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第五章 二元一次方程组
2 求解二元一次方程组（第二课时）
1. 用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未
知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形.以下四种变形符
合要求的是（ A ）
A
A. B.
C. D.
2. 解二元一次方程组时，经过下列步骤，能
消去未知数 y 的是（ C ）
A. ①－②×3 B. ①＋②×3
C. ①＋②×2 D. ①－②×2
C
3. 二元一次方程组的解是（ D ）
A. B.
C. D.
D
4. 已知二元一次方程组则 x － y 的值是 .
5. 已知方程（ a ＋ b ＋5）2＋ ＝0，则（ b － a ）2 024
＝ .
6. 已知与是方程 ax ＋ by ＝10的解，则 a ＋ b
的算术平方根是 .
2
1
7. 用加减消元法解下列二元一次方程组：
（1）
解：由①＋②，得－5 x ＝10，解得 x ＝－2.
将 x ＝－2代入②，得2×（－2）＋3 y ＝2，
解得 y ＝2.
所以原方程组的解是
（2）
解：由①×2，得4 x －6 y ＝14.③
由②－③，得13 y ＝－13，解得 y ＝－1.
将 y ＝－1代入①，得2 x ＋3＝7，解得 x ＝2.
所以原方程组的解是
（3）
解：①×3，②×2，得
由③＋④，得13 a ＝13，解得 a ＝1.
将 a ＝1代入②，得2＋3 b ＝－1，
解得 b ＝－1.
所以原方程组的解是
（4）
解：化简，得
由①－③，得－2 x ＝6，解得 x ＝－3.
将 x ＝－3代入①，得－6－3 y ＝1，解得 y ＝－ .
所以原方程组的解是
8. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组与
有相同的解，求 m 和 n 的值.
解：由已知，得解得将
代入得解得
9. 已知方程组的解为则点 P （ a ， b ）在
第 象限.
【解析】将代入方程组，得解得
则点 P （2，－3）在第四象限.故答案为四.
四
10. 已知关于 x ， y 的方程组的解恰好是方程 x
＋ y ＝11的一组解，则 a ＝ .
【解析】由①＋②，得7（ x ＋ y ）＝2 a －
3，所以 x ＋ y ＝ .因为 x ＋ y ＝11，所以 ＝11，解得 a ＝
40.故答案为40.
40
11. 已知 abk ≠0，且 a ， b ， k 满足方程组求
的值.
解：
由①×2＋②，得15 a ＝15 k ，解得 a ＝ k .
将 a ＝ k 代入①，解得 b ＝ k .所以
因为 abk ≠0，所以 ＝ ＝1.
12. 在解关于 x ， y 的二元一次方程组
时，可以用①×7－②×3消去未知
数 x ，也可以用①×2＋②×5消去未知数 y .
（1）求 m 和 n 的值；
（2）求原方程组的解.
解：（1）因为①×7－②×3消去 x ，
所以7（ m ＋1）＝3（ n ＋2）.
因为①×2＋②×5消去 y ，
所以－2 n ＋5 m ＝0.
联立，得
解得
（2）原方程组为
由③×7－④×3，得－35 y －6 y ＝123，
解得 y ＝－3.
将 y ＝－3代入④，得7 x －6＝1，
解得 x ＝1.
所以原方程组的解是
13. （选做）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题.
解方程组：
解：由①－②，得2 x ＋2 y ＝2，
即 x ＋ y ＝1.③
由③×16，得16 x ＋16 y ＝16.④
由②－④，得 x ＝－1.
将 x ＝－1代入③，得－1＋ y ＝1，
解得 y ＝2.
所以原方程组的解是
（1）请你仿照上面的解法解方程组：
（2）请大胆猜测关于 x ， y 的方程组
（ a ≠ b ）的解是什么？并利用
方程组的解进行检验.
将 x ＝－1代入③，得－1＋ y ＝1，解得 y ＝2.
所以原方程组的解为
解：（1）由①－②，得2 x ＋2 y ＝2，即 x ＋ y ＝1.③
由①－③×2023，得 x ＝－1.
（2）猜想：方程组（ a ≠ b ）
的解为检验：将代入（ a ＋2） x ＋（ a ＋
1） y ＝ a ，得左边＝ a ，左边＝右边；
将代入（ b ＋2） x ＋（ b ＋1） y ＝ b ，得左边＝ b ，
左边＝右边.所以是原方程组的解.
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第五章 二元一次方程组
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1. 植树节这天有18名同学共种了64棵树苗，其中女生每人种树
3棵，男生每人种树4棵.设男生有 x 人，女生有 y 人.根据题意，
下列方程组正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
2. 《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善
田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.
问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩，价值300钱；
坏田7亩，价值500钱.今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），总
价值10000钱.问：好、坏田各买了多少亩？”设好田买了 x 亩，
坏田买了 y 亩，则下面所列方程组正确的是（ B ）
B
A. B.
C. D.
3. 某校课外小组的学生分组外出活动，若每组7人，则余下3
人；若每组8人，则有一组少5人.该校课外小组有（ D ）
A. 34人 B. 48人 C. 50人 D. 59人
D
4. 如图，一副三角板按此方式摆放，已知∠1的度数比∠2的度
数多50°.若设∠1＝ x °，∠2＝ y °，则可列方程组
为 .
5. 某家具厂有22名工人，已知每名工人每天可加工3张桌子或
10把椅子，1张桌子与4把椅子配成一套.现要求工人每天做的桌
子与椅子刚好配套.设安排 x 名工人加工桌子， y 名工人加工椅
子，则可列出方程组为 .
6. 已知与都是方程 ax ＋ by ＝2的解，则 a －
b 的值为 .
4
7. 现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零
件15个，B型零件18个.已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和
1个B型零件，一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件.
问：需要甲型钢板和乙型钢板各几块？
解：设需要甲型钢板 x 块，乙型钢板 y 块.
根据题意，得解得
所以需要甲型钢板4块，乙型钢板7块.
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，其大意如
下：用马拉瓦片，100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉
3片瓦，3匹小马能拉1片瓦.问：大马和小马各有多少匹？
解：设大马有 x 匹，小马有 y 匹.
根据题意，得解得
所以大马有25匹，小马有75匹.
9. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它
改成横排，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数
分别表示未知数 x ， y 的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹
图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
类似地，图2所示的算筹图，可以表述
为 .
图1
图2
10. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三
公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗
中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房
可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.则该店客
房有 间，房客有 人.
8
63
11. 【问题解决】
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成（如图）.
