北师版八上数学 期末总复习 课外培优习题课件（6份打包）

(共32张PPT)
总复习　期末复习课
期末复习课（三）
（第三章　位置与坐标，第六章　数据的分析）
1. 若座位表上“5列2行”记作（5，2），则（4，3）表示
（　C　）
A. 3列5行 B. 5列3行
C. 4列3行 D. 3列4行
C
2. 某校组织七年级新生测试，抽查了部分学生每分钟跳绳成绩
（单位：下），将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含
最高值）：
组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
70～90 90～110 110～130 130～150 150～170
人数 5 13 17 12 3
该样本的中位数落在（　B　）
B
A. 第二组 B. 第三组
C. 第四组 D. 第五组
3. 下表记录了某校4名同学几次跑200m的成绩的平均数 和方
差 s2：
学生 小明 小红 小芳 小米
平均数 /s 33 m 32 29
方差 s2 5.5 n 12.5 17.5
根据表中数据，可以判断小红是这4名学生中成绩最好且发挥最
稳定的，则 m 与 n 的值可能是（　A　）
A
A. m ＝28， n ＝4 B. m ＝28， n ＝18
C. m ＝35， n ＝4 D. m ＝35， n ＝18
4. （1）已知1，4， m ，7，8的平均数是5，则1，4， m ＋10，
7，8的平均数为 ；
（2）已知一组数据 x1， x2，…， xn 的方差是2，则另一组数据3
x1＋5，3 x2＋5，…，3 xn ＋5的方差是 .
7　
18　
5. 某日，甲、乙两地的气温如图所示.若将这一天甲、乙两地
气温的方差分别记作 ， ，则 （填“＞”“＜”或“＝”）.
＜　
6. （1）若点 P （ m ＋3， m ＋2）在坐标轴上，则点 P 的坐标
为 ；
（2）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，－1）.若 AB ∥
y 轴，且 AB ＝9，则点 B 的坐标是 .
（0，－1）或（1，0）　
（2，8）或（2，－10）　
7. 已知平面直角坐标系中有一点 M （ m －1，2 m ＋3）.
（1）若点 M 在第二、四象限的角平分线上，求点 M 的坐标；
（2）若点 M 到 y 轴的距离为1，求点 M 的坐标；
（3）在（1）的条件下，求点 M 关于 y 轴对称的点的坐标.
解：（1）∵点 M 在第二、四象限的角平分线上，
∴ m －1＋2 m ＋3＝0.∴ m ＝－ .
∴ m －1＝－ －1＝－ ，2 m ＋3＝2× ＋3＝ .
∴点 M 的坐标为 .
（2）∵点 M 到 y 轴的距离为1，
∴｜ m －1｜＝1.∴ m ＝2或 m ＝0.
当 m ＝2时， m －1＝1，2 m ＋3＝7，则 M （1，7）；
当 m ＝0时， m －1＝－1，2 m ＋3＝3，则 M （－1，3）.
综上所述，点 M 的坐标为（1，7）或（－1，3）.
（3）由（1）可得，点 M .
∴点 M 关于 y 轴对称的点的坐标为 .
8. 某市举行安全知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表
队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示.
（1）根据上述信息，将表格补充完整；
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
A 校
B校 85 100
（2）结合两校参赛选手的成绩的平均数和中位数，分析哪个学
校的决赛成绩较好.
85　
85　
85　
80　
（1）【解析】由图可知，A校5名选手的成绩（单位：分）为
75，80，85，85，100，B校5名选手的成绩（单位：分）为70，
75，80，100，100，
∴A校5名选手的成绩的平均数为 ×（75＋80＋85＋85＋100）
＝85（分），中位数是85分，众数是85分.
B校5名选手的成绩的中位数是80分.故从上到下的答案为85，
85，85，80.
（2）解：A校的决赛成绩较好.理由如下：
由表知，A，B两校参赛选手成绩的平均数相等，而A校参赛选
手成绩的中位数大于B校，所以A校的决赛成绩较好.
9. 已知一组数据的方差 s2＝ ×[（6－10）2＋（9－10）2＋（ a
－10）2＋（11－10）2＋（ b －10）2]＝6.8，则 a2＋ b2的值
为 .
296　
【解析】∵ s2＝ ×[（6－10）2＋（9－10）2＋（ a －10）2＋
（11－10）2＋（ b －10）2]＝6.8，∴16＋1＋ a2－20 a ＋100＋1
＋ b2－20 b ＋100＝34.∴ a2＋ b2－20（ a ＋ b ）＝－184.又∵6，
9， a ，11， b 的平均数为10，∴6＋9＋ a ＋11＋ b ＝50.∴ a ＋ b
＝24.∴ a2＋ b2－20×24＝－184.∴ a2＋ b2＝296.故答案为296.
10. 如图，在平面直角坐标系中，将△ ABO 沿 x 轴向右滚动到△
AB1 C1的位置，再到△ A1 B1 C2的位置……依次进行下去.已知点
A （3，0）， B （0，4），则点 A49的坐标为 .
（300，3）　
【解析】由图可知， OA ＝3， OB ＝4.在Rt△ OAB 中，由勾股
定理，得 AB ＝5.观察三角形滚动的规律，可知由点 B 到点 B2，
刚好滚动一周；由点 B2到点 B4，刚好滚动2周；…；则由点 B 到
点 B50，刚好滚动50÷2＝25（周）.∵滚动一周在 x 轴上的长度
为5＋4＋3＝12，∴ BB50＝12×25＝300.∴点 B50的坐标为
（300，4）.∴点 A49的坐标为（300，3）.故答案为（300，
3）.
11. 在“慈善一日捐”活动中，八（1）班全体同学参加了捐款
活动，淇淇统计了捐款情况，并绘制成如下不完整的统计图.
　　
（1）求捐款10元的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）求捐款金额的众数和中位数；
（3）在统计过程中，淇淇误把同学甲统计到捐款15元的学
生人数中，使得全班捐款平均数降低了0.2元，求甲同学的
捐款金额.
解：（1）由题意，得该班的总人数为14÷28％＝50（人），
所以捐款10元的人数为50－9－14－7－4＝16（人）.
补全条形统计图如下：
（2）∵10元出现16次，次数最多，∴众数是10元.
∵共有50个数据，最中间的数是10元和15元，
∴中位数为 ＝12.5（元）.
（3）原来的平均数是 ×（5×9＋10×16＋15×14＋20×7＋
25×4）＝ ×655＝13.1（元）.
设甲同学的捐款金额为 x 元.
根据题意，得 ＝13.1＋0.2，
解得 x ＝25.
∴甲同学的捐款金额为25元.
12. 八（1）班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加知识竞
赛，举行了6次测试的选拔赛.根据两名同学选拔赛的6次成绩，
分别绘制了如下统计图.
