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第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
1. 下列说法中，正确的是（ B ）
A. 一次函数是正比例函数
B. 正比例函数一定是一次函数
C. y ＝ kx ＋ b 是一次函数
D. 不是正比例函数就一定不是一次函数
B
2. 下列函数中，是正比例函数的是（ A ）
A. y ＝－8 x B. y ＝
C. y ＝8 x2 D. y ＝8 x －4
3. 下列问题中，变量 y 与 x 成一次函数关系的是（ B ）
A. 路程一定时，时间 y 和速度 x 之间的关系
B. 长10m的铁丝折成长为 y m、宽为 x m的长方形， y 与 x 之间的
关系
C. 圆的面积 y 与它的半径 x 之间的关系
D. 斜边长为5的直角三角形的两条直角边 y 和 x 之间的关系
A
B
4. 下列函数：① y ＝ ；② y ＝ x ；③ y ＝ ；④ y ＝2－3 x ；
⑤ y ＝ x2－ ＋1.其中是一次函数的有
（填序号）.
5. 已知 y ＝3 x ＋2－ a 是正比例函数，则 a 的值是 .
①②④⑤
2
6. 若一个长方体容器的底面是边长为2cm的正方形（高度不
限），容器内盛有10cm高的水.现将底面是边长为1cm的正方
形、高是 x cm的长方体铁块完全浸入水中，则此时容器内水的
高度 y 关于 x 的函数关系式为 （不必写 x 的取值
范围）.
y ＝ x ＋10
7. 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断： y 是否为 x 的
一次函数？是否为 x 的正比例函数？
（1）一棵树现在高50cm，平均每月长高3cm， x 月后这棵树的
高度为 y cm.
解： y ＝50＋3 x ， y 是 x 的一次函数，不是 x 的正比例函数.
（2）某种报纸的单价为1.5元，购买 x 份这种报纸总共花费
y 元.
解： y ＝1.5 x ， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
（3）某市出租车起步价为7元（3km以内，含3km），超过3km
时，超出的部分每千米另收1.4元（不足1km的按1km计算）.设
乘坐出租车支付的费用为 y （元），行驶的路程为 x （km）（ x
＞3）.
解： y ＝1.4（ x －3）＋7＝1.4 x ＋2.8， y 是 x 的一次函数，不
是 x 的正比例函数.
8. 已知 y －2与 x ＋1成正比例关系，且当 x ＝－2时， y ＝6.
（1）写出 y 与 x 之间的关系式；
（2）当 x ＝－3时，求 y 的值；
（3）当 y ＝4时，求 x 的值.
解：（1）根据题意，可设 y －2＝ k （ x ＋1）（ k ≠0）.
将 x ＝－2， y ＝6代入，得 k ＝－4.
所以 y ＝－4 x －2.
（2）由（1）可知， y ＝－4 x －2，
所以当 x ＝－3时， y ＝－4×（－3）－2＝10.
（3）由（1）可知， y ＝－4 x －2，
所以当 y ＝4时，4＝－4 x －2，
解得 x ＝－ .
9. 某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油
箱中汽油消耗了 .若加满汽油后汽车行驶路程为 x （km），油
箱内剩余油量为 y （L），则 y 与 x 之间的函数关系式为
.
y ＝60
－0.12 x （0≤ x ≤500）
【解析】由题知，汽车行驶时每千米消耗汽油 ×60÷100＝
0.12（L），则 y ＝60－0.12 x .令 y ＝0，得60－0.12 x ＝0，解
得 x ＝500.所以0≤ x ≤500.故答案为 y ＝60－0.12 x （0≤ x
≤500）.
10. 如图，在该运算程序中，我们发现若开始输入的 x 值为48，
第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，则第2 024
次输出的结果是 .
－3
【解析】由题知，输出的结果依次为24，12，6，3，－2，－1，－6，－3，－8，－4，－2，－1，－6，…，结果中，除前4
个外，其他每6个循环一次.（2 024－4）÷6＝336……4，则第
2 024次输出的结果为－3.故答案为－3.
11. 已知函数 y ＝（5 a －7） x2－ b ＋ a ＋ b （ a ， b 为常数）.
（1）当 a ， b 满足什么条件时，该函数是一次函数？
（2）当 a ， b 满足什么条件时，该函数是正比例函数？
解：（1）由题意，得2－ b ＝1，5 a －7≠0，
解得 a ≠ ， b ＝1.
故当 a ≠ ， b ＝1时，该函数是一次函数.
（2）由题意，得2－ b ＝1，5 a －7≠0， a ＋ b ＝0，
解得 a ＝－1， b ＝1.
故当 a ＝－1， b ＝1时，该函数是正比例函数.
12. 某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定：每名工人完
成100个产品及以内，每个产品付报酬1.5元；超过100个产品，
超过部分每个产品所付报酬增加0.3元；超过200个产品，超过
部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元.求：
（1）一名工人完成100个产品及以内时所得报酬 y （元）与产品
数 x （个）之间的关系式；
（2）一名工人完成100个以上（不含100个），但不超过200个
产品时所得报酬 y （元）与产品数 x （个）之间的函数关系式；
（3）一名工人完成200个以上（不含200个）产品时所得报酬 y
（元）与产品数 x （个）之间的函数关系式；
（4）一名工人完成160个产品所得的报酬.
解：（1） y ＝1.5 x （ x ≤100）.
（2） y ＝1.5×100＋（ x －100）×（1.5＋0.3）＝1.8 x －30
（100＜ x ≤200）.
（3） y ＝1.5×100＋1.8×100＋（ x －200）×（1.5＋0.3＋
0.4）＝2.2 x －110（ x ＞200）.
（4）将 x ＝160代入 y ＝1.8 x －30，得 y ＝1.8×160－30＝258.
故一名工人完成160个产品所得的报酬是258元.
13. （选做）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号
机械配件共240个.厂方计划由20名工人一天刚好加工完成，并
要求每人只加工一种配件.根据下表提供的信息解答问题.
配件种类 甲 乙 丙
每人可加工配件的数量/个 16 12 10
每个配件获利/元 6 8 5
（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的
人数安排方案有几种？请写出每种安排方案.
（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中的哪种方
案？最大利润是多少？
解：（1）因为厂方计划由20名工人一天内加工完成，所以加工
丙种配件的人数为（20－ x － y ）.
所以16 x ＋12 y ＋10（20－ x － y ）＝240.
所以 y ＝－3 x ＋20（0＜ x ＜20）.
（1）设加工甲种配件的人数为 x ，加工乙种配件的人数为 y ，
求 y 与 x 之间的关系式.
（2）设加工丙种配件的工人有 z ＝（20－ x － y ）名.
当 x ＝3时， y ＝－3×3＋20＝11， z ＝20－3－11＝6；
当 x ＝4时， y ＝－3×4＋20＝8， z ＝20－4－8＝8；
当 x ＝5时， y ＝－3×5＋20＝5， z ＝20－5－5＝10.
其他都不符合题意.
所以加工配件的人数安排方案有三种.
方案一：加工甲、乙、丙三种配件的人数分别为3，11，6；
方案二：加工甲、乙、丙三种配件的人数分别为4，8，8；
方案三：加工甲、乙、丙三种配件的人数分别为5，5，10.
（3）由题意，得方案一的利润为3×16×6＋11×12×8＋
6×10×5＝1644（元）；
方案二的利润为4×16×6＋8×12×8＋8×10×5＝1552
（元）；
方案三的利润为5×16×6＋5×12×8＋10×10×5＝1460
（元）.
因为1644＞1552＞1460，
所以应采用（2）中方案一，即安排加工甲、乙、丙三种配件的
人数分别为3，11，6，最大利润为1644元.