现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山
楂，那么还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，那么还剩
余7根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？
【反思归纳】
现有 a 根竹签， b 个山楂.如果每根竹签串 c 个山楂，那么还剩余
d 个山楂.下列等式成立的是 （填序号）.
① bc ＋ d ＝ a ；② ac ＋ d ＝ b ；③ ac － d ＝ b .
【问题解决】解：设竹签有 x 根，山楂有 y 个.
根据题意，得解得
所以竹签有20根，山楂有104个.
②
【反思归纳】
【解析】因为有 a 根竹签每根竹签串 c 个山楂，还剩余 d 个山
楂，山楂共有 b 个，所以 ac ＋ d ＝ b .故答案为②.
12. （选做）某大学计划组织本校大学生志愿者乘车去参加志
愿活动，若只调配36座（不含司机）新能源客车若干辆，则有2
人没有座位；若只调配22座（不含司机）新能源客车，则用车
数量将增加4辆，并空出2个座位.
（1）问：计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名
大学生志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保
证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
解：（1）设计划调配36座新能源客车 x 辆，该大学共有 y 名大
学生志愿者.
根据题意，得解得
所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名大学生志
愿者.
（2）设需调配36座客车 m 辆，22座客车 n 辆.
根据题意，得36 m ＋22 n ＝218.
所以 n ＝ ＝10－ m － .
又因为 m ， n 均为正整数，所以 m ＝3， n ＝5.
所以需调配36座客车3辆，22座客车5辆.
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第五章 二元一次方程组
6 二元一次方程与一次函数
1. 已知直线 y ＝3 x ＋6与 y ＝2 x －4的交点坐标为（ a ， b ），则
下列方程组中的解为的是（ C ）
A. B.
C. D.
C
2. 如图，已知一次函数 y ＝ k1 x ＋ b1的图象 l1与一次函数 y ＝ k2 x
＋ b2的图象 l2交于点 P ，则方程组的解是
（ A ）
A. B.
C. D.
A
3. 已知方程组的解为则直线 y ＝－ x ＋2
与直线 y ＝2 x －7的交点在平面直角坐标系中位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若以二元一次方程 x ＋2 y － b ＝0的解为坐标的点（ x ， y ）
都在直线 y ＝－ x ＋ b －1上，则常数 b ＝ .
D
2
5. 一次函数 y ＝2 x 与 y ＝2 x ＋1两图象之间的位置关系是
，这说明方程组解的情况是 .
6. 已知直线 y ＝2 x ＋ m 与直线 y ＝3 x ＋2 m 的交点的横坐标为
1，则 m 的值为 .
平
行
无解
－1
解：将 A （－2， b ）代入 y ＝－ x －2，得 b ＝0.
将点 A （－2，0）代入 y ＝2 x ＋ a ，得 a ＝4.
所以原方程组的解是
a ， b 的值分别为4，0.
7. 已知一次函数 y ＝2 x ＋ a 与 y ＝－ x －2的图象都经过点 A
（－2， b ），试确定方程组的解和 a ， b 的值.
8. 在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝－ x ＋4的图象如图所示.
（1）在同一平面直角坐标系中，作出一次函数 y ＝2 x －5的
图象；
（2）用作图象的方法解方程组：
（3）求直线 y ＝－ x ＋4、直线 y ＝2 x －5与 x 轴围成的三角形的
面积.
解：（1）作出直线 y ＝2 x －5如图所示.
（2）由图象看出两直线的交点为 P （3，1），
所以原方程组的解是
（3）易知直线 y ＝－ x ＋4与 x 轴的交点坐标是（4，0），
y ＝2 x －5与 x 轴的交点坐标是 .
所以围成的三角形的面积＝ × ×1＝ .
9. 已知直线 y ＝ ax ＋ b 和直线 y ＝ bx ＋3 a 的交点坐标是（2，－
1），则 a ＋ b 的值为 .
【解析】因为直线 y ＝ ax ＋ b 和直线 y ＝ bx ＋3 a 的交点坐标是
（2，－1），
所以解得
所以 a ＋ b ＝－1＋1＝0.故答案为0.
0
10. 已知关于 x ， y 的方程组无解，则 a 的值
为 .
【解析】 ax ＋3 y ＝9可化为－ x － y ＝3.
因为关于 x ， y 的方程组无解，
所以－ ＝2，解得 a ＝－6.
故答案为－6.
－6
11. 如图，已知直线 l1的函数表达式为 y ＝3 x －2，且直线 l1与 x
轴交于点 D ，直线 l2与 x 轴交于点 A ，且经过点 B （4，1），直
线 l1与 l2交于点 C （ m ，3）.
（1）求点 D 和点 C 的坐标；
（2）求直线 l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于 x ， y 的二元一次方程组的解.
解：（1）在 y ＝3 x －2中，令 y ＝0，即3 x －2＝0，
解得 x ＝ .
所以点 D .
因为点 C （ m ，3）在直线 y ＝3 x －2上，
所以3 m －2＝3，解得 m ＝ .
所以点 C .
（2）设直线 l2的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
根据题意，得解得
所以直线 l2的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
（3）由图象，知二元一次方程组的解为
12. 某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿
线国家和地区.已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相
同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1 500元.
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）设甲、乙两种商品的销售总收入为 W 万元，销售甲种商品
m 万件.
①写出 W 与 m 之间的函数关系式；
②若甲、乙两种商品的销售总收入为5 400万元，则销售甲种商
品多少万件？
解：（1）设甲种商品的销售单价是 a 元，乙种商品的销售单价
是 b 元.
根据题意，得
解得
故甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的销售单价是600元.
（2）①由题意，得
W ＝900 m ＋600（8－ m ）＝300 m ＋4 800.
故 W 与 m 之间的函数关系式为 W ＝300 m ＋4 800.
②当 W ＝5 400时，5 400＝300 m ＋4 800，
解得 m ＝2.
故甲、乙两种商品的销售总收入为5 400万元时，销售甲种商品
2万件.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝ ax
＋ b 的图象过点 B ，与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴
交于点 C ，与直线 y ＝ kx 交于点 P ，且 PO ＝ PA .
（1）求 a ＋ b 的值；
（2）求 k 的值；
（3）若点 D 为 PC 上一点， DF ⊥ x 轴于点 F ，交 OP 于点 E ，且
DE ＝2 EF ，求点 D 的坐标.
解：（1）根据题意，得解得
所以 a ＋ b ＝－ ＋2＝ .
（2）由（1）知一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋2.
因为 PO ＝ PA ，所以点 P 在 OA 的中垂线上.
所以点 P 的横坐标为2.