甲同学成绩条形统计图
乙同学成绩折线统计图
（1）根据上述信息填写下表：
学生 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲 90 93
乙 87.5 85
（2）分别求出甲、乙两名同学6次成绩的方差.
91　
90　
（3）你认为选择哪一名同学参加知识竞赛比较好？请说明
理由.
（1）【解析】甲同学成绩从低到高排列为82，85，89，93，
93，98，
所以甲同学成绩的中位数是 ＝91（分）.
乙同学成绩的平均数是 ×（95＋85＋90＋85＋100＋85）＝90
（分）.
故从上到下的答案为91，90.
（2）解：甲同学成绩的方差是 ×[（85－90）2＋（82－90）2
＋（89－90）2＋（98－90）2＋（93－90）2＋（93－90）2]＝
.
乙同学成绩的方差是 ×[（95－90）2＋（85－90）2＋（90－
90）2＋（85－90）2＋（100－90）2＋（85－90）2]＝ .
（3）解：选择甲同去参加知识竞赛比较好.理由如下：
因为两人成绩的平均数相同，甲成绩的中位数、众数均高于
乙，所以甲成绩的实力高些.又因为甲成绩的方差小于乙成绩的
方差，所以甲同学发挥更稳定.所以选择甲同学参加知识竞赛比
较好.
13. （选做）某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而作
相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了下面的
统计表及不完整的折线统计图.
次序 第一次 第二次 第三次
A 产品单价/（元/件） 6 5.2 6.5
B 产品单价/（元/件） 3.5 4 3
营销人员求得了A产品三次单价的平均数和方差： ＝5.9，
＝ ×[（6－5.9）2＋（5.2－5.9）2＋（6.5－5.9）2]＝ .
（1）补全折线统计图.B产品第三次的单价比上一次的单价降低
了 ％；
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动
小；
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B
产品的单价在3元/件的基础上调 m ％（ m ＞0），使得A产品
这四次单价的中位数比B产品这四次单价的中位数的2倍少
1，求 m 的值.
25　
B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 ×100％＝25％.
故答案为25.
解：（1）补全折线统计图如图所示：
（2）由题意，得 ＝ ×（3.5＋4＋3）＝3.5（元/件），
＝ ＝ .
∵ ＞ ，∴B产品的单价波动小.
（3）第四次调价后，对于A产品，这四次单价的中位数为
＝ .
对于B产品，∵ m ＞0，∴第四次单价大于3.
∵ ×2－1＞ ，∴第四次单价小于4.
∴ ×2－1＝ ，解得 m ＝25.
演示完毕 谢谢观看(共30张PPT)
总复习　期末复习课
期末复习课（四）（第四章　一次函数）
1. 下列图象中，表示 y 是 x 的函数的是（　D　）
D
2. 下列关于函数 y ＝2 x －4的说法中，正确的是（　D　）
A. 它的图象过点（1，0）
B. y 的值随着 x 值的增大而减小
C. 它的图象经过第二象限
D. 当 x ＞2时， y ＞0
D
3. 正比例函数 y ＝ kx 与一次函数 y ＝ kx ＋ k 在同一平面直角坐标
系中的大致图象可能是（　C　）
4. 在一次函数 y ＝ kx ＋2中， y 的值随着 x 值的增大而减小，则
点 P （3， k ）在第 象限.
5. 已知点（－3， y1），（2， y2）都在一次函数 y ＝－2 x ＋3的
图象上，则 y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
C
四　
＞　
6. 李老师开车从甲地到相距240km的乙地，如果油箱内的剩余
油量 y （L）与行驶里程 x （km）之间是一次函数关系，其图象
如图所示，那么到达乙地时油箱内的剩余油量是 L. 　
20　
7. 如图，已知一次函数 y ＝ x ＋3的图象 l1与 x 轴相交于点 B ，与
过点 A （3，0）的一次函数的图象 l2相交于点 C （1， m ）.
（1）求一次函数图象 l2对应的函数表达式；
（2）求△ ABC 的面积.
解：（1）∵点 C （1， m ）在一次函数 y ＝ x ＋3的图象上，
∴ m ＝1＋3＝4.
∴点 C （1，4）.
设一次函数图象 l2对应的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点 A （3，0）， C （1，4）分别代入，得解得
∴一次函数图象 l2对应的函数表达式为 y ＝－2 x ＋6.
（2）对于一次函数 y ＝ x ＋3，
当 y ＝0时，得0＝ x ＋3.解得 x ＝－3.
∵一次函数 y ＝ x ＋3的图象 l1与 x 轴交于点 B ，
∴ B （－3，0）.
∵ A （3，0），∴ AB ＝6.
∴ S△ ABC ＝ ×6×4＝12.
8. 已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一条公路从甲地
出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中 DE ， OC 分别表示
A，B离开甲地的路程 s （km）与时间 t （h）之间的函数关系图
象.根据图象回答下列问题：
（1）A比B晚出发几小时？B的平均速度是多少？
（2）在B出发几小时后，两人相遇？
解：（1）由图可知，A比B晚出发1h，
B的平均速度为60÷3＝20（km/h）.　
（2）由图可知，点 D （1，0）， C （3，60）， E （3，90）.
设直线 OC 的函数表达式为 y ＝ kx （ k ≠0），
则3 k ＝60，解得 k ＝20.∴ y ＝20 x .
设直线 DE 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0），
则解得
∴ y ＝45 x －45.
当两人相遇时，根据题意，得20 x ＝45 x －45，解得 x ＝ .
∴B出发 h后两人相遇.
9. 如图，直线 y ＝－2 x ＋2与 x 轴和 y 轴分别交于 A ， B 两点，射
线 AP ⊥ AB 于点 A . 若点 C 是射线 AP 上的一个动点，点 D 是 x 轴
上的一个动点，且以 C ， D ， A 为顶点的三角形与△ AOB 全
等，则 OD 的长为 .
1＋ 或3　
【解析】∵ AP ⊥ AB ，∴∠ BAP ＝∠ AOB ＝90°.∴∠ ABO ＋
∠ BAO ＝∠ DAC ＋∠ BAO ＝90°.∴∠ ABO ＝∠ DAC . 在 y ＝
－2 x ＋2中，令 x ＝0，则 y ＝2；令 y ＝0，则 x ＝1.∴ OA ＝1，
OB ＝2.在Rt△ AOB 中，由勾股定理，得 AB ＝ .
①如图1，当∠ ACD ＝90°时，∵△ DCA ≌△ AOB ，∴ AD ＝ AB ＝ .∴ OD ＝1＋ ；
图1
图2
图2
②如图2，当∠ ADC ＝90°时， ∵△ CDA ≌△ AOB ，∴ AD ＝ OB ＝2.∴ OD ＝3.综上所述， OD 的长为1＋ 或3.故答案为1＋ 或3.