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第四章 一次函数
1 函 数
1. 下列图形中，表示 y 是 x 的函数的是（ A ）
A
2. 下列变量中， y 不是 x 的函数的是（ C ）
A. 一天的气温 y 与时间 x
B. 正方形的周长 y 与边长 x
C. 某人的年龄 y 与体重 x
D. 圆的面积 y 与半径 x
C
3. 已知A，B两地相距3km，小黄从A地走到B地，平均速度为
4km/h.若用 x （h）表示行走的时间， y （km）表示余下的路
程，则 y 与 x 之间的关系式是（ D ）
A. y ＝4 x （ x ≥0）
B. y ＝4 x －3
C. y ＝3－4 x （ x ≥0）
D. y ＝3－4 x
D
4. （1）函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是 ；
（3）使函数 y ＝ ＋（2 x －1）0 有意义的 x 的取值范围
是 .
x ≥3
x ≠－2
x ＞－3且 x ≠
5. （1）已知高度每升高1km，气温就下降6℃，则降低的温度 T
（℃）与升高的高度 h （km）之间的关系式为
；
（2）如图，在长方形 ABCD 中， AD ＝10cm， AB ＝4cm，点 P
是边 AD 上一点（不与点 D 重合）.设 AP 的长为 x cm，△ PCD 的
面积为 S cm2，则 S 与 x 之间的关系式为
.
T ＝6 h （ h ＞
0）
S ＝20－2 x （0≤ x ＜
10）
6. （1）当 x ＝ 时，则函数 y ＝ 的值为 ；
（2）当 x ＝ 时，则函数 y ＝ 的值为0.
1
－2
7. 在弹性限度内，一根弹簧挂上物体后的长度与所挂物体的质
量之间的关系如下：
所挂物体的 质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧的 长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
（1）弹簧不挂物体时的长度是 ；
（2）写出 y 与 x 之间的关系式： ；
12cm
y ＝0.5 x ＋12
（3）当所挂物体的质量为14kg时，弹簧的长度是多少厘米？
（3）解：当 x ＝14时， y ＝0.5×14＋12＝19（cm）.
所以当所挂物体的质量为14kg时，弹簧的长度是19cm.
8. 小丁每天从报社以每份0.5元的价格买进报纸200份，然后以
每份1元的价格卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报
社只按每份0.2元退费给小丁.设小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯
收入为 y 元.
（1）求 y 与 x 之间的关系式（写出自变量 x 的取值范围）；
（2）若每月按30天计算，则小丁每天至少要卖多少份报纸才能
使每月纯收入达到2 000元？
解：（1）由题意，得 y ＝（1－0.5） x －（0.5－0.2）·（200－
x ）＝0.8 x －60.
故 y ＝0.8 x －60（0≤ x ≤200，且 x 为整数）.
（2）假设小丁每月纯收入刚好为2000元，
则30（0.8 x －60）＝2 000，解得 x ＝158 .
又因为 x 为整数，
所以小丁每天至少要卖159份报纸才能使每月纯收入达到2
000元.
9. 小明晚饭后出门散步，从家（点 O ）出发，最后回到家里，
行走的路线如图中箭头所示.小明离家的距离 h 与散步时间 t 之
间的函数关系可能是（ C ）
C
10. 如图，根据该程序计算函数 y 的值，若输入 x 的值是7，则输
出 y 的值是－2.若输入 x 的值是－8，则输出 y 的值是 .
【解析】由图可知，当 x ＝7时， y ＝ ＝－2，解得 b ＝3.当
x ＝－8时， y ＝－2×（－8）＋ b ＝－2×（－8）＋3＝19.故答
案为19.
19
11. 国庆节期间，小华约同学一起开车到距家100km的景点旅
游.出发前，汽车油箱内储油35L，行驶80km后，发现油箱内剩
余油量为25L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）.
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出出发后油箱内剩余油
量 Q （L）与行驶路程 x （km）之间的关系式（写出自变量的取
值范围）.
（2）当 x ＝60时，求油箱内剩余的油量.
（3）当油箱中剩余油量低于3L时，汽车将自动报警.如果往返
途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由.
解：（1）由题意，得该汽车平均每千米的耗油量为（35－25）
÷80＝0.125（L）.出发后油箱内剩余油量 Q （L）与行驶路程
x （km）之间的关系式为 Q ＝35－0.125 x （0≤ x ≤280）.
（2）当 x ＝60时， Q ＝35－0.125×60＝27.5.
故当 x ＝60时，油箱内剩余的油量为27.5L.
（3）他们能在汽车报警前回到家.理由如下：
因为（35－3）÷0.125＝256（km），256≥200，
所以他们能在汽车报警前回到家.
12. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价
格调控手段达到节约用水的目的，某市规定用水收费标准如
下：每户每月的用水量不超过6m3时，水费按每立方米 a 元收
费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按 a 元收费，超过的
部分按每立方米 b 元收费.该市小明家去年9月份、10月份的用
水量和所交水费如下表所示：
月份 用水量/m3 收费/元
9 5 7.5
10 9 18
设小明家每月用水量为 x （m3），应交水费为 y （元）.
（1） a ＝ ， b ＝ ；
（2）求 y 与 x 之间的关系式；
1.5
3
（3）若小明家去年11月份、12月份的用水总量为14m3，共交水
费27元（11月份的用水量小于12月份的用水量），分别求小明
家11月份、12月份的用水量.
（1）【解析】由题知， a ＝7.5÷5＝1.5， b ＝ ＝3.故
答案为1.5，3.
（2）解：当0≤ x ≤6时， y ＝1.5 x ；
当 x ＞6时， y ＝1.5×6＋3（ x －6）＝3 x －9.
所以 y 与 x 之间的关系式为 y ＝
（3）解：因为小明家11月份、12月份的用水总量为14m3，11月
份的用水量小于12月份的用水量，
所以12月份的用水量大于7m3.
设12月份的用水量为 m m3，则11月份的用水量为（14－ m ）m3.
①当7＜ m ≤8时，3 m －9＋3（14－ m ）－9＝27.
此方程无解.
②当8＜ m ＜14时，3 m －9＋1.5（14－ m ）＝27，
解得 m ＝10.
故小明家11月份的用水量为4m3，12月份的用水量为10m3.
13. （选做）如图1，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，
沿 BC ， CD ， DA 运动至点 A 停止.设点 P 运动的路程为 x ，△
ABP 的面积为 y ， y 关于 x 的函数图象如图2所示.
（1）求长方形 ABCD 的面积；
（2）求点 M ， N 的坐标；
（3）若△ ABP 的面积为长方形 ABCD 面积的 ，求满足条件的 x
的值.
图1
图2
（3）若△ ABP 的面积为长方形 ABCD 面积的 ，求满足条件的 x
的值.
图1
图2
解：（1）结合图形可以知，当点 P 在 BC 上时，△ ABP 的面积 y
在增大，当 x 在4和9之间时，△ ABP 的面积不变，
得出 BC ＝4， CD ＝5.
所以长方形 ABCD 的面积为4×5＝20.
（2）由（1），得当点 P 运动到点 C 时，△ ABP 的面积为 ×20
＝10，则点 M 的纵坐标为10.故点 M 的坐标为（4，10）.
因为 AD ＝ BC ＝4， CD ＝5，
所以 NO ＝9＋4＝13.
故点 N 的坐标为（13，0）.
（3）因为△ ABP 的面积为长方形 ABCD 面积的 ，所以△ ABP
的面积为20× ＝4.
①当点 P 在 BC 上时，0≤ x ≤4，点 P 到 AB 的距离为 PB 的长度
x ，则 y ＝ AB · PB ＝ ×5 x ＝ x .
令 x ＝4，解得 x ＝1.6；
②当点 P 在 CD 上时，4≤ x ≤9，点 P 到 AB 的距离为 BC 的
长度4，y ＝ AB · BC ＝ ×5×4＝10（不符合题意）；
③当点 P 在 AD 上时，9≤ x ≤13，点 P 到 AB 的距离为 PA 的长度
13－ x ，
y ＝ AB · PA ＝ ×5×（13－ x ）＝ （13－ x ）.
令 （13－ x ）＝4，解得 x ＝11.4.
