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
1. 下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形
的是（ D ）
A. 9，12，15 B. 7，24，25
C. 6，8，10 D. 3，5，7
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ D ）
A. ， ， B. 0.3，0.4，0.5
C. 6，7，8 D. 5，12，13
D
D
3. 如图，根据下列条件，不能判断△ ABD 是直角三角形的是
（ A ）
A. ∠ B ＝3∠ D ，∠ BAD ＝3∠ D
B. AB ＝5， AD ＝12， BD ＝13
C. AC ＝ BC ＝ DC
D. ∠ D ＝20°，∠ B ＝70°
（第3题图）
A
4. 如图，在△ ABC 中，若 AB ＝5， AC ＝12， BC ＝13，则边
BC 上的高 AD 的长为 .
（第4题图）
5. 已知一个三角形的三边长之比为9∶12∶15，其周长为
72cm，则它的面积为 cm2.
216
6. 如图，已知点 A ， B ， C 分别在边长为1的正方形组成的网格
图上，则∠ ABC 的度数为 .
45°
7. 如图，网格纸上每个小正方形的边长都为1.试判断△ ABC 的
形状，并说明理由.
解：△ ABC 是直角三角形.理由如下：
因为 AC2＝12＋82＝65， BC2＝42＋62＝52， AB2＝32＋22＝13，
所以 AB2＋ BC2＝13＋52＝65.
所以 AC2＝ AB2＋ BC2.
所以△ ABC 是直角三角形.
8. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝90°， AB ＝20， BC
＝15， CD ＝7， AD ＝24.试说明：∠ A ＋∠ C ＝180°.
解：如答图，连接 AC .
在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
AC2＝ AB2＋ BC2＝202＋152＝625.
因为 CD2＋ AD2＝72＋242＝625，所以 AC2＝ CD2＋ AD2.
所以△ ACD 是直角三角形，且∠ D ＝90°.
所以∠ BAD ＋∠ BCD ＝360°－90°－90°＝180°.
即题图中∠ A ＋∠ C ＝180°.
9. 在△ ABC 中，已知 AB ＝15， AC ＝20，点 D 在边 BC 所在直
线上， AD ＝12， BD ＝9，则 BC 的长为 .
7或25
【解析】①如图1，当点 D 在线段 BC 上时，因为 AD ＝12， BD
＝9， AB ＝15，所以 AD2＋ BD2＝122＋92＝225＝ AB2.所以△
ABD 是直角三角形，且∠ ADB ＝90°.所以∠ ADC ＝90°.所以
DC2＝ AC2－ AD2＝202－122＝256.所以 DC ＝16（负值舍去）.
所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝9＋16＝25；②如图2，当点 D 在线段 CB
的延长线上时，同理可得， DC ＝16.所以 BC ＝ DC － BD ＝16
－9＝7；③由于 AC ＞ AB ，所以点 D 不可能在线段 BC 的延长线
上.综上所述， BC 的长为7或25.故答案为7或25.
图1
图2
10. 阅读理解：如果一个正整数 m 能表示为两个正整数 a ， b 的
平方和，即 m ＝ a2＋ b2，那么称 m 为广义勾股数，则下面的四
个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义
勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股
数.其中正确的有 （填序号）.
①②
【解析】①因为7不能表示为两个正整数的平方和，所以7不是
广义勾股数，故①正确；②因为13＝22＋32，所以13是广义勾股
数，故②正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，
如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③错
误；④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是
广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④错误.所以正
确的有①②.故答案为①②.
11. 如图，有一块地，已知 AD ＝9m， CD ＝12m，∠ ADC ＝
90°， AB ＝39m， BC ＝36m，求这块地的面积.
解：如答图，连接 AC . 在Rt△ ADC 中，
AC2＝ CD2＋ AD2＝122＋92＝225＝152.
所以 AC ＝15m（负值舍去）.
在△ ABC 中， AB2＝392＝1 521，
AC2＋ BC2＝152＋362＝225＋1296＝1 521，
所以 AB2＝ AC2＋ BC2.
所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
所以 S△ ABC － S△ ACD ＝ AC · BC － AD · CD ＝ ×15×36－
×9×12＝270－54＝216（m2）.故这块地的面积是216m2.
答图
12. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 的中点， DE ⊥ BC ，垂
足为 D ，交 AB 于点 E ，且 BE2－ EA2＝ AC2.
（1）试说明：∠ A ＝90°；
解：（1）如答图，连接 CE .
因为点 D 是 BC 的中点， DE ⊥ BC ，所以 CE ＝ BE . 因为 BE2－ EA2＝ AC2，
所以 CE2－ EA2＝ AC2，即 EA2＋ AC2＝ CE2.
由勾股定理的逆定理，知△ ACE 是直角三角形，且∠ A ＝90°.
答图
（2）若 DE ＝3， BD ＝4，求 AE 的长.