10. 甲、乙两车分别从相距280km的A，B两地相向而行，乙
车比甲车先出发1h，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，
甲车到达C地停留1h，因有事按原路原速返回A地.乙车从B
地直达A地，两车同时到达A地.甲、乙两车与各自出发地的
距离 y （km）与甲车出发所用的时间 x （h）的关系如图所
示.下列说法：
①乙车的速度是40km/h；②甲车从C地返回A地的速度为
70km/h；③ t ＝3；④当两车相距35km时，乙车行驶的时间是2h
或6h.其中正确的是 （填序号）.
②③　
【解析】由图象，得乙车的速度为35÷1＝35（km/h），故①错
误；甲车从出发到回到A地一共用的时间为（280－35）÷35＝
7（h），则甲从C地返回A地的速度为210÷ ＝70（km/h），
故②正确；由图象，得 t ＝ ＝3（h），故③正确；乙车行驶
2h时，甲、乙相距280－（35×2＋70×1）＝140（km），故④
错误.故答案为②③.
11. 学校与图书馆在同一条笔直的道路旁，甲从学校去图书馆，
乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先
到达目的地.两人之间的距离 y （m）与时间 t （min）之间的关
系如图所示.根据图象信息，解决下列问题：
（1）当 t ＝ min时，甲、乙两人相遇；甲的速度
为 m/min；
（2）求出线段 AB 所在直线的函数表达式，并写出自变量的取
值范围.
（1）【解析】根据图象信息，当 t ＝24 min时，甲、乙两人相
遇，甲的速度为2 400÷60＝40（m/min）.故答案为24，40.
24　
40　
（2）解：∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两
人都匀速步行且同时出发， t ＝24 min时甲、乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2 400÷24＝100（m/min），∴乙的速
度为100－40＝60（m/min）.∴乙从图书馆回学校的时间为
2 400÷60＝40（min）.∵点 A 的纵坐标为40×40＝1 600.∴点 A
的坐标为（40，1 600）.设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y
＝ kt ＋ b （ k ≠0）.∵ A （40，1 600）， B （60，2 400），
∴解得∴线段 AB 所在直线的函数
表达式为 y ＝40 t （40≤ t ≤60）.
12. 如图，已知直线 l1： y ＝ x ＋1与 x 轴交于点 D ，直线 l2与 x
轴交于点 A ，且过点 B （－1，5），两直线交于点 C （ n ，2）.
（1）求直线 l2的函数表达式.
（2）在 y 轴上是否存在一点 E ，使 EB ＋ ED 最小？若存在，求
出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）将点 C （ n ，2）代入 y ＝ x ＋1，得 n ＝2.
∴点 C （2，2）.
设直线 l2的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点 B （－1，5）， C （2，2）分别代入，得
解得
∴直线 l2的函数表达式为 y ＝－ x ＋4.
（2）存在.理由如下：
在 y ＝ x ＋1中，令 y ＝0，得 x ＝－2.
∴点 D （－2，0）.
如图，作点 D 关于 y 轴的对称点D'，则D'（2，0）.
由轴对称的性质，知 ED ＝ED'，∴ EB ＋ ED ＝ EB ＋ED'.
当 B ， E ，D'三点共线时， EB ＋ ED 最小.
设直线BD'的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
则解得
∴直线BD'的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
在 y ＝－ x ＋ 中，令 x ＝0，得 y ＝ .
∴点 E .
∴在 y 轴上存在一点 E ，使 EB ＋ ED 最小，此时点 E 的坐标为
.
13. （选做）如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴于 A （4，
0）， B 两点，点 C （－4， a ）是直线 y ＝－ x 与 AB 的公共点.
（1）求点 B 的坐标.
（2）在直线 y ＝ x ＋6上是否存在点 P ，使得△ POA 的面积与△
POB 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说
明理由.
解：（1）∵点 C （－4， a ）在直线 y ＝－ x 上，∴ a ＝4.∴ C
（－4，4）.
设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将 A （4，0）， C （－4，4）分别代入，得
解得
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋2.
对于 y ＝－ x ＋2，当 x ＝0时， y ＝2，
∴点 B 的坐标为（0，2）.
（2）存在.设 P （ m ， m ＋6）.
∵点 A （4，0），点 B （0，2），
∴ OA ＝4， OB ＝2.
∵ S△ POA ＝ S△ POB ，
∴ OA ·｜ yP ｜＝ OB ·｜ xP ｜.
∴｜ xP ｜＝2｜ yP ｜.
当点 P 在第一象限时，得 m ＝2（ m ＋6），
解得 m ＝－12（舍去）；
当点 P 在第二象限时，得－ m ＝2（ m ＋6），
解得 m ＝－4.
∴点 P 的坐标为（－4，2）；
当点 P 在第三象限时，－ m ＝2（－ m －6），
解得 m ＝－12.
∴点 P 的坐标为（－12，－6）.
综上所述，存在满足条件的点 P ，其坐标为（－4，2）或（－
12，－6）.
演示完毕 谢谢观看(共27张PPT)
总复习　期末复习课
期末复习课（五）（第五章　二元一次方程组）
1. 已知关于 x ， y 的方程 x2 m－ n－2＋4 ym＋ n＋1＝6是二元一次方
程，则 m ， n 的值为（　A　）
A. m ＝1， n ＝－1 B. m ＝－1， n ＝1
C. m ＝ ， n ＝－ D. m ＝－ ， n ＝
A
2. 用图象法解关于 x ， y 的二元一次方程组
时，小英所画的图象如图所示，则方程组的解为（　D　）
A. B.
C. D.
D
3. 某市出租车的起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部
分另收费.津津乘坐出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐出租
车走了13km，付了28元.设出租车的起步价为 x 元，超过2km后
每千米收费 y 元，则下列方程组正确的是（　D　）
A. B.
C. D.
D
4. 王芳同学生日的日数减去月数为9，月数的两倍与日数相加
为27，则王芳同学生日的月数和日数的和是 .
5. 若关于 x ， y 的方程组有无数解，则 k － m 的值
是 .
21　
4　
6. 下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物
体（单位：g），则第三个天平右盘中砝码的质量为 g.
10　
7. 解下列方程组：
（1）
解：原方程组可变形为
由①＋②，得6 y ＝6，解得 y ＝1.
将 y ＝1代入②，得 x ＝3.
∴原方程组的解是
（2）
解：
由①×2＋②，得 x ＝1，解得 x ＝2.
将 x ＝2代入②，得8－2 y ＝10，解得 y ＝－1.