又因为点 P 在直线 y ＝－ x ＋2上，所以点 P （2，1）.
又因为点 P 在 y ＝ kx 上，所以 k ＝ .
（3）由（2）知，直线 y ＝ kx 的表达式为 y ＝ x .
设点 D ，则点 E ， F （ x ，0）.
因为 DE ＝2 EF ，
所以－ x ＋2－ x ＝2× x ，解得 x ＝1.
则－ x ＋2＝－ ×1＋2＝ .
所以点 D 的坐标为 .
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第五章 二元一次方程组
2 求解二元一次方程组（第一课时）
1. 下列方程组，比较适合用代入法求解的是（ B ）
A. B.
C. D.
B
2. 解二元一次方程组把②代入①，结果正确的
是（ C ）
A. 2 x － x ＋3＝5 B. 2 x ＋ x ＋3＝5
C. 2 x －（ x ＋3）＝5 D. 2 x －（ x －3）＝5
C
3. 二元一次方程 x ＋ y ＝4与2 x －3 y ＝3的公共解是（ B ）
A. B.
C. D.
B
4. 已知 ＋｜ m －3 n ＋5｜＝0，则 m ＝ ， n
＝ .
5. 由方程组可以得出关于 y 和 x 之间的关系式
是 （用含 x 的代数式表示 y ）.
6. 已知－3 xm－2 与5 y8－ n 的和是单项式，则 m
＝ ， n ＝ .
1
2
y ＝－1－ x
3
2
7. 用代入消元法解下列二元一次方程组：
（1）
解：由①，得 x ＝4＋2 y . ③
将③代入②，得2（4＋2 y ）－ y ＝5，解得 y ＝－1.
将 y ＝－1代入③，得 x ＝2.
所以原方程组的解是
（2）
解：由②，得 a ＝－4－4 b . ③
将③代入①，得5（－4－4 b ）－4 b ＝8，解得 b ＝－ .将 b ＝
－ 代入③，得 a ＝ .
所以原方程组的解是
（3）
解：原方程组化简，得
由④，得 x ＝5 y －3.⑤
将⑤代入③，得5（5 y －3）－11 y ＝－1，解得 y ＝1.
将 y ＝1代入⑤，得 x ＝2.所以原方程组的解是
8. 已知和都是方程 y ＝ ax ＋ b 的解，求 a 和
b 的值.
解：由题意，得
由①，得 a ＝ b .③
将③代入②，得3＝2 b ＋ b ，
解得 b ＝1.
所以 a ＝ b ＝1.
9. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解是
则关于 a ， b 的二元一次方程组
的解是 .
【解析】由题意，可设 a ＋ b ＝ x ， a － b ＝ y .
则变形为
因为关于 x ， y 的二元一次方程组的解是
所以解得故答案为
10. 对于任意有理数 a ， b ， c ， d ，我们规定： ＝ ad －
bc .已知 x ， y 同时满足 ＝5， ＝1，则 x
＝ ， y ＝ .
2
－3
【解析】根据题中的新定义，得
由①，得 y ＝5－4 x .③ 把③代入②，得5 x ＋3（5－4 x ）＝
1，解得 x ＝2.将 x ＝2代入③，得 y ＝5－4×2＝－3.则方程组的
解是故答案为2，－3.
11. 在解方程组时，小强正确解得而小
刚只看错了 c ，解得
（1）求出方程组中 c 的值；
（2）求 a ， b 的值.
解：（1）方程组
把代入②，得2 c －8＝－2，解得 c ＝3.
（2）把代入③，得－2 a ＋4 b ＝6，
即 a ＝2 b －3.④
把③代入2 a ＋2 b ＝6，得
2（2 b －3）＋2 b ＝6，解得 b ＝2.
把 b ＝2代入③，解得 a ＝1.
故 a ＝1， b ＝2.
12. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组和
有相同的解，求（－ a ） b 的值.
解：由两个方程组有相同的解，则原方程组可化为
① ②解方程组①，得代入②，得解得
所以（－ a ） b ＝（－2）3＝－8.
13. （选做）阅读下面材料：
小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代
换”的解法：
解：将方程②变形，得4 x ＋10 y ＋ y ＝5，
即2（2 x ＋5 y ）＋ y ＝5.③
把方程①代入③，得2×3＋ y ＝5.
解得 y ＝－1.
把 y ＝－1代入方程①，解得 x ＝4.
所以原方程组的解是
请你解答下面问题：
（1）模仿小强同学的“整体代换”法，解方程组：
（2）已知 x ， y 满足求 xy 的值.
解：（1）
将方程②变形，得6 x ＋8 y ＋ y ＝25，
即2（3 x ＋4 y ）＋ y ＝25. ③
把方程①代入③，得2×16＋ y ＝25，
解得 y ＝－7.
把 y ＝－7代入方程①，解得 x ＝ .
所以原方程组的解是
（2）原方程组化为
把方程①代入②，得3（11－ xy ）－5 xy ＝49.
化简，得 xy ＝－2.
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第五章 二元一次方程组
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1. 已知直线 y ＝ kx ＋ b 经过 A （0，2）和 B （3，0）两点，则该
一次函数的表达式为（ B ）
A. y ＝2 x ＋3 B. y ＝－ x ＋2
C. y ＝3 x ＋2 D. y ＝ x －1
2. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的
图象经过点（2，－4）和（1，2），则 k 的值是（ D ）
A. 4 B. －4 C. 6 D. －6
B
D
3. 若（1，4），（2，7），（ a ，10）三点在同一直线上，则 a
的值为（ C ）
A. －1 B. 0 C. 3 D. 4
4. 已知二元一次方程组的解为则
一次函数 y ＝2 x ＋3与 y ＝ ax ＋ c 的图象的交点坐标是
.
C
（－1，
1）
x … －1 0 1 2 3 …
y … －7 －4 －1 2 5 …
已知一个正比例函数的关系式为 y ＝ x ，则方程组
的解为 x ＝ ， y ＝ .
6. 已知一次函数 y ＝（ k － m ） x ＋ ab 过点（1，2）和（3，
4），则一次函数的表达式是 .
2
2
y ＝ x ＋1
5. 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象上一部分点的坐标见下表：
7. 已知一次函数 y ＝ ax ＋2与 y ＝ kx ＋ b 的图象如图所示，且方
程组的解为点 B 的坐标为（0，－1）.
求这两个一次函数的表达式.
解：由题意，得 A （2，1）.
把点 A （2，1）代入 y ＝ ax ＋2，得1＝2 a ＋2，解得 a ＝－ .