答图
（2）因为 DE ＝3， BD ＝4，
所以 BE2＝ DE2＋ BD2＝32＋42＝25.
所以 BE ＝5（负值舍去）.所以 CE ＝5.
设 AE ＝ x ，则 AB ＝5＋ x .
在Rt△ AEC 中，由勾股定理，得
AC2＝ CE2－ AE2＝52－ x2.
由（1）知， BC ＝2 BD ＝8.
在Rt△ BAC 中，由勾股定理，得
AC2＝ BC2－ AB2＝82－（5＋ x ）2.
所以82－（5＋ x ）2＝52－ x2，解得 x ＝ ，即 AE 的长为 .
13. （选做）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下
数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
（1）请你分别观察 a ， b ， c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n
（ n ＞1）的代数式表示： a ＝ ， b ＝ ， c
＝ .
（2）猜想：以 a ， b ， c 为边长的三角形是否是直角三角形？为
什么？
（1）【解析】由表观察可得， a ＝ n2－1， b ＝2 n ， c ＝ n2＋1.
故答案为 n2－1，2 n ， n2＋1.
n2－1
2 n
n2＋1
（2）解：以 a ， b ， c 为边长的三角形是直角三角形.
理由如下：由（1）知， a ＝ n2－1， b ＝2 n ， c ＝ n2＋1.所以 a2
＋ b2＝（ n2－1）2＋（2 n ）2＝ n4＋2 n2＋1， c2＝（ n2＋1）2＝
n4＋2 n2＋1.所以 a2＋ b2＝ c2.所以以 a ， b ， c 为边长的三角形
是直角三角形.
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第一课时）
1. 在Rt△ ABC 中，已知两直角边的长分别为3和4，则△ ABC 的
周长为（ B ）
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
B
2. 如图，在三个正方形中，已知其中两个正方形的面积 S1＝
25， S2＝144，则第三个正方形的面积 S3为（ C ）
A. 13 B. 200
C. 169 D. 225
（第2题图）
C
3. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ⊥ AC ， AB ＝5， BC ＝13， BD
是边 AC 上的中线，则 AD 的长为（ B ）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 12
（第3题图）
B
4. 在Rt△ ABC 中，已知斜边 AB 的长为2，则 AB2＋ AC2＋ BC2的
值为 .
5. 如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°， AC ＝2， BC ＝4.以
AB 为一边在△ ABC 的同侧作正方形 ABDE ，则图中阴影部分的
面积为 .
8
16
（第5题图）
6. 如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°， AD 平分∠ BAC 交 BC
于点 D ， AB ＝20， AC ＝12， CD ＝6，则 S△ BAD ＝ .
（第6题图）
60
7. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，∠ A ，∠ B ，
∠ ACB 所对的边的长分别为 a ， b ， c ， CD 是边 AB 上的高.
（1）若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝15，求 b 的值；
（2）若 a ＝6， b ＝8，求 c 的值及 CD 的长.
解：（1）设 a ＝3 x ，则 b ＝4 x .
在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得 a2＋ b2＝ c2.
所以（3 x ）2＋（4 x ）2＝152.
解得 x ＝3（负值舍去）.
所以 b ＝4 x ＝4×3＝12.
（2）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得
c2＝ a2＋ b2＝36＋64＝100.
所以 c ＝10（负值舍去）.
因为 S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CD ，
所以 CD ＝ ＝ ＝4.8.
8. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝3， AB ⊥
AD ， BC ＝12，连接 BD .
（1）求 BD 的长；
（2）若△ BDC 是以 CD 为斜边的直角三角形，求 CD 的长.
解：（1）因为 AB ＝4，
AD ＝3， AB ⊥ AD ，
所以 BD2＝ AD2＋ AB2＝32＋42＝25.
所以 BD ＝5（负值舍去），
即 BD 的长是5.
（2）在Rt△ BCD 中， BD ＝5， BC ＝12.
因为 CD 为斜边，
所以 CD2＝ BD2＋ BC2＝52＋122＝169.
所以 CD ＝13（负值舍去），
即 CD 的长是13.
9. 已知一个直角三角形的周长为24，斜边长为10，则该直角三
角形的面积为 .
【解析】设该直角三角形两直角边的长分别为 a ， b .因为该直
角三角形的周长为24，其斜边长为10，所以24－（ a ＋ b ）＝
10，即 a ＋ b ＝14.由勾股定理，得 a2＋ b2＝102＝100.因为（ a
＋ b ）2＝142，即 a2＋ b2＋2 ab ＝196，所以100＋2 ab ＝196.所
以 ab ＝48.所以该直角三角形的面积＝ ab ＝24.故答案为24.
24
10. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ A ＝90°， BC ＝10， AB ＝6.
若动点 P 在 AC 边上，且点 P 到△ ABC 的两个顶点的距离相等，
则 PA 的长为 .