∴原方程组的解是
（3） ＝ ＝ x ＋ y －4.
解：根据题意，得
由②×2－①，得 y ＝8－3 y ，解得 y ＝2.
将 y ＝2代入①，得 x ＝3.
∴原方程组的解是
8. 体育器材室有A，B两种型号的实心球，1个A型球与1个B型
球的质量共7 kg，3个A型球与1个B型球的质量共13 kg.
（1）每个A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有若干个A型球和B型球，其质量共17 kg，则A型球、B
型球各有多少个？
解：（1）设每个A型球的质量是 x kg，每个B型球的质量是 y kg.
根据题意，得解得
所以每个A型球的质量是3 kg，每个B型球的质量是4 kg.
（2）设A型球有 a 个，B型球有 b 个.
根据题意，得3 a ＋4 b ＝17.
因为 a ， b 都是正整数，所以
所以A型球有3个，B型球有2个.
9. 某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形
礼盒的巧克力价钱相同，每盒圆形礼盒的巧克力价钱相同.
王伟原先想购买3盒方形礼盒的巧克力和7盒圆形礼盒的巧克
力，但他身上的钱还差240元；如果改成购买7盒方形礼盒的
巧克力和3盒圆形礼盒的巧克力，那么他身上的钱会剩下240
元.若王伟最后只购买了10盒方形礼盒的巧克力，则他身上
的钱会剩下 元.
600　
【解析】设每盒方形礼盒的巧克力 x 元，每盒圆形礼盒的巧克力
y 元，则王伟身上的钱有（3 x ＋7 y －240）元或（7 x ＋3 y ＋
240）元.根据题意，得3 x ＋7 y －240＝7 x ＋3 y ＋240.化简整
理，得 y － x ＝120.若王伟最后只购买了10盒方形礼盒的巧克
力，则他身上的钱会剩下（7 x ＋3 y ＋240）－10 x ＝3（ y － x ）
＋240＝3×120＋240＝600（元）.故答案为600.
10. 如图，将6个大小、形状完全相同的小长方形放置在大长方
形中，则图中阴影部分的总面积为 cm2.
44　
【解析】设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm.根据题意，得
解得∴图中阴影部分的总面积＝
14×（6＋2 y ）－6 xy ＝14×（6＋2×2）－6×8×2＝44（cm2）.故答案为44.
11. 当 a ， b 都是实数，且满足2 a － b ＝6时，就称点 P 为“完美点”.
（1）判断点 A （2，3）是否为“完美点”；
（2）已知关于 x ， y 的方程组当 m 为何值
时，以方程组的解为坐标的点 B （ x ， y ）是“完美点”？
请说明理由.
解：（1）由 a －1＝2，得 a ＝3.
由 ＋1＝3，得 b ＝4.
∵2 a － b ＝2×3－4＝2≠6，
∴点 A （2，3）不是“完美点”.
（2）∵∴
由3＋ m ＝ a －1，得 a ＝ m ＋4.
由3－ m ＝ ＋1，得 b ＝4－2 m .
∵2 a － b ＝6，
∴2 m ＋8－4＋2 m ＝6，解得 m ＝ .
∴当 m ＝ 时，以方程组的解为坐标的点 B （ x ， y ）是“完美
点”.
12. 某玩具厂准备生产A，B两种玩具共80万套，两种玩具的成
本和售价如下表：
种类 A B
成本/（元/套） 25 28
售价/（元/套） 30 34
（1）若该厂所筹集资金为2180万元，且所筹资金全部用于生
产，则这两种玩具各生产多少万套？
（2）设该厂生产A种玩具 x 万套，两种玩具所获得的总利润为
W 万元，请写出 W 与 x 之间的函数关系式.
（3）由于资金短缺，该厂所筹集的资金有限，只够生产A种49
万套、B种31万套或A种50万套、B种30万套.根据市场调查，每
套A种玩具的售价将提高 a 元（ a ＞0），B种玩具售价不变，且
所生产的玩具可全部售出.该玩具厂应如何安排生产才能获得最
大利润？
解：（1）设生产A种玩具 a 万套，B种玩具 b 万套.
根据题意，得解得
故生产A种玩具20万套，B种玩具60万套.
（2） W ＝（30－25） x ＋（34－28）（80－ x ）.
化简，得 W ＝－ x ＋480.
即 W 与 x 之间的函数关系式为 W ＝－ x ＋480.
（3）设生产 A 种玩具 x 万套.
根据题意得，获得的利润为 W ＝－ x ＋480＋ ax .
当 x ＝49时，
W1＝－49＋480＋49 a ＝431＋49 a ；①
当 x ＝50时，
W2＝－50＋480＋50 a ＝430＋50 a .②
由①－②，得 W1－ W2＝1－ a .
∴当0＜ a ＜1时，选择生产A种49万套、B种31万套；当 a ＞
1时，选择生产A种50万套、B种30万套.即当0＜ a ＜1时，玩
具厂应选择生产A种49万套、B种31万套才能获得最大利
润；当 a ＞1时，玩具厂应选择生产A种50万套、B种30万套
才能获得最大利润.
13. （选做）已知关于 x ， y 的二元一次方程组
（ k 为常数）.
（1）求这个二元一次方程组的解（用含 k 的代数式表示）；
（2）若方程组的解中 x ， y 满足 x 比5小 y ，求 k 的值；
（3）若（4 x ＋2）2 y ＝1，求 k 的值.
解：（1）
由①＋②，得4 x ＝2 k －1.解得 x ＝ .
由②－①，得2 y ＝－4 k ＋3.解得 y ＝ .
∴原方程组的解为
（2）∵方程组的解 x ， y 满足 x ＝5－ y ，
即 x ＋ y ＝5，∴ ＋ ＝5.
解得 k ＝－ .
（3）由题意可知，有三种情况：
①∵ a0＝1（ a ≠0），（4 x ＋2）2 y ＝1，
∴2 y ＝0，即2× ＝0，解得 k ＝ ；
②∵1 n ＝1，（4 x ＋2）2 y ＝1，
∴4 x ＋2＝1，即4× ＋2＝1，解得 k ＝0；
③∵（－1）2 n ＝1（ n 为正整数），（4 x ＋2）2 y ＝1，∴4 x ＋2
＝－1，2 y 为偶数，
即4× ＋2＝－1，解得 k ＝－1.
当 k ＝－1时，2 y ＝2× ＝7为奇数，不合题意，舍去.
综上所述，当 k 的值为0或 时，（4 x ＋2）2 y ＝1.