综上所述，满足条件的 x 的值为1.6或11.4.
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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第一课时）
1. 已知一个正比例函数的图象经过点（4，－2），则它的函数
表达式为（ D ）
A. y ＝2 x B. y ＝－2 x
C. y ＝ x D. y ＝－ x
2. 已知一次函数 y ＝ kx ＋6的图象经过点 A （2，－2），则 k 的
值为（ A ）
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
D
A
3. 已知点 A （2，4）在函数 y ＝ kx －2的图象上，则下列各点也
在此函数图象上的是（ B ）
A. （－1，1） B. （1，1）
C. （－2，－2） D. （2，－2）
B
4. 已知直线 y ＝ kx ＋ b 平行于直线 y ＝－3 x ＋4，且过点（2，
8），则 k ＝ ， b ＝ .
5. 已知 y 是 x 的一次函数，自变量 x 与对应函数值 y 的部分值如
下表所示，则 p 的值为 .
x －2 0 1
y p 3 0
6. 已知直线 y ＝ kx ＋ b 经过点（0，－3），且与两坐标轴围成
的直角三角形的面积是6，则 k ＝ ， b ＝ .
－3
14
9
±
－3
7. 如图，已知点 A （－6，0），点 B （0，4）.
（1）求直线 AB 的函数表达式；
（2）在直线 AB 上有一点 P ，满足点 P 到 x 轴的距离等于8，求
点 P 的坐标.
解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为点 A （－6，0），点 B （0，4）在直线 AB 上，
所以 b ＝4，－6 k ＋ b ＝0.所以 b ＝4， k ＝ .
所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝ x ＋4.
（2）因为点 P 到 x 轴的距离等于8，
所以点 P 的纵坐标 y ＝±8.
当 y ＝8时，则8＝ x ＋4，解得 x ＝6；
当 y ＝－8时，则－8＝ x ＋4，解得 x ＝－18.
所以点 P 的坐标为（6，8）或（－18，－8）.
8. 如图，已知过点 C （0，1）的直线 l1与直线 l2： y ＝2 x ＋4相
交于点 P （－1， a ）.求：
（1）直线 l1的函数表达式；
（2）四边形 PAOC 的面积.
解：（1）因为点 P （－1， a ）在直线 l2： y ＝2 x ＋4上，
所以2×（－1）＋4＝ a ，
即 a ＝2.
则点 P 的坐标为（－1，2）.
设直线 l1的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为直线 l1过点 C （0，1）， P （－1，2），
所以 b ＝1，－ k ＋ b ＝2.所以 k ＝－1.
所以直线 l1的函数表达式为 y ＝－ x ＋1.
（2）在 y ＝－ x ＋1中，令 y ＝0，则 x ＝1，
所以点 B 的坐标为（1，0）.
在 y ＝2 x ＋4中，令 y ＝0，则 x ＝－2，
所以点 A 的坐标为（－2，0）.所以 AB ＝3.
所以 S四边形 PAOC ＝ S△ PAB － S△ BOC ＝ AB · yP － OB · OC ＝
×3×2－ ×1×1＝ .
9. 如图，将含45°角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，
其中 A （－2，0）， B （0，1），则直线 BC 的函数表达式
为 .
y ＝－ x ＋1
【解析】由题意，知 AO ＝2， BO ＝1.如答图，过点 C 作 CD ⊥
x 轴于点 D ，易证△ AOB ≌△ CDA ，则 AD ＝ BO ＝1， CD ＝ AO
＝2，故 C （－3，2）.设直线 BC 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
由点 B （0，1）在直线 BC 上，得 b ＝1.又由点 C （－3，2）在
直线 BC 上，得－3 k ＋ b ＝2，解得 k ＝－ .所以直线 BC 的函数
表达式为 y ＝－ x ＋1.故答案为 y ＝－ x ＋1.
答图
10. 如图，在Rt△ ABO 中，已知∠ OBA ＝90°， A （4，4），
点 C 在边 AB 上，且 ＝ ，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上
的动点，连接 PC ， PD . 当点 P 在 OA 上移动时，使四边形
PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 .
【解析】由题意，知 OB ＝ AB ＝4.因为点 D 为 OB 的中点，
＝ ，所以 BC ＝3， OD ＝ BD ＝2.所以 D （2，0）， C （4，
3）.如答图，作点 D 关于直线 OA 的对称点 E ，连接 EC 交 OA 于
点 P ，此时四边形 PDBC 的周长最小.易知 E （0，2）.设直线
EC 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .由 E （0，2）， C （4，3），得
b ＝2，4 k ＋ b ＝3.所以 k ＝ .所以直线 EC 的函数表达式为 y ＝
x ＋2.因为 A （4，4），所以易得直线 OA 的函数表达式为 y ＝
x .将 y ＝ x 代入 y ＝ x ＋2，得 x ＝ .所以 y ＝ .所以点 P . 故答案为 .
11. 已知直线 y ＝2 x －3与 y 轴交于点 A ，另一条直线与 y 轴交于
点 B ，两条直线相交于点 C ，点 C 的纵坐标是1，且 S△ ABC ＝
16，求另一条直线的函数表达式.
解：将 x ＝0代入 y ＝2 x －3，得 y ＝－3.则 A （0，－3）.将 y ＝
1代入 y ＝2 x －3，得2 x －3＝1.解得 x ＝2.则 C （2，1）.设 B
（0， t ），则 S△ ABC ＝ ×｜ t ＋3｜×2＝16.解得 t ＝13或 t ＝
－19，所以点 B 的坐标为（0，13）或（0，－19）.
设直线 BC 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .
①将 B （0，13）， C （2，1）代入直线 BC 的函数表达式，得 b
＝13，2 k ＋ b ＝1.所以 k ＝－6.此时直线 BC 的函数表达式为 y
＝－6 x ＋13.
②将 B （0，－19）， C （2，1）代入直线 BC 的函数表达式，
得 b ＝－19，2 k ＋ b ＝1.所以 k ＝10.此时直线 BC 的函数表达式
为 y ＝10 x －19.
综上所述，直线 BC 的函数表达式为 y ＝－6 x ＋13或 y ＝10 x －
19.
12. （选做）如图，已知直线 OA ： y ＝ x 与直线 AB ： y ＝ kx ＋
b 相交于点 A （9，3），点 B 的坐标为（0，12）.
（1）求直线 AB 的函数表达式；
（2）点 P 是线段 OA 上任意一点（不与点 O ， A 重合），过点 P
作 PQ ∥ y 轴，交线段 AB 于点 Q ，分别过点 P ， Q 作 y 轴的垂
线，垂足分别为 M ， H ，得长方形 PQHM ，长方形 PQHM 的周
长为20，求此时点 P 的坐标.
解：（1）因为直线 y ＝ kx ＋ b 过点 A （9，3）， B （0，12），
所以9 k ＋ b ＝3， b ＝12.
所以 k ＝－1.
所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋12.
（2）设点 P 的横坐标为 m ，则 PM ＝ m .因为 PQ ∥ y 轴，所以点
Q 的横坐标为 m .因为点 P 在直线 OA ： y ＝ x 上，点 Q 在直线
AB ： y ＝－ x ＋12上，所以点 P 的纵坐标为 m ，点 Q 的纵坐标
为－ m ＋12.所以 PQ ＝－ m ＋12－ m ＝12－ m .又因为长方形
PQHM 的周长为20，所以 PQ ＋ PM ＝10.所以12－ m ＋ m ＝
10，解得 m ＝6.则 m ＝2.所以此时点 P 的坐标为（6，2）.