所以 y ＝－ x ＋2.
把点 A ， B 的坐标代入 y ＝ kx ＋ b ，得
解得所以 y ＝ x －1.
所以两个一次函数的表达式分别为 y ＝－ x ＋2， y ＝ x －1.
8. 如图， l1反映了某公司产品的销售收入 y1（元）与销售量 x
（件）的函数关系， l2反映了该公司产品的销售成本 y2（元）与
销售量 x （件）的函数关系.根据图象解答问题：
（1）分别求出销售收入 y1和销售成本 y2与销售量 x 的函数关
系式.
（2）指出两图象的交点 A 的实际意义.公司的销售量至少要达
到多少件才能不亏损？
（3）如果该公司要盈利1万元，需要销售多少件产品？
解：（1）设 y1与 x 的函数关系式是 y1＝ kx .
由图象，得2 k ＝2 000.解得 k ＝1 000，
所以 y1与 x 的函数关系式是 y1＝1 000 x .
设 y2与 x 的函数关系式是 y2＝ ax ＋ b .
由图象，得解得
所以 y2与 x 的函数关系式是 y2＝500 x ＋2 000.
（2）令1 000 x ＝500 x ＋2 000，得 x ＝4.
所以两图象的交点 A 的实际意义是此时销售收入等于销售成
本，因此公司的销售量至少要达到4件才能不亏损.
（3）由题意，得1 000 x －（500 x ＋2 000）＝10 000，解得 x ＝
24.
故如果该公司要盈利1万元，需要销售24件产品.
9. 已知关于 x ， y 的方程组无解，则直线 y
＝－（ k ＋1） x －3不经过第 象限.
【解析】因为方程组无解，所以直线 y ＝
－ x ＋1与 y ＝（2 k ＋1） x －3平行.所以－1＝2 k ＋1，解得 k ＝
－1.所以直线 y ＝－（ k ＋1） x －3＝－3经过第三、四象限，不
经过第一、二象限.故答案为一、二.
一、二
10. 如图，已知一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A ， B 两
点， P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过点 P 分别作两
坐标轴的垂线，且与两坐标轴围成的长方形的周长为10，则直
线 AB 的函数表达式是 .
y ＝－ x ＋5
【解析】设点 P 的坐标为（ x ， y ）.如答图，过点 P 分别作 PD
⊥ x 轴， PC ⊥ y 轴，垂足分别为 D ， C . 因为点 P 在第一象限，
所以 PD ＝ y ， PC ＝ x .因为长方形 PDOC 的周长为10，所以2
（ x ＋ y ）＝10.所以 x ＋ y ＝5，即 y ＝－ x ＋5.故答案为 y ＝－ x
＋5.
答图
11. 如图，已知点 A ， B 分别是 x 轴上位于原点左、右两侧的
点，点 P （2， p ）在第一象限，直线 PA 交 y 轴于点 C （0，
2），直线 PB 交 y 轴于点 D ， S△ AOP ＝6.
（1）求△ COP 的面积；
（2）求点 A 的坐标和 p 的值；
（3）若 S△ BOP ＝ S△ DOP ，求直线 BD 的函数表达式.
答图
解：（1）如答图，作 PE ⊥ y 轴于点 E .
因为点 P 的横坐标是2，所以 PE ＝2.
所以 S△ COP ＝ OC · PE ＝ ×2×2＝2.
答图
（2）因为 S△ AOC ＝ S△ AOP － S△ COP ＝6－2＝4，
所以 S△ AOC ＝ OA · OC ＝4，即 OA ·2＝4.
所以 OA ＝4.所以点 A 的坐标是（－4，0）.
设直线 AP 的函数表达式是 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
则有解得
所以直线 AP 的函数表达式是 y ＝ x ＋2.
当 x ＝2时， y ＝3.所以 p ＝3.
（3）设直线 BD 的函数表达式为 y ＝ ax ＋ c ，则 D （0， c ）.
因为 P （2，3），所以2 a ＋ c ＝3.
因为 S△ BOP ＝ S△ DOP ，所以 OB ·3＝ OD ·2.
所以 OB ＝ OD ＝ c .所以 B .
所以 c · a ＋ c ＝0，解得 a ＝－ .
将 a ＝－ 代入2 a ＋ c ＝3，解得 c ＝6.
所以直线 BD 的函数表达式是 y ＝－ x ＋6.
12. 某童装店以每件25元的价格购进某种品牌的童装若干件，
销售了部分童装后，剩下的童装每件降价10元销售，全部售完.
销售总额 y （元）与销售量 x （件）之间的关系如图所示.请根
据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前该童装的销售单价是 元/件；
（2）求降价后销售总额 y （元）与销售量 x （件）之间的函数
关系式，并写出自变量的取值范围；
45
（3）求该童装店这次销售童装盈利多少元.
（2）解：设降价后销售金额 y （元）与销售量 x （件）之间的
函数关系式为 y ＝ kx ＋ b .
由题意知，该函数图象过点（40，1800），（55，2325），
则解得
所以降价后销售总额 y （元）与销售量 x （件）之间的函数关系
式为 y ＝35 x ＋400（40＜ x ≤55）.
（3）（45－25）×40＋（45－10－25）×（55－40）＝950
（元），所以该童装店这次销售童装盈利950元.
（1）【解析】降价前该童装的销售单价为 ＝45（元/件）.
故答案为45.
13. （选做）甲、乙两车先后从某地出发，沿相同的路线到距
某地240km的某市.甲车行驶的路程 y （km）与甲车行驶的时间
x （h）的函数关系图象为折线 O － A － B ，乙车行驶的路程 y
（km）与乙车行驶的时间 x （h）的函数关系图象为线段 CD .
（1）求线段 AB 所在直线的函数表达式；
（2）乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时，甲、乙两车相距10km？
解：（1）设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y ＝ k1 x ＋ b1
（ k1≠0）.
将 A （2，100）， B （6，240）代入函数表达式，得
解得
所以线段 AB 所在直线的函数表达式为 y ＝35 x ＋30.
（2）设线段 CD 所在直线的函数表达式为 y ＝ k2 x ＋ b2（ k2≠0）.
将（2，80）， D （4，240）代入函数表达式，得解得
所以线段 CD 所在直线的函数表达式为 y ＝80 x －80.
令 y ＝80 x －80＝0，解得 x ＝1.所以点 C （1，0）.
联立解得 x ＝ .则 －1＝ （h）.
所以乙车出发 h后追上甲车.
（3）①乙车追上甲车之前，
则（35 x ＋30）－（80 x －80）＝10，解得 x ＝ .