演示完毕 谢谢观看(共27张PPT)
总复习　期末复习课
期末复习课（一）（第一章　勾股定理）
1. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　B　）
A. 5，13，13 B. 1， ，
C. 1， ，3 D. 15，25，35
2. 下列各组数中，是勾股数的是（　D　）
A. 4，5，6 B. 0.3，0.4，0.5
C. 1，2，3 D. 9，40，41
B
D
3. 如图，一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发，向东北方
向航行；另一艘轮船以12nmile/h的速度同时从港口A出发，向
东南方向航行.离开港口2h后，两船相距（　A　）
A. 40nmile B. 35nmile
C. 30nmile D. 25nmile
（第3题图）
A
4. 如图，这是“赵爽弦图”，△ ABH ，△ BCG ，△ CDF 和△
DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正
方形.若 AB ＝17， EF ＝7，则 AH ＝ .
（第4题图）
8　
5. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形 AOCD 沿直线 AE 折叠
（点 E 在边 DC 上），折叠后，顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F
处.若点 D 的坐标为（10，8），则点 E 的坐标为 .
（第5题图）
（10，
3）　
6. 如图，在一张长 AB ＝13cm，宽 AD ＝8cm的长方形纸片上，
放置一根直棱柱的木块，它的底面为正方形，它的侧棱平行且
大于纸片的宽 AD . 若一只蚂蚁从点 A 处到点 C 处走的最短路程
是17cm，则该四棱柱的底面边长是 cm.
（第6题图）
1　
7. 如图，连接四边形 ABCD 的对角线 AC ，已知∠ B ＝90°，
BC ＝1， AB ＝ ， CD ＝2， AD ＝2 .
（1）求证：△ ACD 是直角三角形；
（2）求四边形 ABCD 的面积.
（1）证明：∵∠ B ＝90°， BC ＝1， AB ＝ ，
∴ AC ＝ ＝ ＝2.
∵ CD ＝2， AD ＝2 ，
∴ AC2＋ CD2＝22＋22＝8＝ AD2.
∴△ ACD 是直角三角形.
（2）解：由（1）知，∠ ACD ＝90°，
∴ S四边形 ABCD ＝ S△ ABC ＋ S△ ACD ＝ ×1× ＋ ×2×2＝ ＋2.
8. 如图，在甲村至乙村的公路边有一块山地正在开发，现 C 处
需要爆破.已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为300m，与公路
上的另一个停靠站 B 的距离为400m，且 CA ⊥ CB . 安全起见，
距离爆破点 C 方圆250m内不得进入.问：在进行爆破时，公路
AB 是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由.
答图
答图
解：公路 AB 需要暂时封锁.理由如下：
如答图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D .
∵ BC ＝400m， AC ＝300m，∠ ACB ＝90°，
∴在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
AB ＝ ＝ ＝500（m）.
∵ S△ ABC ＝ AB · CD ＝ AC · BC ，
∴ CD ＝ ＝ ＝240（m）.
∵240＜250，∴在进行爆破时，公路 AB 有危险，需要暂时封锁.
9. 在△ ABC 中，已知 AB ＝13， AC ＝20，边 BC 上的高为12，
则△ ABC 的面积为 .
126或66　
图1
图2
图1
【解析】分两种情况：①当∠ B 为锐角时，如图1.在Rt△ ABD
中， BD ＝ ＝ ＝5，在Rt△ ADC 中， CD
＝ ＝ ＝16.∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝21.∴△
ABC 的面积为 ×21×12＝126；
②当∠ B 为钝角时，如图2.在Rt△ ABD 中，同理可得， BD ＝
5， CD ＝16.∴ BC ＝ CD － BD ＝16－5＝11.∴△ ABC 的面积为
×11×12＝66.综上所述，△ ABC 的面积为126或66.故答案为
126或66.
图2
10. 如图，已知长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B 到点 C
的距离为5.若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，则
需要爬行的最短距离是 .
25　
【解析】其最短路线可以从以下三种情况考虑：①当把长方体
的正面和右侧面展开时，如图1所示.此时， BE ＝ BC ＋ CE ＝5
＋10＝15， AE ＝20.在Rt△ AEB 中，由勾股定理，得 AB ＝
＝ ＝25；
图1
图2
②当把长方体的右侧面和上面展开时，如图2所示，此时， BD
＝ CD ＋ BC ＝20＋5＝25， AD ＝10.在Rt△ ABD 中，由勾股定
理，得 AB ＝ ＝ ＝5 ；
图3
图3
③当把长方体的后面和上面展开时，如图3所示.此时， AC ＝
AE ＋ CE ＝20＋10＝30， BC ＝5.在Rt△ ABC 中，由勾股定理，
得 AB ＝ ＝ ＝5 .∵5 ＞5 ＞
25，∴一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的
最短距离是25.故答案为25.
11. 如图，点 M ， N 把线段 AB 分割成 AM ， MN ， NB . 若以
AM ， MN ， NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M ， N
是线段 AB 的“勾股分割点”.
（1）已知点 M ， N 把线段 AB 分割成 AM ， MN ， NB . 若 AM ＝
1.5， MN ＝2.5， BN ＝2，则点 M ， N 是线段 AB 的“勾股分割
点”吗？请说明理由.
（2）已知点 M ， N 是线段 AB 的“勾股分割点”，且 AM 为直角
边.若 AB ＝24， AM ＝6，求 BN 的长.
解：（1）是.理由：∵ AM2＋ BN2＝1.52＋22＝6.25， MN2＝
2.52＝6.25，∴ AM2＋ NB2＝ MN2.∴以 AM ， MN ， NB 为边的
三角形是一个直角三角形.∴点 M ， N 是线段 AB 的“勾股分割
点”.
（2）设 BN ＝ x ，则 MN ＝24－ AM － BN ＝18－ x .①当 MN 为最
长线段时，依题意，得 MN2＝ AM2＋ BN2，即（18－ x ）2＝62＋
x2，解得 x ＝8；
②当 BN 为最长线段时，依题意，得 BN2＝ AM2＋ MN2，即 x2＝
62＋（18－ x ）2，解得 x ＝10.综上所述， BN 的长为8或10.
12. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝6， BC ＝8，点 D
在边 BC 上.把△ ABD 沿 AD 折叠得到△ AB ' D ， AB '与边 BC 相交
于点 E . 若△ DEB '为直角三角形，求 BD 的长.
解：在Rt△ ABC 中，∵∠ C ＝90°， AC ＝6， BC ＝8，∴ AB ＝
＝ ＝10.由折叠的性质，得 B ' D ＝ BD ， AB'＝ AB ＝10.①如图1，当∠ B ' DE ＝90°时，过点 B '作 B ' F ⊥
AC ，垂足为 F . 设 B ' D ＝ BD ＝ x ，则 AF ＝6＋ x ， FB '＝8－ x .