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第四章 一次函数
回顾与思考
1. 以下函数：① y ＝ x2－1；② y ＝ ；③ y ＝ ；④ y ＝1－2
x ；⑤ y ＝2π x .其中是一次函数的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知一次函数 y ＝ kx ＋3，且 y 的值随 x 值的增大而增大，则
该函数的图象经过 （ A ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
C
A
3. 小亮在放学回家的路上发现一家新开的店铺在搞活动，就好
奇地围观了一会，然后意识到回家晚了妈妈会着急，于是急忙
跑步回家.若设小亮离家的距离为 s （m），他离校的时间为 t
（min），则反映该情景的图象为（ C ）
A
B
C
C
D
4. （1）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为
8.08元/L，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价 y
（元）与加油量 x （L）之间的关系式为
；
（2）已知长方形的周长为18cm，设相邻两边中较长的一边长
为 y （cm），较短的一边长为 x （cm），则 y 与 x 之间的关系式
为 ，自变量 x 的取值范围是 .
y ＝8.08 x （ x
≥0）
y ＝9－ x
0＜ x ＜4.5
5. 已知点 P （1，2）关于 x 轴的对称点为P'，且点P'在直线 y ＝
kx ＋3上.若把直线 y ＝ kx ＋3向上平移2个单位长度，则所得直
线的函数表达式为 .
y ＝－5 x ＋5
6. 在无人机技巧比赛中，甲无人机从海拔10m处起飞，以
10m/min的速度匀速上升，同时乙无人机从海拔30m处起飞，匀
速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度.无人机的海拔
高度 y （m）与上升时间 x （min）的关系如图所示.当甲无人机
的海拔高度比乙无人机高44m时，则两架无人机上升
了 min.
16
7. 如图，已知直线 l ： y ＝－ x ＋4分别与 x 轴、 y 轴交于 A ， B
两点.
（1）求△ AOB 的面积；
（2）在 y 轴上有一定点 P （0，8），在 x 轴上有一动点 Q ，若
△ POQ 与△ AOB 的面积相等，请求出点 Q 的坐标.
解：（1）对于 y ＝－ x ＋4，当 x ＝0时， y ＝4.
所以点 B （0，4）.
当 y ＝0时，－ x ＋4＝0，解得 x ＝6.所以点 A （6，0）.
所以 OA ＝6， OB ＝4.
所以 S△ AOB ＝ OA · OB ＝ ×6×4＝12.
（2）因为点 P （0，8），所以 OP ＝8.
因为△ POQ 与△ AOB 的面积相等，
所以 OQ · OP ＝12，即 OQ ·8＝12.
所以 OQ ＝3.
所以点 Q 的坐标为（3，0）或（－3，0）.
8. 甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往
C地，两人离A地的路程 y （km）与行驶的时间 x （h）之间的关
系如图所示.
（1）分别求甲、乙两人在0≤ x ≤6的时间段内 y 与 x 之间的函数
表达式；
（2）甲追上乙用了多长时间？
解：（1）设乙对应的函数表达式为 y乙＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
把（0，20），（2，30）两点代入，得 b ＝20，2 k ＋ b ＝30.所
以 k ＝5.
所以 y乙＝5 x ＋20.
设甲对应的函数表达式为 y甲＝ mx （ m ≠0）.
因为函数图象过点（6，60），
所以60＝6 m .解得 m ＝10.
所以 y甲＝10 x .
所以当0≤ x ≤6时， y甲＝10 x ， y乙＝5 x ＋20.
（2）令 y甲＝ y乙，则10 x ＝5 x ＋20，
解得 x ＝4.
所以甲追上乙用了4h.
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ， B 的坐标分别为
（1，3），（ n ，3），直线 y ＝2 x 与线段 AB 有公共点，则 n 的
取值范围是 .
n ≥
10. 如图，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于
点 A （2，0）， B （0，4）， O 为坐标原点.设 OA ， AB 的中点
分别为点 C ， D ， P 为 OB 上一个动点，则当点 P 的坐标
为 时， PC ＋ PD 取最小值，最小值为 .
（0，1）
2
【解析】如答图，作点 C 关于 y 轴的对称点C'，连接C'D交 y 轴
于点 P ，此时 PC ＋ PD 取最小值且最小值为DC'的长.因为 A
（2，0）， B （0，4），点 C ， D 分别为 OA ， AB 的中点，所
以 D （1，2）， C （1，0）.因为点C'与点 C 关于 y 轴对称，所
以点C'（－1，0）， PC ＝PC'.易知 CD ⊥ x 轴，则DC'＝
＝2 .设直线C'D的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n
（ m ≠0）.因为点C'在该直线上，所以－ m ＋ n ＝0.所以 m ＝
n .又因为点 D 在该直线上，所以 m ＋ n ＝2.所以 m ＝ n ＝1.所以直线C'D的函数表达式为 y ＝ x ＋1.所以 P （0，1）.故答案为（0，1），2 .
11. 如图1，有甲、乙两个圆柱形水槽，乙槽中有一圆柱形实心
铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲
槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y （cm）
与注水时间 x （min）之间的关系如图2所示.根据图象解答下列
问题：
（1）图2中折线 EDC 表示 槽中水的深度与注水时间之间
的关系，乙槽中铁块的高度为 cm；
乙
16
图1
图2
（2）求直线 AB 的函数表达式；
（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.
图1
图2
（1）【解析】由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度
不断增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不
同，所以折线 EDC 表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；折
线 EDC 中，在拐点 D 表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度为
16cm.故答案为乙，16.
（2）解：设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点（0，14），（7，0）分别代入，得
b ＝14，7 k ＋ b ＝0，所以 k ＝－2.
故直线 AB 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋14.
（3）解：设直线 ED 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
将点（0，4），（4，16）分别代入，
得 n ＝4，4 m ＋ n ＝16，解得 m ＝3， n ＝4.
故直线 ED 的函数表达式为 y ＝3 x ＋4.
当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，
则－2 x ＋14＝3 x ＋4.解得 x ＝2.
故注水2min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （－1，0）， B
（0，3）， C （3，0），且点 D 是线段 AB 上一点，直线 CD 交 y
轴于点 E ，且 S△ BCE ＝2 S△ AOB .
（1）求直线 AB 的函数表达式；
（2）求点 D 的坐标；
（3）猜想线段 CE 与线段 AB 的数量关系与位置关系，并说
明理由.
解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为点 A （－1，0）， B （0，3）在直线 AB 上，
所以－ k ＋ b ＝0， b ＝3.
所以 k ＝3.
所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝3 x ＋3.
（2）设 E （0， t ）（0≤ t ＜3）.
因为 A （－1，0）， B （0，3），所以 OA ＝1， OB ＝3.
所以 S△ AOB ＝ ×1×3＝ .因为 S△ BCE ＝2 S△ AOB ，所以 S△ BCE ＝3.
又因为点 C （3，0），所以 ×（3－ t ）×3＝3，解得 t ＝1.
所以点 E （0，1）.设直线 CE 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m
≠0）.将点 C ， E 的坐标代入，得3 m ＋ n ＝0， n ＝1.所以 k ＝
－ .所以直线 CE 的函数表达式为 y ＝－ x ＋1.当－ x ＋1＝3 x
＋3时，解得 x ＝－ .则 y ＝3× ＋3＝ .
所以点 D 的坐标为 .
（3）猜想： CE ＝ AB ， CE ⊥ AB . 理由如下：
因为 OE ＝ OA ＝1，∠ COE ＝∠ BOA ＝90°， OC ＝ OB ＝3，
所以△ COE ≌△ BOA （SAS）.
所以 CE ＝ AB ，∠ OCE ＝∠ OBA .
因为∠ OBA ＋∠ BAO ＝90°，
所以∠ OCE ＋∠ BAO ＝90°.
所以∠ CDA ＝90°.
所以 CE ⊥ AB .
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－ x ＋3交
x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A
重合），过点 P 作 PC ⊥ AB 于点 C .
（1）当点 P 是 OA 的中点时，求△ APC 的面积；
（2）连接 BP ，若 BP 平分∠ ABO ，求此时点 P 的坐标；
（3）在（2）中，若在 x 轴上有一动点 H ，点 H 的横坐标为 a ，
过点 H 作直线 l ⊥ x 轴， l 与线段 PC 有交点，求 a 的取值范围；
（4）在（2）中，若点 M 为 x 轴上的动点，且△ CPM 为等腰三
角形，求点 M 的坐标.