所以 －1＝ （h）；
②乙车追上甲车之后，
则（80 x －80）－（35 x ＋30）＝10，解得 x ＝ .
所以 －1＝ （h）.
综上所述，乙车出发 h或 h，甲、乙两车相距10 km.
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第五章 二元一次方程组
8 三元一次方程组
1. 解方程组若要使运算简便，则应（ B ）
A. 先消去 x B. 先消去 y
C. 先消去 z D. 以上说法均可
B
2. 三元一次方程组的解是（ D ）
D
A. B.
C. D.
3. 已知方程组的解也是方程2 x ＋ ky ＝10的解，则
k 的值为（ B ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4. 已知 a ＋ b ＝16， b ＋ c ＝12， c ＋ a ＝10，则 a ＋ b ＋ c
＝ .
B
19
5. 已知方程组其中 x 与 y 的值之和等于2，则
k 的值为 .
6. 已知方程组则（ a － b ） c ＝ .
4
8
7. 解方程组：
（1）
解：由①＋③，得3 x ＋ z ＝5.④
由②＋④，得5 x ＝10，解得 x ＝2.
将 x ＝2代入④，解得 z ＝－1.将 x ＝2代入①，解得 y ＝1.
所以原方程组的解是
（2）
解：由①＋②，得2 y ＝16，解得 y ＝8.
由②＋③，得2 z ＝6，解得 z ＝3.
由①＋③，得2 x ＝12，解得 x ＝6.
所以原方程组的解是
（3）
解：由①，得 x ＝ y .④
由②，得 z ＝ y . ⑤
将④⑤代入③，得 y ＋ y ＋ y ＝60，解得 y ＝20. ⑥
将⑥分别代入④⑤，得 x ＝30， z ＝10.
所以原方程组的解是
8. 已知方程组的解能使等式4 x －3 y ＝7成立.
（1）求原方程组的解；
（2）求代数式 m2－2 m ＋1的值.
解：（1）根据题意，得
由①＋②，得11 x ＝11，解得 x ＝1.
将 x ＝1代入①，解得 y ＝－1.
所以原方程组的解是
（2）将 x ＝1， y ＝－1代入5 x －2 y ＝ m －1，得 m ＝8.当 m ＝8
时，原式＝82－2×8＋1＝49.
9. 已知 x ， y 满足（ xyz ≠0），则
＝ .
【解析】解方程组，得 x ＝3 z ， y ＝2 z .所以原式＝ ＝
.故答案为 .
10. 已知关于 x ， y 的方程组和方程组
的解相同，则（2 a ＋ b ）2 024＝ .
1
【解析】根据题意，得方程组解得
将代入 ax － by ＝－4与 bx ＋ ay ＝－8，得
解得则（2 a ＋ b ）2 024＝（2－1）2 024
＝1.故答案为1.
11. 对于有理数 x ， y ，定义新运算：x*y＝ ax ＋ by ＋ c ，其中
a ， b ， c 是常数，等式右边是一般的加法与乘法运算.已知1*2
＝9，（－3）*3＝6，0*1＝2.求：
（1） a ， b ， c 的值；
（2）（－1）*2的值.
解：（1）根据题意，得解得
（2）由（1）可知，x*y＝2 x ＋5 y －3.
所以（－1）*2＝2×（－1）＋5×2－3＝5.
12. 一个三位数的三个数字的和是17，百位上的数字与十位
上的数字之和比个位上的数字大3.若把个位上的数字与百位
上的数字的位置对调，则所得的三位数比原数大495.求原来
的三位数.
解：设这个三位数的百位上的数字、十位上的数字、个位上的
数字分别为 x ， y ， z .
根据题意，得
解得所以原来的三位数是287.
13. （选做）一方有难，八方支援.某市政府筹集了抗旱必需物
资120t打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆
车的运载量和运费如下表所示（假设每辆车均满载）.
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/（t/辆） 5 8 10
汽车运费/（元/辆） 400 500 600
（2）为了节约运费，该市政府决定让甲、乙、丙三种车型参与
运送.已知三种车共16辆，请通过列方程组的方法分别求出参与
运送的三种车型的车辆数.
（3）（2）中哪种方案的运费最省钱？最少运费是多少元？
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200
元，则分别需要甲、乙两种车型各几辆？
解：（1）设需要甲种车型 x 辆，乙种车型 y 辆.
根据题意，得解得
所以需要甲种车型8辆，乙种车型10辆.
（2）设需要甲种车型 a 辆，乙种车型 b 辆，丙种车型 c 辆.
根据题意，得
消去 c ，得5 a ＋2 b ＝40，所以 a ＝8－ b .
因为 a ， b 是正整数，且不大于16，所以 b ＝5，10，15.则 a ＝
6，4，2.由 c 是正整数，解得或
所以有两种运送方案：
方案一：甲种车型6辆，乙种车型5辆，丙种车型5辆；
方案二：甲种车型4辆，乙种车型10辆，丙种车型2辆.
（3）由（2）可知方案有两种，两种方案的运费分别是：
方案一：400×6＋500×5＋600×5＝7 900（元）；
方案二：400×4＋500×10＋600×2＝7 800（元）.
因为7 900＞7 800，所以安排甲种车型4辆，乙种车型10辆，丙
种车型2辆最省运费，最少运费是7800元.
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第五章 二元一次方程组
4 应用二元一次方程组——增收节支
1. 已知有含盐20％与含盐5％的两种盐水，若要配制14％的盐
水200kg，设需要含盐20％的盐水 x kg，含盐5％的盐水 y kg，则
下列方程组中正确的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
2. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140t，准备全部加工后上市销售.
该公司每天可以精加工蔬菜6t或粗加工蔬菜16t.现计划用15天完
成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排 x
天精加工， y 天粗加工.下面所列方程组正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
3. 某商场购进一批糖果，为了吸引顾客，决定由顾客抽奖确定
折扣.某顾客购买甲、乙两种糖果，分别抽到七折和九折，共付
款399元.若原价购买两种糖果则共需付款490元.甲、乙两种糖
果的原价分别是（ B ）
A. 200元、150元 B. 210元、280元
C. 280元、210元 D. 150元、200元
B
4. 某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1
辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元.本周售出2辆A型车和1
辆B型车，销售额为62万元.若设每辆A型车的售价为 x 万元，每
辆B型车的售价为 y 万元，根据题意，可列出方程组
为 .
5. 某车间有60名工人，每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20
个.要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设
应分配 x 人生产螺母， y 人生产螺栓.根据题意，可列方程组
为 .