在Rt△ AFB '中，由勾股定理，得 AB '2＝ AF2＋ FB '2，即102＝
（6＋ x ）2＋（8－ x ）2.∴2 x2－4 x ＝0.∵ x ≠0，∴2 x －4＝0，
∴ x ＝2，即 BD ＝2；
图1
②如图2，当∠B'ED＝90°时，点 E 与点 C 重合.∵AB'＝ AB ＝
10， AC ＝6，∴B'E＝4.设B'D＝ BD ＝ x ，则 CD ＝8－ x .在
Rt△B'DE中，DB'2＝ DE2＋B'E2，即 x2＝（8－ x ）2＋42，解得 x
＝5，即 BD ＝5.综上所述， BD 的长为2或5.
图2
13. （选做）如图，已知△ ABC 是等腰直角三角形，∠ A ＝
90°，点 M 为 BC 边上的中点，过点 M 作 ME ⊥ MF ， ME 交 AB
于点 E ， MF 交 AC 于点 F .
（1）试判断△ EMF 的形状，并证明.
（2）以线段 BE ， EF ， CF 为边能否构成直角三角形？若能，
请加以证明；若不能，请说明理由.
解：（1）△ EMF 是等腰直角三角形.证明如下：
如答图，连接 AM . ∵△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝
90°， AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ C ＝45°.∵点 M 为边 BC 上的中
点，∴ AM ＝ MB ＝ MC ，∠ AMC ＝∠ AMB ＝90°，∠ BAM ＝∠ CAM ＝45°.∴∠ B ＝∠ C ＝∠ BAM ＝∠ CAM ，∠AME ＋∠ BME ＝90°，∠ AMF ＋∠ CMF ＝90°.∵ ME ⊥ MF ，∴∠ EMF ＝90°.∴∠ AME ＋∠ AMF ＝90°.∴∠ BME ＝ ∠ AMF ，∠ AME ＝∠ CMF . 在△ AFM 和△ BEM 中，∴△ AFM ≌△ BEM （ASA）.∴ FM ＝ EM . 又∵∠ EMF ＝90°，∴△ EMF 是等腰直角三角形.
（2）以线段 BE ， EF ， FC 为边能构成直角三角形.证明：∵△
AFM ≌△ BEM ，∴ AF ＝ BE . 在△ AME 和△ CMF 中，
∴△ AME ≌△ CMF （ASA）.∴ AE ＝ CF . ∵∠ BAC ＝90°，
∴ AE2＋ AF2＝ EF2.∴ CF2＋ BE2＝ EF2.∴以线段 BE ， EF ， CF
为边能构成直角三角形.
演示完毕 谢谢观看(共21张PPT)
总复习　期末复习课
期末复习课（二）（第二章　实　数）
1. 在实数0，π， ， ，－ 中，无理数有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列运算正确的是（　D　）
A. ＋ ＝ B. ＝3
C. ＝－2 D. ＝
C
D
3. 使得式子 有意义的 x 的取值范围是（　A　）
A. x ≥4 B. x ＞4
C. x ≤4 D. x ＜4且 x ≠0
A
4. （1）已知 介于两个连续的整数 a 与 b 之间，则 a ＋ b
＝ ；
（2）比较大小：－ －2.6.
1　
＜　
5. （1）已知实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，化简：
－ ＝ ；
（2）已知 x ， y 满足 ＋｜ y ＋2｜＝0，则 x2－4 y 的平方
根为 .
2 a 　
±3　
6. （1）已知 a ， b 分别是6－ 的整数部分和小数部分，则 a
＝ ， b ＝ ；
（2）已知一个正数的平方根是2 a －1和－ a ＋2，则 a ＝ ，这个正数是 .
2　
4－ 　
－1
9　
7. 已知25 x2－144＝0，且 x ＞0，求2 的平方根.
解：由25 x2－144＝0，解得 x ＝± .
∵ x ＞0，∴ x ＝ .
∴2 ＝2× ＝2×5＝10.
∴2 的平方根是± .
8. 计算：
（1）｜ ＋ －3｜＋｜－4＋ ＋ ｜；
解：原式＝ ＋ ＝1.
（2） － ；
解：原式＝－5－2＝－7.
（3）（2 ＋1）（ －3）＋ － ；　
解：原式＝（6－6 ＋ －3）＋（ －1）－（ －1）
＝3－5 ＋ －1－ ＋1＝3－5 .
（4）（－5 －3 ＋ ）×（－ ）.
解：原式＝5 ＋ －5 ＝ .
9. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AC ＝1， AB ＝
2，点 A 与数轴上表示－1的点重合.将△ ABC 沿数轴正方向旋转
一次使得点 B 落在数轴上，第二次旋转使得点 C 落在数轴
上……以此类推，△ ABC 第2 024次旋转后，落在数轴上的三角
形的顶点中，右边的点表示的数是 .
2 023＋675 　
10. （1）已知 ＋ ＝ ，则 － ＝ 　± 　；　
（2）已知 ＝ a ， ＝ b ，则 ＝ 　 　（用含 a ，
b 的代数式表示）.
【解析】（1）∵ ＋ ＝ ，∴ ＝ a ＋2＋ ＝
6.∴ a －2＋ ＝2，即 ＝2.
∴ － ＝± .故答案为± .
± 　
　
（2）∵ ＝ ＝ ＝ 且 ＝ a ，
＝ b ，∴ ＝ .故答案为 .
11. 已知 x ＝ ， y ＝ ，求 x2－ xy ＋ y2的值.
解：∵ x ＝ ＝ ， y ＝ ＝ ，∴ x － y ＝
， xy ＝ .
∴原式＝（ x － y ）2＋ xy ＝（ ）2＋ ＝5＋ ＝ .
12. 图1、图2表示正方形纸片.
（1）如图1，若正方形纸片的面积为1 dm2，则其对角线 AC 的
长为 dm.
（2）若一圆的面积与正方形的面积都是2π cm2，设圆的周长为
C圆，正方形的周长为 C正，则 C圆 C正（填“＞”“＜”或
“＝”）.
　
＜　
（3）如图2，若正方形的面积为16 cm2，李明同学想沿这张
正方形纸片的边的方向裁出一张面积为12 cm2的长方形纸
片，且它的长和宽之比为3∶2.他能裁出这样的长方形吗？
请说明理由.
图1
图2
（1）【解析】由已知 AB2＝1dm2，则 AB ＝1 dm.由勾股定理，
得 AC ＝ dm.故答案为 .
（2）【解析】由圆面积公式，得圆的半径为 cm，周长为2
π cm，正方形的周长为4 cm.故 ＝ ＝ ＝ ＜
1.所以 C圆＜ C正.故答案为＜.