备用图
解：（1）如图1，连接 BP .
图1
因为直线 y ＝－ x ＋3交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，
所以点 A （4，0）， B （0，3）.所以 OA ＝4， OB ＝3.
图1
所以 AB ＝ ＝5.
因为点 P 是 OA 的中点，所以 PA ＝ OP ＝2.
因为 S△ ABP ＝ AP · OB ＝ AB · PC ，
所以 ×2×3＝ ×5 PC .所以 PC ＝ .
所以 AC ＝ ＝ ＝ .
所以 S△ APC ＝ AC · PC ＝ × × ＝ .
（2）因为 BP 平分∠ ABO ，所以∠ CBP ＝∠ OBP .
又因为 BP ＝ BP ，∠ BCP ＝∠ BOP ＝90°，
所以△ BCP ≌△ BOP （AAS）.
所以 BC ＝ BO ＝3， CP ＝ OP .
所以 AC ＝ AB － BC ＝5－3＝2.
因为 AP2＝ PC2＋ AC2，
所以（4－ OP ）2＝ OP2＋4.所以 OP ＝ .
所以点 P 的坐标为 .
（3）如图2，过点 C 作 CQ ⊥ x 轴于点 Q . 可知点 H 在线段
PQ 上.
图2
由（2），得 OP ＝ CP ＝ ， AC ＝2.
图2
所以 AP ＝4－ ＝ .所以 CQ ＝ ＝ .
所以 AQ ＝ ＝ .所以 OQ ＝ OA － AQ ＝ .
所以 a 的取值范围是 ≤ a ≤ .
（4）如图3，过点 C 作 CQ ⊥ x 轴于点 Q .
设点 M （ x ，0），则 MC2＝ QM2＋ CQ2＝ ＋ .
图3
图3
易知， CP2＝ ＝ ， MP2＝ .
当 MC ＝ CP 时，即 ＋ ＝ ，
解得 x ＝ 或 x ＝ （与点 P 重合，故舍去）；
当 MC ＝ MP 时，同理可得 x ＝ ；
当 CP ＝ MP 时，同理可得 x ＝0或 x ＝3.
故点 M 的坐标为 ， ，（0，0）或（3，0）.
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第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第一课时）
1. 下列图象中，表示正比例函数图象的是（ B ）
B
2. 一次函数 y ＝4 x ， y ＝－7 x ， y ＝－3 x 的共同特点是
（ D ）
A. 图象位于相同的象限
B. y 的值随着 x 值的增大而减小
C. y 的值随着 x 值的增大而增大
D. 图象都过原点
D
3. 关于函数 y ＝－ x 的说法正确的是（ B ）
A. 函数图象必经过点（－1，2）
B. 函数图象经过第二、四象限
C. y 的值随着 x 值的增大而增大
D. 不论 x 取何值，总有 y ＞0
B
4. 函数 y ＝－ x 的图象是一条经过原点（0，0）及点（ ，6）的直线.
5. （1）若正比例函数 y ＝（ a ＋2） x 的图象经过第一、三象
限，则 a 的取值范围是 ；
（2）若函数 y ＝（ m －1） x｜ m｜是正比例函数，则该函数的图
象经过第 象限.
－9
a ＞－2
二、四
6. 已知正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点（3，－12），则该函数
的表达式为 .若该函数的图象上有两点 C （ x1，
y1）， D （ x2， y2），且 x1＞ x2，则 y1 y2（填“＞”或
“＜”）.
y ＝－4 x
＜
（1）求该正比例函数的表达式；
（2）画出它的图象.
解：（1）把 x ＝3， y ＝－6代入 y ＝ kx ，得 k ＝ ＝ ＝－2.
所以该正比例函数的表达式为 y ＝－2 x .
7. 已知正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点（3，－6）.
（2）取两点 O （0，0）， A （1，－2），作直线 OA ，即为 y ＝
－2 x 的图象，如图所示.
8. 已知正比例函数 y ＝（ m ＋4） x .
（1）当 m 为何值时，该函数的图象经过第一、三象限？
（2）当 m 为何值时， y 的值随着 x 值的增大而减小？
（3）当 m 为何值时，点（1，3）在该函数的图象上？
解：（1）因为该函数的图象经过第一、三象限，
所以 m ＋4＞0，解得 m ＞－4.
（2）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，
所以 m ＋4＜0，解得 m ＜－4.
（3）因为点（1，3）在该函数的图象上，
所以 m ＋4＝3，解得 m ＝－1.
9. 已知正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的图象如图所示，写出一个
你认为正确的 k 的值为 .
2（答案不唯一）
10. 已知正比例函数 y ＝（ m －2） x 中， y 的值随着 x 值的增大
而增大，则点（ m ，2－ m ）在第 象限.
【解析】因为正比例函数 y ＝（ m －2） x 中， y 的值随着 x 值的
增大而增大，所以正比例系数 m －2＞0.解得 m ＞2.所以 m ＞
0，2－ m ＜0.所以点（ m ，2－ m ）在第四象限.故答案为四.
四
11. 在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数 y ＝ x ， y
＝ x ， y ＝5 x 的图象，然后比较哪一条直线与 x 轴正方向所成的
锐角最大.由此你得到什么猜想？
解：列表如下：
x 0 1
y ＝ x 0
y ＝ x 0 1
y ＝5 x 0 5
在同一平面直角坐标系中画出函数 y ＝ x ， y ＝ x ， y ＝5 x 的图象如图所示.
由以上三个函数的图象可知，函数 y ＝5 x 的图象与 x 轴正方向所成的锐角最大，由此猜想：正比例函数 y ＝ kx （ k ＞0）中， k 越
大，图象与 x 轴正方向所成的锐角越大.
12. 已知点 A 在正比例函数的图象上，过点 A 作 x 轴的垂线，垂
足为 D . 若 AD ∶ OD ＝3∶2，求该正比例函数的表达式.
解：设 AD ＝3 a （ a ＞0）.由题意，得 OD ＝2 a .
设正比例函数的表达式为 y ＝ kx （ k ≠0）.
①当点 A 的坐标为（2 a ，3 a ）时， k ·2 a ＝3 a ，解得 k ＝ .
所以该正比例函数的表达式为 y ＝ x ；
②当点 A 的坐标为（－2 a ，－3 a ）时， k ·（－2 a ）＝－3 a ，解
得 k ＝ .所以该正比例函数的表达式为 y ＝ x ；
④当点 A 的坐标为（－2 a ，3 a ）时，
k ·（－2 a ）＝3 a ，解得 k ＝－ .
所以该正比例函数的表达式为 y ＝－ x .
综上所述，该正比例函数的表达式为 y ＝ x 或 y ＝－ x .
③当点 A 的坐标为（2 a ，－3 a ）时，
k ·2 a ＝－3 a ，解得 k ＝－ .
所以该正比例函数的表达式为 y ＝－ x ；
13. （选做）如图，已知正比例函数 y ＝ kx 经过点 A ，且点 A 在
第四象限，过点 A 作 AH ⊥ x 轴，垂足为 H . 若点 A 的横坐标为
3，且△ AOH 的面积为3.
（1）求该正比例函数的表达式.
（2）在 x 轴上能否找到一点 P ，使△ AOP 的面积为5？若能，
求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.
解：（1）因为点 A 在第四象限，点 A 的横坐标为3，且△ AOH
的面积为3，所以点 A 的纵坐标为－2.所以点 A 的坐标为（3，
－2）.
将点 A （3，－2）代入 y ＝ kx 中，得－2＝3 k ，
解得 k ＝－ .
所以该正比例函数的表达式为 y ＝－ x ，
（2）能.设点 P 的坐标为（ a ，0），
则 S△ AOP ＝ ｜ a ｜×｜－2｜＝5，解得 a ＝±5.