6. 图书馆现有A类图书和B类图书共30万册.若A类图书增加
40％，B类图书增加60％，则两类图书数量相同.现有的A类图
书比B类图书多 万册.
2
7. 某中学购进一批免洗手消毒液和“84”消毒液.如果购买80
瓶免洗手消毒液和100瓶“84”消毒液，那么共需1 120元；如
果购买100瓶免洗手消毒液和150瓶“84”消毒液，那么共需1
500元.求每瓶免洗手消毒液和“84”消毒液的价格.
解：设每瓶免洗手消毒液的价格是 x 元，每瓶“84”消毒液的价
格是 y 元.
根据题意，得解得
所以每瓶免洗手消毒液的价格是9元，每瓶“84”消毒液的价格
是4元.
8. 成都某公司去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今
年的总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，且
今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？
解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则今年的总产
值为（1＋20％） x 万元，总支出为（1－10％） y 万元.
根据题意，得
解得
即去年的总产值为2 000万元，总支出为1 800万元.
9. 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，已知1立方米木料可
制作方桌桌面50个，或制作桌腿300条.现有5立方米木料，用多
少木料做桌面，多少木料做桌腿，恰好全部制成方桌？设用 x 立
方米木料做桌面， y 立方米木料做桌腿，根据题意可列方程组
为 .
10. 小明家准备春节前举行80人的聚餐，需要去某餐馆订餐.据
了解，这家餐馆有10人坐和8人坐两种餐桌，要使所订的每个餐
桌刚好坐满，则订餐方案共有 种.
3
11. 【问题呈现】
某校为丰富学生大课间活动，计划购置一些篮球、毽子、沙包
体育用品.采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后
发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示.
请根据图中所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数
据，即分别求出购买毽子、沙包的数量及对应的金额.
【分析交流】
慧慧组用表格的形式对本问题的一些信息进行了梳理，请你把
表格内容补充完整.
用品名称 数量 （单位：个） 单价 （单位：元） 金额
（单位：元）
篮球 6 100.00 600.00
毽子 x 5.00 5 x
沙包 y 3.00 3 y
【建模解答】
请你完整解答本题.
【解题收获】
通过本问题的解决，我的收获是：
.
【建模解答】
解：根据题意，得解得
所以5 x ＝5×30＝150，3 y ＝3×20＝60.
所以购买毽子30个，沙包20个；购买毽子花费150元，沙包花费
60元.
利用二元一次方程组解决
实际问题主要是要找准等量关系，进而列出方程组（答案不唯
一）
12. （选做）临近节日，某公司准备购买A，B两种纪念品.已知
购买2个A种纪念品与5个B种纪念品共需200元，购买1个A种纪
念品比1个B种纪念品少花5元.
（1）求A，B两种纪念品的单价.
（2）结合员工们的需求，公司决定购买A，B两种纪念品共100
个（其中A种纪念品不超过50个）.节日期间某商店有两种优惠
活动，如下所述.公司购买A种纪念品多少个时，选择活动一和
活动二购买所需的费用相同？
活动一：“疯狂打折”，A种纪念品7折，B种纪念品5折.
活动二：“买A赠B”，购买一个A种纪念品赠送一个B种纪
念品.
解：（1）设A，B两种纪念品的单价分别为 x 元、 y 元.
根据题意，得解得
所以A，B两种纪念品的单价分别为25元、30元.
（2）设公司购买A种纪念品 a 个，则购买B种纪念品（100－
a ）个.
由于0＜ a ≤50，所以选择活动一购买所需的费用为 ×25 a ＋
×30（100－ a ）；
选择活动二购买所需的费用为25 a ＋30（100－ 2 a ）.
根据题意，得 ×25 a ＋ ×30（100－ a ）＝25 a ＋30（100－
2 a ），解得 a ＝ 40.
所以公司购买A种纪念品40个时，选择活动一和活动二购买所
需的费用相同.
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第五章 二元一次方程组
回顾与思考
1. 已知关于 x ， y 的方程 xa－ b －2 ya＋ b＋2＝11是二元一次方程，
则 a ， b 的值分别是（ B ）
A. 1，0 B. 0，－1
C. 2，1 D. 2，－3
B
2. 用图象法解一个二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系
中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则这个二元一次
方程组是（ A ）
A. B.
C. D.
A
3. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持
钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：
甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲
所有钱的 ，那么乙也共有钱50.问：甲、乙两人各带了多少
钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 x ， y ，则可列方程组为
（ A ）
A
A. B.
C. D.
4. 已知 x ， y 满足的方程组是则 x ＋ y 的值
为 .
5. 已知｜2 x ＋ y －3｜＋（ x －3 y －5）2＝0，则 yx 的值
为 .
6. 已知是关于 x ， y 的二元一次方程组
的解，则 a2－ b2＝ .
5
1
1
7. 解下列方程组：
（1）
解：由②×2＋①，得9 x ＝18，解得 x ＝2.
将 x ＝2代入②，得4－3 y ＝1，解得 y ＝1.
所以原方程组的解是
（2）
解：去括号，整理，得
由④×11＋③，得43 x ＝989，解得 x ＝23.
将 x ＝23代入④，得3×23＋ y ＝82，解得 y ＝13.
所以原方程组的解是
（3）
解：化简②，得4 x ＋ y ＝3.③
由①×2＋③，得7 y ＝5，解得 y ＝ ，
将 y ＝ 代入①，得 x ＝ .
所以原方程组的解为
8. 关于 x ， y 的二元一次方程组的解也是二元一次
方程2 x ＋3 y ＝－6的一组解，求 k 的值.
解：
由①＋②，得2 x ＝14 k ，解得 x ＝7 k .
将 x ＝7 k 代入①，得7 k ＋ y ＝5 k ，解得 y ＝－2 k .
将 x ＝7 k ， y ＝－2 k 代入2 x ＋3 y ＝－6，得
14 k －6 k ＝－6，解得 k ＝－ .
9. 用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆
成如图所示的图案.若点 A 的坐标为（－1，7），则点 B 的坐标
为 .
（－6，5）
【解析】设小长方形的长为 x ，宽为 y .根据题意，得
解得所以2 x ＝6， x ＋ y ＝5.所以点 B 的
坐标为（－6，5）.故答案为（－6，5）.
10. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场从6
月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒
肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360
元.轩轩同学想为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买
的花费比在打折前购买节省 元.
145
【解析】设打折前每盒肉粽的价格为 x 元，每盒白粽的价格
为 y 元.