4或
【解析】在Rt△ ABC 中， 因为∠ A ＝90°， BC ＝10， AB ＝6，
所以 AC2＝ BC2－ AB2＝102－62＝64.所以 AC ＝8（负值舍去）.
如图，连接 PB . ①若 PB ＝ PC ，设 PA ＝ x ，则 PB ＝ PC ＝8－
x .在Rt△ PAB 中，因为 PB2＝ PA2＋ AB2，所以（8－ x ）2＝ x2＋
62，解得 x ＝ ，即 PA ＝ ；②若 PA ＝ PC ，则 PA ＝ AC ＝4；
③若 PA ＝ PB ，则Rt△ PAB 不存在.综上所述， PA ＝4或 .故答
案为4或 .
11. 如图，把一张长为8，宽为4的长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠
起来，使其对角顶点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 G 处.
（1）求 DE 的长；
（2）连接 DG ，求△ GED （阴影部分）的面积.
解：（1）由题意和折叠的性质，得 DE ＝ GE ， AG ＝ CD ＝4，
∠ AGE ＝∠ CDA ＝90°.
设 DE ＝ GE ＝ x ，则 AE ＝8－ x .
在Rt△ AEG 中， AG2＋ GE2＝ AE2，
即42＋ x2＝（8－ x ）2，解得 x ＝3.
所以 DE ＝3.
（2）如答图，过点 G 作 GM ⊥ AD 于点 M .
由题意，得 S△ AEG ＝ AG · GE ＝ AE · GM .
由（1）知， AE ＝ AD － DE ＝8－3＝5.
因为 AG ＝4， GE ＝ DE ＝3，
所以 GM ＝ ＝ ＝ .
所以 S△ GED ＝ DE · GM ＝ ×3× ＝ .
答图
12. 如图，在△ ABF 中，已知点 E 是边 AF 的中点，点 C 在边 BF
上，作 AD ∥ BF ，交 CE 的延长线于点 D .
（1）试说明：△ ADE ≌△ FCE ；
解：（1）因为 AD ∥ BF ，所以∠ D ＝∠ FCE .
因为点 E 是边 AF 的中点，所以 AE ＝ FE .
在△ ADE 和△ FCE 中，
所以△ ADE ≌△ FCE （AAS）.
（2）若∠ CEF ＝90°， AD ＝5， CE ＝4，求点 E 到 BF 的距离.
答图
答图
（2）如答图，过点 E 作 EH ⊥ BF 于点 H .
因为△ FCE ≌△ ADE ，所以 CF ＝ AD ＝5.
在Rt△ CEF 中，因为∠ CEF ＝90°，
所以 EF2＝ CF2－ CE2＝52－42＝9.
所以 EF ＝3（负值舍去）.
因为 S△ ECF ＝ CF · EH ＝ CE · EF ，
所以 EH ＝ ＝ ＝ ，
即点 E 到 BF 的距离为 .
13. （选做）如图，这是一组美丽的“勾股树”，其中所有的
四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.
（1）若图1、图2中正方形 A 的面积是100，则图1中正方形 B 和
正方形 C 的面积和是 .图2中正方形 D 、正方形 E 、正方
形 F 和正方形 G 的面积和是 ；
100
100
图2
图1
（2）若图3中正方形 A 的面积是160，则正方形 H 、正方形 I 、
正方形 J 、正方形 K 、正方形 L 、正方形 M 、正方形 N 和正方形
O 的面积和是多少？
（3）如图2，若正方形 D ， E ， F ， G 的边长分别是4，4，1，
2，则正方形 A 的面积是多少？
图3
图2
（1）【解析】因为题图1中的三角形是直角三角形，所以根据
勾股定理，得 S正方形 B ＋ S正方形 C ＝ S正方形 A . 又因为 S正方形 A ＝100，所以 S正方形 B ＋ S正方形 C ＝100.同理，得题图2中，（ S正方形 D ＋ S正方形 E ）＋（ S正方形 F ＋ S正方形 G ）＝ S正方形 B ＋ S正方形 C ＝ S正方形 A ＝100.故答案为100，100.
（2）解：在题图3中，根据勾股定理，得
（ S正方形 H ＋ S正方形 I ）＋（ S正方形 J ＋ S正方形 K ）＋（ S正方形 L ＋ S正方
形 M ）＋（ S正方形 N ＋ S正方形 O ）＝（ S正方形 D ＋ S正方形 E ）＋（ S正方
形 F ＋ S正方形 G ）＝ S正方形 B ＋ S正方形 C ＝ S正方形 A ＝160.
（3）解：根据勾股定理，得
（ S正方形 D ＋ S正方形 E ）＋（ S正方形 F ＋ S正方形 G ）＝ S正方形 B ＋ S正方形C ＝ S正方形 A ，
所以 S正方形 A ＝42＋42＋12＋22＝16＋16＋1＋4＝37.
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