所以在 x 轴上能找到一点 P ，使△ AOP 的面积为5，此时点 P 的
坐标为（－5，0）或（5，0）.
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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第三课时）
1. 甲、乙两个施工队修建某段高速公路的工程进展图如图所
示.从图中可见施工队的效率更高的是（ A ）
A. 甲
B. 乙
C. 一样
D. 不确定
A
2. 甲、乙两家商店销售同一种产品的售价 y （元）与销量 x
（件）之间的函数图象如图所示.下列说法不正确的是
（ D ）
A. 销量为2件时，甲、乙两家的售价相同
B. 买1件时，买乙家的产品更划算
C. 买3件时，买甲家的产品更划算
D. 乙家的1件售价约为3元
（第2题图）
D
3. 甲、乙两队参加“端午情，龙舟韵”的赛龙舟比赛，两队在
比赛时的路程 s （m）与时间 t （s）之间的函数图象如图所示.
根据图象，下列说法正确的是（ C ）
A. 乙队率先到达终点
B. 甲队比乙队多行了126m
C. 在47.8s时，两队所行的路程相等
D. 从出发到13.7s这段时间内，乙队的速度更慢
（第3题图）
C
4. 如图，射线 OA ， BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程
的一次函数的图象，图中 s （km）， t （h）分别表示行驶路程
和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h.
（第4题图）
4
5. 某手工作坊生产并销售某种食品，图中的线段 AB ， OC 分别
表示每天的生产成本 y1（元）、收入 y2（元）与生产的食品数
量 x （kg）之间的函数关系.若该手工作坊某一天既不盈利也不
亏损，则这天生产的食品的数量是 （当天该食品全部
售出）.
30kg
（第5题图）
6. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们离B地的距离 s
（km）与时间 t （h）之间的函数图象如图所示，则乙的速度
是 km/h.
3.6
7. 某单位急需用车，他们准备和A，B两个出租车公司签订月租
车合同.设汽车每月行驶 x km，应付给A公司的月费用为 y1元，
应付给B公司的月费用为 y2元. y1， y2与 x 之间的函数关系图象如
图所示.观察图象，回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租B公司的车更划算？
（2）每月行驶的路程为多少时，租两家公司的车的费用相同？
（3）如果该单位估计每月行驶路程为2600km，那么这个单位
租哪家公司的车更划算？
解：（1）观察图象，得每月行驶的路程小于1 500km时，租B公
司的车更划算.
（2）观察图象，知每月行驶的路程为1500km时，租两家公司
的车的费用相同.
（3）观察图象，知如果每月行驶的路程为2 600km，那么这个
单位租A公司的车更划算.
8. 某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以一定
的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y （m）与注水
时间 x （h）之间的函数图象如图所示.结合图象回答下列问题：
（1）求甲蓄水池中水的深度 y1与注水时间 x 之间的关系式；
（2）乙蓄水池中水的深度 y2与注水时间 x 之间的函数表达式为
y2＝ x ＋1，求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
（3）设甲、乙两个水池底面积之比为3∶2，求注水多长时间
甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
解：（1）设甲蓄水池中水的深度与注水时间的关系式为 y1＝ kx
＋ b （ k ≠0）.
因为函数图象经过点（0，2）和点（3，0），
所以 b ＝2，3 k ＋ b ＝0.
所以 k ＝－ .
所以甲蓄水池中水的深度与注水时间的关系式为 y1＝－ x ＋2.
（2）深度相同就是函数值相同.
根据题意，得－ x ＋2＝ x ＋1，
解得 x ＝0.6.
所以注水0.6h时，甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.
（3）根据题意，得3 y1＝2 y2，
即3 ＝2（ x ＋1），
解得 x ＝1.
故注水1h时，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
9. 甲、乙两人在跑步训练中的路程 s （m）与时间 t （s）之间的
函数关系如图所示.给出下列信息：①甲跑800m用了150s；②乙
跑400m用了90s；③甲的平均速度是乙平均速度的 倍；④乙的
平均速度是甲平均速度的 倍.其中正确的有 （填序
号）.
①④
【解析】由图象，得甲跑800m用了150s，故①正确；乙跑400m
用了150－90＝60（s），故②错误；甲的平均速度是800÷150
＝ （m/s），乙的平均速度是400÷60＝ （m/s）， ÷
＝ × ＝ ，则甲的平均速度是乙的 ，故③错误； ÷ ＝
× ＝ ，则乙的平均速度是甲的 倍，故④正确.故答案为
①④.
10. 如图1，点 P 从△ ABC 的顶点 B 出发，沿 B → C → A 匀速运动
到点 A ，图2是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关
系图象，其中点 M 是曲线部分的最低点，则△ ABC 的面积
是 .
84
图1
图2
【解析】由图象可得当点 P 在 BC 上运动时， BP 的长不断增
大，到达点 C 时， BP 长达到最大值，此时 BP ＝ BC ＝15；当点
P 在 CA 上运动时， BP 的长先减小再增大，在此过程中， BP ⊥
AC 时，此位置记为P'， BP 有最小值，为BP'＝12.由勾股定理，
得CP'＝9.当点 P 到达点 A 时，可得 BA ＝13.由勾股定理，得AP'
＝5.所以 AC ＝AP'＋CP'＝5＋9＝14.所以 S△ ABC ＝ BP'· AC ＝
×12×14＝84.故答案为84.
11. 某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案.方案
一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成.设 x
（件）是销售商品的数量， y （元）是销售人员的月工资.如
图， y1为方案一的函数图象， y2为方案二的函数图象.已知每件
商品的销售提成方案二比方案一少8元.（注：销售提成是指从
销售每件商品得到的销售额中获得一定数量的费用）
（1）求月工资 y1与销售商品数 x 之间的函数表达式；
（2）方案二中公司每月付给销售人员的底薪是多少元？
（3）小丽应选择哪种工资方案，才能使月工资更多？
解：（1）设月工资 y1与销售商品数 x 之间的函数表达式为 y1＝
kx （ k ≠0）.
由图象，得600＝40 k .
解得 k ＝15.
所以月工资 y1与销售商品的 x 之间的函数表达式为 y1＝15 x （ x
＞0）.
（2）因为每件商品的销售提成方案二比方案一少8元，所以设
y2＝（15－8） x ＋ b .
把（40，840）代入，得840＝7×40＋ b ，
解得 b ＝560.
所以 y2＝7 x ＋560.
所以方案二中公司每月付给销售人员的底薪是560元.
（3）设销售 m 件时，两种工资方案所得到的工资数额相等，
则15 m ＝7 m ＋560，解得 m ＝70.
所以当销售数量为70件时，两种工资方案所得到的工资数额相
等.故当销售数量少于70件时，选择方案二月工资更多；当销售
数量等于70件时，选择两种方案月工资一样；当销售数量多于
70件时，选择方案一月工资更多.
12. （选做）中国最美公路，揽括了平原、丘陵、盆地、山
地、高原等景观，其中川藏公路南线是中国最受欢迎的自驾路
线.已知川藏公路途经A，B两地，甲车从A地出发匀速开往B
地，甲车出发2 h后，乙车从B地匀速开往A地，两车同时到达各
自的目的地.甲、乙两车离B地的距离 y （km）与行驶时间 x
（h）的函数图象如图所示.
请根据图象回答下列问题：
（1）A，B两地相距 km；
360
（2）求乙车离 B 地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式；
（3）相遇后，经过多久两车相距60 km？
（2）解：设乙车离B地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式
为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
根据题意，得2 k ＋ b ＝0，6 k ＋ b ＝360，
解得 k ＝90， b ＝－180.
所以乙车离B地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为 y ＝
90 x －180.
（1）【解析】由题意，得A，B两地相距360 m.故答案为360.
（3）解：甲车的速度为360÷6＝60（km/h）.
设相遇的时间为 x .
根据题意，得60 x ＋90 x －180＝360，解得 x ＝3.6.