根据题意，得
解得
所以5 x ＋5 y －（0.6×5 x ＋0.7×5 y ）＝5×50＋5×30－
（0.6×5×50＋0.7×5×30）＝145，
即他6月13日购买的花费比在打折前购买节省145元.
故答案为145.
11. 某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知在每辆车
都坐满的情况下，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105
人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人.
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车 m 辆，大客车 n 辆，一次运送完，且恰好
每辆车都坐满.
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最
省钱的租车方案，并求出最少的租金.
解：（1）设每辆小客车能坐 x 名学生，每辆大客车能坐 y 名
学生.
根据题意，得解得
故每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
（2）①根据题意，得20 m ＋45 n ＝400.
所以 n ＝ .
因为 m ， n 为非负整数，
所以或或
所以租车方案有三种：
方案一：租小客车20辆，大客车0辆；
方案二：租小客车11辆，大客车4辆；
方案三：租小客车2辆，大客车8辆.
②由①可知，方案一租金：150×20＝3 000（元）；
方案二租金：150×11＋250×4＝2 650（元）；
方案三租金：150×2＋250×8＝2 300（元）.
因为2 300＜2 650＜3 000，
所以方案三租金最少，最少租金为2 300元.
故租小客车2辆，大客车8辆时租金最少，最少租金为2 300元.
12. 如图，已知点 A （0，4）， C （－2，0）在直线 l ： y ＝ kx
＋ b 上，直线 l 和函数 y ＝－4 x ＋ a 的图象交于点 B .
（1）求直线 l 的函数表达式；
（2）若点 B 的横坐标是1，求关于 x ， y 的方程组
的解及 a 的值；
（3）在（2）的条件下，根据图象比较当 x ＞1时， kx ＋ b 的值
与－4 x ＋ a 的值的大小.
解：（1）将点 A （0，4）， C （－2，0）代入 y ＝ kx ＋ b ，得
解得
所以直线 l 的函数表达式为 y ＝2 x ＋4.
（2）当 x ＝1时， y ＝2 x ＋4＝6，则点 B （1，6）.
因为直线 l 和函数 y ＝－4 x ＋ a 的图象交于点 B ，
所以关于 x ， y 的方程组的解为
将点 B （1，6）代入 y ＝－4 x ＋ a ，得－4＋ a ＝6，
解得 a ＝10.
（3）由图象可知，当 x ＞1时， kx ＋ b ＞－4 x ＋ a .
13. （选做）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶
梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计
费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户
自来水用水量；②水费等于自来水费用加污水处理费用）.已知
小王家2024年4月份用水15吨，交水费45元；5月份用水25吨，
交水费91元.
（1）求 a ， b 的值.
（2）随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计
划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2％.若小王家的月
收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
每户每月用水量 自来水价格/ （元/吨） 污水处理价格/
（元/吨）
不超过17吨 a 0.8
超过17吨但不 超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 6 解：（1）根据题意，得
解得故 a 的值是2.2， b 的值是4.2.
（2）设小王家6月份用水 x 吨.
根据题意，得17（2.2＋0.8）＋13（4.2＋0.8）＋（ x －30）×
（6＋0.8）＝9200×2％，解得 x ＝40.
故小王家6月份最多能用水40吨.
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第五章 二元一次方程组
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1. 已知甲、乙两数的和是8，且甲数是乙数的3倍.设甲数为 x ，
乙数为 y ，则列方程组为（ A ）
A. B.
C. D.
A
2. 内江到成都的成渝路段全长170km，一辆小汽车和一辆客车
同时从内江、成都两地相向开出，经过 h相遇，此时小汽车比
客车多行驶20km.设小汽车和客车的平均速度分别为 x km/h和 y
km/h，则下列方程组正确的是（ D ）
D
A. B.
C. D.
3. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解满
足 x ＋ y ＝0，则 m 的值为（ B ）
A. －1 B. 1 C. 0 D. 2
4. 已知一个两位数，个位数字与十位数字之和为10，交换个位
数字和十位数字的位置后所得的两位数比原数大36，则原来的
两位数是 .
B
37
5. 甲、乙两个码头相距140km，一艘轮船在往返航行，顺流用
了7h，逆流用了10h，则这艘轮船在静水中的速度
是 km/h.
6. 3年前，母亲的年龄是儿子的5倍；3年后，母亲的年龄是儿
子的3倍.求母子现在的年龄.设母亲现在 x 岁，儿子现在 y 岁，
列出的二元一次方程组是 .
17
7. 解方程组：
（1）
解：由①×3－②，得－17 y ＝17，
解得 y ＝－1.
把 y ＝－1代入①，得 x ＝2.
所以原方程组的解为
（2）
整理方程组，得
由①×5＋②，得26 x ＝208，解得 x ＝8.
把 x ＝8代入②，得 y ＝4.
所以原方程组的解为
8. 小明和小亮做加法游戏.小明在一个加数后面多写了一个0，
得到的和为888；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到
的和为861.求原来两个加数分别是多少.
解：设原来的一个加数为 x ，另一个加数为 y .
根据题意，得
解得
所以原来的两个加数分别是81，78.
9. 已知｜2 x － y ｜＋ ＝0，则 的值
为 .
10. 爸爸沿街匀速行走，发现每隔7min从背后驶过一辆103路公
交车，每隔5min从迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公
交车行驶的速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一
辆车，则103路公交车行驶的速度是爸爸行走速度的 倍.
1
6
【解析】设103路公交车行驶的速度为 x m/min，爸爸行走的速
度为 y m/min，两辆103路公交车间的间距为 s m.根据题意，得
两式相减并化简，得 x ＝6 y .故答案为6.
11. 从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路.星期天，
小华骑自行车去姥姥家，若保持上坡每小时行3km，下坡每小
时行5km，他到姥姥家需要行66 min，从姥姥家回家时需要行78
min.问：从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米？姥
姥家离小华家有多远？
解：设小华家到姥姥家上坡路有 x km，下坡路有 y km，则小华
从姥姥家回家，需要走上坡路 y km，下坡路 x km.
根据题意，得
解得
所以 x ＋ y ＝1.5＋3＝4.5.
所以从小华家到姥姥家有1.5km上坡路，3km下坡路，姥姥家离
小华家4.5 km.
12. 爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间
看到的里程碑上的数如下表：
时刻 9：00 9：45 12：00
里程碑
上 的数 是一个两位数，
它的两个数字之
和是9 十位与个位数字与
9：00时看到的正
好相反 比9：00时所看
到的两位数中间
多了个0
小明9：00时看到的两位数是多少？
解：设小明9：00时看到的两位数的十位数字是 x ，个位数字是y .