（3）解：不能.理由：由已知设长方形的长和宽分别为3 x cm和
2 x cm.则长方形的面积为2 x ·3 x ＝12.解得 x ＝ .∴长方形的
长为3 cm＞ cm＝4cm.∴他不能裁出这样的长方形.
13. （选做）观察下列各式及其变形过程.
a1＝ ＝1－ ， a2＝ ＝ － ， a3＝ ＝
－ ……
（1）根据观察到的规律，写出第五个等式：
a5＝ ；　
＝ － 　
（3）若 x ＝ S2＋ a1，试求代数式2 x4＋4 x3－12 x2－4 x ＋2
的值.
解：（2）∵ an ＝ ＝ － ，
∴ Sn ＝ a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋
－ ＝1－ .　
（2）按照此规律，若 Sn ＝ a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ，试用含 n 的代
数式表示 Sn ；
（3）∵ a1＝1－ ， S2＝1－ ，
∴ x ＝ S2＋ a1＝ － ＋ －1＝ －1.
∴2 x4＋4 x3－12 x2－4 x ＋2＝2 x2（ x ＋1）2－14 x2－4 x ＋2＝2 x2
（ －1＋1）2－14 x2－4 x ＋2＝12 x2－14 x2－4 x ＋2＝－2 x2－
4 x －2＋4＝－2（ x ＋1）2＋4＝－2×（ －1＋1）2＋4＝－12
＋4＝－8.
演示完毕 谢谢观看(共34张PPT)
总复习　期末复习课
期末复习课（六）（第七章　平行线的证明）
1. 下列命题是假命题的是（　D　）
A. 同角的余角相等
B. 两直线平行，同位角相等
C. 三角形的内角和为180°
D. 同旁内角互补
D
2. 如图，下列条件中，不能判定直线 l1∥ l2的是（　C　）
A. ∠1＝∠3 B. ∠2＋∠4＝180°
C. ∠2＝∠3 D. ∠4＋∠5＝180°
（第2题图）
C
3. 如图，已知 AB ∥ CD ，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度
数为（　C　）
A. 55° B. 75°
C. 80° D. 105°
（第3题图）
C
4. 如图，已知 AB ∥ CD ，∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝
65°，则∠4＝ .
（第4题图）
55°　
5. 如图，已知 AB ∥ CD ，∠ A ＝25°，∠ CDP ＝140°，则∠ P
＝ .
（第5题图）
65°　
6. 如图，已知 DE ∥ BC ，∠ ABC ＝105°，点 F 在射线 BA 上，
且∠ EDF ＝125°，则∠ DFB 的度数为 .
20°　
7. 如图，已知 AE 平分∠ BAC ，且∠ CAE ＝∠ CEA . 　
（1）求证： AB ∥ CD ；
（2）若∠ C ＝50°，求∠ CEA 的度数.
（1）证明：∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ BAE ＝∠ CAE .
∵∠ CAE ＝∠ CEA ，
∴∠ BAE ＝∠ CEA .
∴ AB ∥ CD .
（2）解：∵∠ C ＝50°，
∴∠ CAE ＋∠ CEA ＝180°－∠ C ＝180°－50°＝130°.
∵∠ CAE ＝∠ CEA ，
∴∠ CEA ＝∠ CAE ＝ ×130°＝65°.
8. 如图，已知 AB ∥ CD ，∠2＋∠3＝180°， DA 平分∠ BDC ，
CE ⊥ FA 于点 E ，∠1＝70°.
（1）求证： AD ∥ CE ；
（2）求∠ FAB 的度数.
（1）证明：∵ AB ∥ CD ，
∴∠2＝∠ ADC .
∵∠2＋∠3＝180°，
∴∠ ADC ＋∠3＝180°.
∴ AD ∥ EC .
（2）解：∵ AB ∥ CD ，
∴∠ BDC ＝∠1＝70°，∠2＝∠ ADC .
∵ DA 平分∠ BDC ，
∴∠ ADC ＝ ∠ BDC ＝35°.
∴∠2＝35°.
∵ CE ⊥ FE ，∴∠ AEC ＝90°.
∵ AD ∥ CE ，
∴∠ FAD ＝∠ AEC ＝90°.
∴∠ FAB ＝∠ FAD －∠2＝90°－35°＝55°.
9. 从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相
等的角，那么这两条射线就叫这个角的三等分线.如图，在△
ABC 中，点 M ， N 是∠ ABC 与∠ ACB 的三等分线的交点.若∠ A
＝60°，则∠ BMN 的度数是 .　
（第9题图）
50°　
【解析】∵ BM ， BN 是∠ ABC 的三等分线， CM ， CN 是∠ ACB
的三等分线，∴∠ MBC ＝ ∠ ABC ，∠ MCB ＝ ∠ ACB .
在△ ABC 中，∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，
∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝120°，
∴∠ MBC ＋∠ MCB ＝ （∠ ABC ＋∠ ACB ）＝80°.
在△ BCM 中，∠ BMC ＋∠ MBC ＋∠ MCB ＝180°，
∴∠ BMC ＝180°－80°＝100°.
∵∠ MBN ＝∠ CBN ，∠ MCN ＝∠ BCN ，
∴ BN ， CN 分别为∠ MBC 和∠ MCB 的平分线，
∴ MN 是∠ BMC 的平分线，
∴∠ BMN ＝ ∠ BMC ＝50°.故答案为50°.
10. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝α，∠ ABC 的平分线与∠ ACD 的
平分线交于点 A1，得∠ A1；∠ A1 BC 的平分线与∠ A1 CD 的平分
线交于点 A2，得∠ A2……∠ A2 023 BC 的平分线与∠ A2 023 CD 的
平分线交于点 A2 024，得∠ A2 024，则∠ A2 024＝ .
（第10题图）
　
【解析】∵ A1 B 平分∠ ABC ， A1 C 平分∠ ACD ，∴∠ A1 BC ＝
∠ ABC ，∠ A1 CD ＝ ∠ ACD . ∵∠ A1 CD ＝∠ A1＋∠ A1 BC ，
即 ∠ ACD ＝∠ A1＋ ∠ ABC ，∴∠ A1＝ （∠ ACD －∠
ABC ）.∵∠ A ＋∠ ABC ＝∠ ACD ，∴∠ A ＝∠ ACD －∠ ABC .
∴∠ A1＝ ∠ A . ∴∠ A2＝ ∠ A1＝ ∠ A . 以此类推，∠ An ＝
∠ A . ∴∠ A2 024＝ ∠ A ＝ .故答案为 .
11. 如图，已知 MN ∥ BC ， BD ⊥ DC ，∠1＝∠2＝60°， DC
是∠ NDE 的平分线.
（1） AB 与 DE 平行吗？请说明理由.
（2）求证：∠ ABC ＝∠ C .
（3）求∠ ABD 的度数.