设甲车出发 m h两车相距60 km（相遇后）.
根据题意，得60 m ＋90 m －180＝360＋60，
解得 m ＝4.所以4－3.6＝0.4（h）.
故相遇后，经过0.4 h两车相距60 km.
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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第二课时）
1. 已知直线 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0）过点 A （0，2）， B （1，
0），则关于 x 的方程 ax ＋ b ＝0的解为（ B ）
A. x ＝0 B. x ＝1
C. x ＝2 D. x ＝3
B
2. 如图，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象经过点 P
（3，2），则方程 kx ＋ b ＝2的解是（ C ）
A. x ＝1
B. x ＝2
C. x ＝3
D. 无法确定
C
3. 已知等腰三角形的周长是10，底边长 y 是腰长 x 的函数，则下
列图象中，能正确反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ D ）
D
4. （1）已知直线 y ＝2 x ＋ b 与 x 轴交于点（－3，0），则方程2
x ＋ b ＝0的解是 ；
（2）已知一次函数 y ＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数，且 a ≠0）中 x ，
y 的部分对应值如下表所示，则方程 ax ＋ b ＝0的解是 .
x －2 －1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 －2 －4
5. 已知点 P 既在直线 y ＝－3 x －2上，又在直线 y ＝2 x ＋8上，
则点 P 的坐标是 .
x ＝－3
x ＝1
（－2，4）
6. 小明8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，然后再骑车
回到家.他离家的距离 y （km）与离家时间 t （min）之间的关系
如图所示，则8：45小明离家的距离是 km.
1.5
7. 科学家通过实验得出：一定质量的某种气体在体积不变的情
况下，压强 p （kPa）随温度 t （℃）变化的函数表达式是 p ＝ kt
＋ b ，其图象如图所示.
（1）根据图象求出该种气体的压强 p （kPa）与温度 t （℃）之
间的函数表达式；
（2）当压强 p 为200 kPa时，求该种气体的温度.
解：（1）由图知，函数 p ＝ kt ＋ b 的图象过点（0，100），
（25，110），则 b ＝100，25 k ＋ b ＝110.
所以 k ＝ .
故所求函数表达式是 p ＝ t ＋100（ t ≥0）.
（2）当 p ＝200时， t ＋100＝200，解得 t ＝250.
故当压强 p 为200kPa时，该种气体的温度是250℃.
8. 为了清洗水箱，需放掉水箱内原有的210L水，水箱内剩余的
水量 y （L）和放水时间 x （min）的部分图象如图所示.请解答
下列问题：
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）求 m 的值.
解：（1）根据题意，设该直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋210.
把（50，60）代入 y ＝ kx ＋210，
得50 k ＋210＝60，解得 k ＝－3.
所以 y 关于 x 的表达式为 y ＝－3 x ＋210（0≤ x ≤70）.
（2）当 y ＝0时，0＝－3 x ＋210，解得 x ＝70.
所以 m 的值为70.
9. 在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数，
且 k ≠0）的图象如图所示，根据图象可求得关于 x 的方程 kx ＋ b
＝－1的解为 .
（第9题图）
x ＝－2
10. 小亮从学校步行回家，其中小亮离家的距离 s （m）与时间 t
（min）之间的关系如图所示.根据图中提供的信息，给出以下
结论：①他在前12min的平均速度是70m/min；②他在第19min
到家；③他在第33min离家的距离是720m；④他在第15min离家
的距离和第24min离家的距离相等.其中正确的是 （填
序号）.
①③
（第10题图）
【解析】由图象可知，小亮前12min的平均速度为（1800－
960）÷12＝70（m/min），故①正确；由图象可知，第19分时
小亮离家1800m，故②不正确；由图象可知，小亮第21min～
41min的平均速度为1800÷（41－21）＝90（m/min），则他在
第33min离家的距离为1800－（33－21）×90＝720（m），故
③正确；根据③可知，小亮在第24m离家的距离为1800－（24
－21）×90＝1530（m）；由图象可知，小亮第12～19分的平
均速度为（1800－960）÷（19－12）＝120（m/min），则他在第15min离家的距离为960＋（15－12）×120＝1320（m）.因为
1530≠1320，所以他在第15min离家的距离和第24min离家的距
离不相等，故④不正确.综上所述，正确的是①③.故答案为①
③.
11. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲
地.设先发车辆行驶的时间为 x h，两车之间的距离为 y km，图中
的折线表示 y 与 x 之间的函数关系.根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；
（2）解释图中点 D 的实际意义并求出点 D 的坐标；
80
120
（3）当两车之间的距离为320km时，求 x 的值.
（1）【解析】慢车的速度为 ＝80（km/h），快车的速
度为 －80＝120（km/h）.故答案为80，120.
（2）解：图中点 D 的实际意义：快车到达乙地.
因为快车走完全程所需时间为480÷120＝4（h），
所以点 D 的横坐标为4.5，纵坐标为（80＋120）×（4.5－
2.7）＝360，即点 D （4.5，360）.
（3）解：由题意，知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离
为320km.
设行驶 x h后，两车之间的距离为320km.
相遇前：（80＋120）×（ x －0.5）＝440－320，
解得 x ＝1.1；
相遇后：（80＋120）×（ x －2.7）＝320，
解得 x ＝4.3.
故当 x ＝1.1或 4.3时，两车之间的距离为320km.
12. （选做）有一科技小组进行了机器人行走性能试验.在试验
场地中， A ， B ， C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两台
机器人分别从 A ， B 两点同时同向出发，历时7min同时到达点
C ，乙机器人始终以60m/min的速度行走，甲、乙两机器人之间
的距离 y （m）与它们行走的时间 x （min）之间的函数图象如图
所示.前3min甲机器人的行走速度不变.请结合图象，解答下列
问题：
（1） A ， B 两点之间的距离是 m，甲机器人前2min的速
度为 m/min；
（2）求线段 EF 所在直线的函数表达式；
（3）若线段 FG ∥ x 轴，则此段时间，甲机器人的行走速度
为 m/min；
（4）求 A ， C 两点之间的距离；
70
95
60
（5）两机器人出发多长时间相距30m？
（1）【解析】易知 A ， B 两点间的距离为70m，甲机器人前
2min的速度为 ＋60＝95（m/min）.故答案为70，95.
（2）解：2～3 min，甲、乙机器人的速度差为95－60＝35
（m/min）.
所以 y ＝35（ x －2）＝35 x －70.
所以线段 EF 所在直线的函数表达式为 y ＝35 x －70.
（3）【解析】因为甲、乙机器人之间的距离不变，且乙机器人
始终以60m/min的速度行走，则甲、乙机器人的速度保持一致，
所以甲机器人的速度为60m/min.故答案为60.
（4）解： A ， C 两点之间的距离为70＋60×7＝490（m）.
（5）解：两机器人行走过程中有3次相距30m.
设两机器人出发 x min相距30m.
①前2min，两机器人相距30m时，
60 x ＋70－95 x ＝30，解得 x ＝ .
②第2～3min，两机器人相距30m时，
95 x －60 x －70＝30，解得 x ＝ .
③第4～7min，直线 GH 经过点（4，35）和点（7，0），则直
线 GH 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
当 y ＝30时，30＝－ x ＋ ，解得 x ＝ .
综上所述，两机器人出发 min， min或 min时，相距30m.
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第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第二课时）
1. 在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝－2 x －3的图象不经过
（ A ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A
2. 若正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）中 y 的值随着 x 值的增大而减
小，则一次函数 y ＝ x ＋ k 的图象大致是（ A ）
A
3. 在平面直角坐标系中，将函数 y ＝3 x 的图象向上平移6个单位
长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标为（ B ）
A. （2，0） B. （－2，0）
C. （6，0） D. （－6，0）
B
4. 有下列函数：① y ＝－ x ＋5；② y ＝3 x －6；③ y ＝2 x ＋4；
④ y ＝－2 x －3；⑤ y ＝－3 x ；⑥ y ＝7 x ；⑦ y ＝3 x －1.以下请
填写序号：
（1） y 的值随着 x 值的增大而增大的函数有 ；
（2） y 的值随着 x 值的增大而减小的函数有 ；
（3）图象相互平行的函数是 .