则9：45时看到的两位数为 x ＋10 y ，9：00～9：45 行驶的
里程数为（10 y ＋ x ）－（10 x ＋ y ）. 12：00时看到的数为100 x ＋ y ，9：45～12：00 行驶的里程数为（100 x ＋ y ）－（10 y ＋ x ）.
根据题意，得解得所以小明9：00时看到的两位数是27.
13. （选做）一个三位数正整数 F ，各个数位上的数字互不相同
且都不为0.从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个
数字可以组成6个不同的两位数.若这6个两位数的和等于这个三
位数本身，则称这样的三位数 F 为“友好数”，例如：132是
“友好数”.一个三位数正整数 P ，各个数位上的数字互不相同
且都不为0，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则
称这样的三位数 P 为“和平数”.
（1）直接判断：123 “友好数”（填“是”或“不
是”）；
（2）求出既是“和平数”又是“友好数”的数.
（1）【解析】从123中任选两个数组成6个两位数分别为12，
21，23，32，13，31.
将这6个数相加，得12＋21＋23＋32＋13＋31＝132.
因为132≠123，
所以123不是“友好数”.
故答案为不是.
不是
（2）解：设三位数百位、十位、个位上的数字分别是 x ， y ，
z .根据题意，得
由②，得22 x ＋22 y ＋22 z ＝100 x ＋10 y ＋ z .
所以12 y ＝78 x －21 z . ③
把①代入③，得12 x ＋12 z ＝78 x －21 z .
所以33 z ＝66 x .
所以 z ＝2 x ， y ＝ x ＋ z ＝3 x .
符合条件的 x ， y ， z 有
所以既是“和平数”又是“友好数”的数有132，264，396.
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第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
1. 下列方程：① xy ＋3＝1；② a ＋ b ＝0；③2 a － b ＝32；④
＝ y ＋1；⑤ x ＝ y .其中二元一次方程有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
2. 方程■ x －2 y ＝ x ＋5是二元一次方程，■是被弄污的 x 的系数.
请你推断，■的值属于下列情况中的（ C ）
A. 不可能是－1 B. 不可能是－2
C. 不可能是1 D. 不可能是2
C
3. 在下列各组数中，是方程组的解的是
（ D ）
A. B.
C. D.
D
4. 李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，
到学校共用时15分.他骑自行车的速度是250米/分，步行的速度
是80米/分.他家离学校的距离是2900米.若他骑车和步行的时间
分别为 x 分和 y 分，则列出的方程组
是 .
5. 若方程2 ＋（ n ＋3） ＝4是关于 x ， y 的二元一
次方程，则 mn ＝ .
－1
6. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解是
则 a ＋ b 的值是 .
2
7. 根据题意列方程组：
（1）某体育器材店有A，B两种型号的篮球，已知购买3个A型
号篮球和2个B型号篮球共需310元，购买2个A型号篮球和5个B
型号篮球共需500元.问：A，B型号篮球的价格各是多少元？
解：设A型号篮球的价格为 x 元，B型号篮球的价格为 y 元.
根据题意，得
（2）某公司要把240t矿石运往某地，现用大、小两种货车共20
辆（每辆车都载满矿石），恰好能一次性装完这批矿石.已知这
两种货车的载质量分别为15t/辆和10t/辆.问：这两种货车各用多
少辆？
解：设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆.
根据题意，得
（3）已知一个长方形的周长等于60cm，它的长比宽多10cm，
则它的长和宽各是多少？
解：设它的长是 x cm，宽是 y cm.
根据题意，得
8. 已知关于 x ， y 的方程（ m2－4） x2＋（ m ＋2） x ＋（ m ＋
1） y ＝ m ＋5.
（1）当 m 为何值时，它是一元一次方程？
（2）当 m 为何值时，它是二元一次方程？
解：（1）根据题意，得 m2－4＝0，解得 m ＝±2.
当 m ＝2时，原方程为4 x ＋3 y ＝7，不符合题意，舍去；
当 m ＝－2时，原方程为－ y ＝3，符合题意.
故 m ＝－2时，它是一元一次方程.
（2）根据题意，得 m2－4＝0且 m ＋2≠0， m ＋1≠0.解得 m ＝
2.故 m ＝2时，它是二元一次方程.
9. 已知二元一次方程组的解中 x ， y 的值
相等，则 k 的值为 .
【解析】由题意，可知 x ＝ y .所以4 x ＋3 y ＝7可以化为4 x ＋3 x
＝7.所以 x ＝1.所以 y ＝1.将 x ＝1， y ＝1代入 kx ＋（ k －1） y
＝3中，得 k ＋ k －1＝3，解得 k ＝2.故答案为2.
2
10. 小亮解得二元一次方程组的解为由
于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★.请你帮
他找回这两个数：★＝ ，●＝ .
－2
8
解：
把②代入①，得2（ y －1）＋ y ＝7，解得 y ＝3.
将 y ＝3代入②中，得 x ＝3－1＝2.
把 x ＝2， y ＝3代入方程 ax ＋ y ＝4中，
得2 a ＋3＝4，解得 a ＝ .
11. 已知方程组的解也是关于 x ， y 的方程 ax ＋ y
＝4的一组解，求 a 的值.
12. 甲、乙两人同求关于 x ， y 的方程 ax － by ＝7的整数解.甲正
确地求出一组解为乙把 ax － by ＝7看成了 ax － y ＝7，
求出一组解为求 ab 的平方根.
解：由题意，可得解得
则 ab ＝9－2＝ ＝ .
故 ab 的平方根是± .
13. （选做）已知1辆A型车载满货物一次可运货4t，1辆B型车
载满货物一次可运货3t.某物流公司现有31t货物，计划同时租用
A型车 a 辆和B型车 b 辆，每辆车都载满货物，恰好一次运完.根
据以上信息，解答下列问题：
（1）请你帮该物流公司设计租车方案.
（2）若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/
次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
解：（1）根据题意，得4 a ＋3 b ＝31.
因为 a ， b 都是正整数，
所以或或
故有3种租车方案.
方案一：租A型车7辆，B型车1辆；
方案二：租A型车4辆，B型车5辆；
方案三：租A型车1辆，B型车9辆.
（2）因为A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100
元/次，
所以方案一需租金7×120＋1×100＝940（元）；
方案二需租金4×120＋5×100＝980（元）；
方案三需租金1×120＋9×100＝1 020（元）.
因为1 020＞980＞940，
所以最省钱的租车方案是租A型车7辆，B型车1辆，最少租
车费为940元.
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