（1）解： AB ∥ DE .
理由如下：
∵ MN ∥ BC ，
∴∠ ABC ＝∠1＝60°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠ ABC ＝∠2.
∴ AB ∥ DE .
（2）证明：∵ MN ∥ BC ，
∴∠ NDE ＋∠2＝180°.
∴∠ NDE ＝180°－∠2＝180°－60°＝120°.
∵ DC 是∠ NDE 的平分线，
∴∠ NDC ＝ ∠ NDE ＝60°.
∵ MN ∥ BC ，
∴∠ C ＝∠ NDC ＝60°.
由（1）知，∠ ABC ＝60°.
∴∠ ABC ＝∠ C .
（3）解：∵ BD ⊥ DC ，
∴∠ BDC ＝90°.
∴∠ ADB ＝180°－∠ BDC －∠ NDC ＝180°－90°－60°＝
30°.
∵ MN ∥ BC ，
∴∠ DBC ＝∠ ADB ＝30°.
又∵∠ ABC ＝60°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC －∠ DBC ＝30°.
12. 已知射线 FG 分别交射线 AB ， DC 于点 F ， G ，点 E 为射线
FG 上一点.
（1）如图1，若∠ A ＋∠ D ＝∠ AED ，求证： AB ∥ CD ；
（2）如图2，若 AB ∥ CD ，求证：∠ A －∠ D ＝∠ AED ；
图1
图2
（3）如图3，在（2）的条件下， DI 交 AI 于点Ⅰ，交 AE 于点 K ，
∠ EDI ＝ ∠ CDE ，∠ BAI ＝ ∠ EAI ，∠ I ＝∠ AED ＝25°，
求∠ EKD 的度数.
图3
（1）证明：如图1，过点 E 作 EH ∥ AB .
∴∠ A ＝∠ AEH .
∵∠ A ＋∠ D ＝∠ AED ，
∠ AED ＝∠ AEH ＋∠ DEH ，
∴∠ D ＝∠ DEH .
∴ EH ∥ CD .
∴ AB ∥ CD .
图1
（2）证明：同理（1），过点 E 作 EH ∥ CD ，则∠ D ＝∠ DEH .
∵ AB ∥ CD ，
∴∠ A ＝∠ AEH .
∵∠ AEH ＝∠ DEH ＋∠ AED ，
∴∠ A ＝∠ D ＋∠ AED .
∴∠ A －∠ D ＝∠ AED .
（3）解：如图2，设 AE 与 CD 交于点 H ，∠ EAI ＝ x ，则∠ BAI
＝ x .
∠ EAB ＝ x ＋ x ＝ x .
∵ AB ∥ CD ，
∴∠ EHC ＝∠ EAB ＝ x .
∵∠ I ＝∠ AED ＝25°，
∠ EKI ＝∠ EAI ＋∠ I ＝∠ EDI ＋∠ AED ，
∴ x ＋25°＝∠ EDI ＋25°.
图2
∴∠ EDI ＝ x .
∵∠ EDI ＝ ∠ CDE ，
∴∠ CDI ＝ ∠ EDI ＝ x .
∵∠ EHC ＝∠ CDE ＋∠ AED ，
∴ x ＝ x ＋ x ＋25°，
解得 x ＝60°.
∴∠ EKD ＝∠ AKI ＝180°－∠ EAI －∠ I ＝180°－60°－25°
＝95°.
图2
13. （选做）已知直线 GH 与直线 l1， l2分别交于 B ， A 两点，点
C 在直线 l2上（点 A 右侧），射线 AD 平分∠ BAC 交直线 l1于点
E ，∠ GBE ＝2∠ BAE .
（1）如图1，求证：直线 l1∥ l2.
图1
（2）如图2，点 Q 在直线 l1上（点 B 左侧）， AM 平分∠ BAQ 交
l1于点 M ，过点 M 作 MN ⊥ AD 交 AD 于点 N ，请猜想∠ BQA 与
∠ AMN 之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）若点 P 是线段 AB 上一点，射线 EP 交直线 l2于点 F ，∠GBE ＝130°.点 N 在射线 AD 上，且满足∠ EBN ＝∠ EFC ，连接 BN ，请补全图形，并探究∠ BNA 与∠ FEA 之间的等量关系，并证明.
图2
（1）证明：∵射线 AD 平分∠ BAC 交直线 l1于点 E ，
∴∠ BAC ＝2∠ BAE .
又∵∠ GBE ＝2∠ BAE ，
∴∠ GBE ＝∠ BAC .
∴ l1∥ l2.
（2）解：∠ BQA ＝2∠ AMN . 证明如下：
∵ AD 平分∠ BAC ， AM 平分∠ BAQ ，
∴∠ DAB ＝∠ DAC ＝ ∠ BAC ，
∠ BAM ＝∠ QAM ＝ ∠ BAQ .
设∠ DAB ＝∠ DAC ＝α，∠ BAM ＝∠ QAM ＝β.
∵ MN ⊥ AD ，∴∠ MNA ＝90°.
则∠ AMN ＝90°－∠ MAD ＝90°－（∠ MAB ＋∠ DAB ）＝
90°－（α＋β）.
∵ l1∥ l2，∴∠ BQA ＝180°－∠ QAC ＝180°－2（α＋β）.
∴∠ BQA ＝2∠ AMN .
（3）解：分以下两种情况讨论：
①当点 N 在线段 AE 上时，补全图形如图1所示：
∠ BNA ＋∠ FEA ＝130°.证明如下：
∵∠ EBN ＝∠ EFC ，
则可设∠ EBN ＝∠ EFC ＝θ.
∵ l1∥ l2，∠ GBE ＝130°，
∴∠ BEF ＝∠ EFC ＝θ，∠ BAC ＝∠ GBE ＝130°.
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴∠ DAB ＝∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝65°.
图1
∵ l1∥ l2，
∴∠ BEN ＝∠ EAD ＝65°.
∴∠ BNA ＝∠ BEN ＋∠ EBN ＝65°＋θ，∠ FEA ＝∠ BEN －∠
BEF ＝65°－θ.
∴∠ BNA ＋∠ FEA ＝130°；
②当点 N 在线段 AE 的延长线上时，补全图形如图2所示.
∠ BNA ＝∠ FEA . 证明如下：
∵ l1∥ l2，
∴∠ BEF ＝∠ EFC .
∵∠ EBN ＝∠ EFC ，
∴∠ BEF ＝∠ EBN ，
∴ BN ∥ EF . ∴∠ BNA ＝∠ FEA .
综上所述，∠ BNA 与∠ FEA 之间的等量关系为∠ BNA ＋∠ FEA
＝130°或∠ BNA ＝∠ FEA .
图2
演示完毕 谢谢观看