5. 将一次函数 y ＝3 x ＋1的图象向下平移 个单位长度，可
使它经过点（1，－1）.
②③⑥⑦
①④⑤
②与⑦
5
6. 已知点 A （ ， m ）， B 在一次函数 y ＝－2 x ＋1的
图象上，则 m 与 n 的大小关系是 （用“＞”号连
接）.
m ＞ n
7. 已知函数 y ＝（2 m ＋1） x ＋ m －3.
（1）若该函数的图象经过原点，求 m 的值；
（2）若该函数的图象平行于直线 y ＝3 x －3，求 m 的值；
（3）若该函数是一次函数，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，
求 m 的取值范围.
解：（1）把（0，0）代入 y ＝（2 m ＋1） x ＋ m －3中，
得 m －3＝0，解得 m ＝3.
（2）由题意，得2 m ＋1＝3， m －3≠－3，解得 m ＝1.
（3）由题意，得2 m ＋1＜0.解得 m ＜－ .
故 m 的取值范围为 m ＜－ .
8. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ m 的图象与 y 轴交于点 B ，与
正比例函数 y ＝ x 的图象交于点 P （2， n ）.
（1）求 m ， n 的值；
（2）求△ POB 的面积.
解：（1）把点 P （2， n ）代入 y ＝ x 中，得 n ＝3.
所以点 P 的坐标为（2，3）.
把 P （2，3）代入 y ＝－ x ＋ m 中，得－2＋ m ＝3，
解得 m ＝5.
所以 m ， n 的值分别为5，3.
（2）由（1），得一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋5.
把 x ＝0代入 y ＝－ x ＋5中，得 y ＝5.
所以点 B 的坐标为（0，5）.
所以 S△ POB ＝ ×5×2＝5.
9. 已知点 M （－7， m ）， N （－8， n ）都在函数 y ＝－（ k2＋
2 k ＋4） x ＋1（ k 为常数）的图象上，则 m 和 n 的大小关系
是 .
【解析】因为 k2＋2 k ＋4＝（ k ＋1）2＋3＞0，
所以－（ k2＋2 k ＋4）＜0.
所以该一次函数中， y 的值随着 x 值的增大而减小.
又因为－7＞－8，所以 m ＜ n .
故答案为 m ＜ n .
m ＜ n
10. 如图，已知一次函数 y ＝ x ＋4的图象与坐标轴分别交于 A ，
B 两点，点 P ， C 分别是线段 AB ， OB 上的点，且∠ OPC ＝
45°， PC ＝ PO ，则点 P 的坐标为 .
答图
答图
【解析】因为一次函数 y ＝ x ＋4的图象与坐标轴分别交于 A ， B
两点，在 y ＝ x ＋4中，令 x ＝0，则 y ＝4，所以点 B （0，4），
令 y ＝0，则 x ＝－4，所以点 A （－4，0）.所以 AO ＝ BO ＝4.
所以△ AOB 是等腰直角三角形.所以∠ ABO ＝45°.
如答图，过点 P 作 PD ⊥ OC 于点 D ，
则△ BDP 是等腰直角三角形，所以 PD ＝ BD .
因为∠ PBC ＝∠ CPO ＝∠ OAP ＝45°，
所以∠ PCB ＋∠ BPC ＝135°＝∠ OPA ＋∠ BPC .
所以∠ PCB ＝∠ OPA .
在△ PCB 和△ OPA 中，
所以△ PCB ≌△ OPA （AAS）.
所以 BP ＝ AO ＝4.
所以Rt△ BDP 中， BD ＝ PD ＝2 .
所以 DO ＝ BO － BD ＝4－2 .
因为 PD ＝ BD ＝2 ，
所以 P （－2 ，4－2 ）.
故答案为（－2 ，4－2 ）.
答图
11. 如图，已知直线 l1： y ＝2 x ＋1与直线 l2： y ＝ mx ＋4相交于
点 P （1， b ）.
（1）求 b ， m 的值；
（2）已知垂直于 x 轴的直线 x ＝ a 分别与直线 l1， l2相交于点
C ， D . 若线段 CD 的长为2，求 a 的值.
解：（1）把点 P （1， b ）代入 y ＝2 x ＋1中，得 b ＝2＋1＝3.
则点 P 的坐标为（1，3）.
把点 P （1，3）代入 y ＝ mx ＋4中，得 m ＋4＝3，
解得 m ＝－1.
所以 b ， m 的值分别为3，－1.
（2）由（1）可知，直线 l2的函数表达式为 y ＝－ x ＋4.
易知直线 x ＝ a 与直线 l1的交点 C 的坐标为（ a ，2 a ＋1），与直
线 l2的交点 D 的坐标为（ a ，－ a ＋4）.
因为 CD ＝2，
所以｜2 a ＋1－（－ a ＋4）｜＝2，
即｜3 a －3｜＝2.
所以3 a －3＝2或3－3 a ＝2，
解得 a ＝ 或 a ＝ .
12. 已知直线 y ＝－2 x ＋4与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，直
线 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 是常数，且 k ≠0）经过点 A ，与 y 轴交于点
C ，且 OC ＝ OA .
（1）求点 A 的坐标及 k 的值；
（2）已知点 C 在 x 轴的上方，点 P 在直线 y ＝－2 x ＋4上.若 PC
＝ PB ，求点 P 的坐标.
解：（1）因为直线 y ＝－2 x ＋4与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点
B ，所以 A （2，0）， B （0，4）.
因为直线 y ＝ kx ＋ b 与 y 轴交于点 C ，且 OC ＝ OA ，
所以 C （0，－2）或 C （0，2）.
所以 b ＝－2或 b ＝2.
又因为直线 y ＝ kx ＋ b 经过点 A ，所以2 k ＋ b ＝0.
将 b ＝－2代入2 k ＋ b ＝0中，解得 k ＝1；
将 b ＝2代入2 k ＋ b ＝0中，解得 k ＝－1.
所以 k 的值为1或－1.
（2）由（1）及点 C 在 x 轴的上方，得 C （0，2）.
因为 PC ＝ PB ，
所以点 P 的纵坐标为3.
因为点 P 在直线 y ＝－2 x ＋4上，
所以3＝－2 x ＋4，
解得 x ＝ .
所以点 P 的坐标为 .
13. （选做）如图，已知直线 y ＝ x ＋2分别交 x 轴、 y 轴于 A ，
C 两点，点 P 在该直线上，且在第一象限内， PB ⊥ x 轴于点 B ，
且 S△ ABC ＝6.
（1）求点 B 和点 P 的坐标；
（2）过点 B 作直线 BQ ∥ AP ，交 y 轴于点 Q ，求点 Q 的坐标和
四边形 BPCQ 的面积.
解：（1）在 y ＝ x ＋2中，令 x ＝0，则 y ＝2，
所以点 C （0，2）；
令 y ＝0，则 x ＝－4，所以点 A （－4，0）.
设点 B （ m ，0）（ m ＞0），
则 S△ ABC ＝ AB · OC ＝ ×[ m －（－4）]×2＝6，
解得 m ＝2.所以点 B （2，0）.
当 x ＝2时， y ＝ ×2＋2＝3，所以点 P （2，3）.
（2）如答图，设直线 BQ 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为 BQ ∥ AP ，所以 k ＝ .
所以 y ＝ x ＋ b .
将点 B （2，0）代入，得 ×2＋ b ＝0，解得 b ＝－1.
所以直线 BQ 的函数表达式为 y ＝ x －1.
令 x ＝0，则 y ＝－1.所以点 Q （0，－1）.
所以 S四边形 BPCQ ＝ （ BP ＋ CQ ）· OB ＝ ×（3＋3）×2＝6.
答图
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