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第四章 一次函数
专题6 一次函数中的规律探索问题
1. 若规定[ x ]表示不大于 x 的最大整数，如[2.3]＝2，[－1.2]＝
－2，则函数 y ＝ x －[ x ]的图象为（ A ）
A
B
A
C
D
【解析】当－1≤ x ＜0时，[ x ]＝－1， y ＝ x ＋1；当0≤ x ＜1
时，[ x ]＝0， y ＝ x ；当1≤ x ＜2时，[ x ]＝1， y ＝ x －1，….故
选A.
2. 如图，直线 y ＝ x ＋1分别与 x 轴、 y 轴交于点 C ， D ，以线
段 OD 为直角边作等腰直角三角形 DOC1；过点 C1作 C1 D1⊥ x 轴
交直线 y ＝ x ＋1于点 D1，又以 C1 D1为直角边作等腰直角三角
形 D1 C1 C2……按这样的规律一直作下去，则Rt△ D2023 C2023
C2024的腰长是（ D ）
D
A. B.
C. D.
【解析】由图象可知，当 x ＝1时，得 C1 D1＝ ＋1＝ ；当 x ＝1
＋ ＝ 时，得 C2 D2＝ × ＋1＝ ＝ ；当 x ＝ ＋ ＝
时，得 C3 D3＝ × ＋1＝ ＝ ；…； C2023 D2023＝
.故Rt△ D2023 C2023 C2024的腰长是 .故选D.
3. 如图，过点 A1（1，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点
B1；点 A2与点 O 关于直线 A1 B1对称，过点 A2作 x 轴的垂线，交
直线 y ＝2 x 于点 B2；点 A3与点 O 关于直线 A2 B2对称，过点 A3作 x
轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B3……按此规律作下去，则点 Bn
的坐标为 .
（2 n－1，2 n ）
（第3题图）
【解析】因为 A1（1，0），所以 OA1＝1.
因为过点 A1（1，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B1，所以
B1（1，2）.
因为点 A2与点 O 关于直线 A1 B1对称，所以 A1 A2＝ OA1＝1.
所以 A2（2，0）.所以 OA2＝2.
因为过点 A2（2，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B2，所以
B2（2，4）.
因为点 A3与点 O 关于直线 A2 B2对称，所以 A3（4，0）， B3（4，8）.
以此类推，可得点 An 的坐标为（2 n－1，0），点 Bn 的坐标为
（2 n－1，2 n ）.故答案为（2 n－1，2 n ）.
4. 如图，将正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1，…按此方法放置，
点 A1（0，1）， A2， A3，…和点 C1， C2， C3，…分别在直线 y
＝ x ＋1和 x 轴上，则点 Bn 的坐标为 .
（第4题图）
（2 n －1，2 n－1）
【解析】当 x ＝0时， y ＝0＋1＝1，所以点 A1（0，1）.
因为四边形 A1 B1 C1 O 为正方形，所以点 B1（1，1）.
当 x ＝1时， y ＝1＋1＝2，所以点 A2（1，2）.
因为四边形 A2 B2 C2 C1为正方形，所以点 B2（3，2）.
同理，点 A3（3，4），点 B3（7，4）；
点 A4（7，8），点 B4（15，8）……
所以点 Bn （2 n －1，2 n－1）.
故答案为（2 n －1，2 n－1）.
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ x ＋2与 y 轴交于
点 A1，作正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1， A3 B3 C3 C2，….使点
A1， A2， A3，…在直线 y ＝ x ＋2上，点 C1， C2， C3，…在 x 轴
上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 S1， S2，
S3，…， Sn ，则 Sn 的值为 （用含 n 的代数式表示， n 为
正整数）.
22 n－1
（第5题图）
【解析】由题知， B1（2，2）， A2（2，4）， B2（6，4）， A3
（6，8）， B3（14，8）， A4（14，16）.
所以 S1＝ ×2×2＝2，
S2＝ ×4×4＝8＝23，
S3＝ ×8×8＝32＝25，
……所以 Sn ＝ ×（2 n ）2＝22 n－1.
故答案为22 n－1.
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 l ： y ＝－ x ，点 A1
的坐标为（－3，0）.过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B1，以
原点 O 为圆心， OB1的长为半径画弧交 x 轴负半轴于点 A2，再过
点 A2作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心， OB2的长
为半径画弧交 x 轴负半轴于点 A3……按此作法进行下去，则点
A2 024的坐标为 .
（第6题图）
【解析】因为直线 l ： y ＝－ x ，点 A1的坐标为（－3，0），当
x ＝－3时， y ＝4，所以 B1（－3，4）.
根据勾股定理，得 OB1＝5，
所以 A2（－5，0），即 .
将 x ＝－5代入 y ＝－ x ，得 y ＝ ，所以 B2 .
根据勾股定理，得 OB2＝ ，
所以 A3 ，即 ，
所以 A4 ，即 .
……
所以 A2024的横坐标为－5× ＝－ ，
所以 A2024 .
故答案为 .
7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1是直线 y ＝2 x 上一点.过点
A1作 A1 B1∥ x 轴，交直线 y ＝ x 于点 B1；过点 B1作 B1 A2∥ y
轴，交直线 y ＝2 x 于点 A2；过点 A2作 A2 B2∥ x 轴，交直线 y ＝
x 于点 B2，过点 B2作 B2 A3∥ y 轴，
交直线 y ＝2 x 于点 A3；……依次作下去，若点 B1的纵坐标是1，
则点 A2025的纵坐标是 .
21012
【解析】因为点 B1的纵坐标是1，
所以 A1 ， B1 .
因为过点 B1作 B1 A2∥ y 轴，交直线 y ＝2 x 于点 A2，过点 A2作 A2
B2∥ x 轴交直线 y ＝ x 于点 B2，…，依次作下去，
所以 A2 ， B2（1， ）， A3（1，2）， B3（ ，
2）， A4（ ，2 ），….
可得点 An 的纵坐标为（ .
所以点 A2025的纵坐标是（ ）2024＝21012.
故答案为21012.
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ P1 OA1，△ P2 A1 A2，
△ P3 A2 A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点 P1（3，3），
P2， P3，…均在直线 y ＝－ x ＋4上.设△ P1 OA1，△ P2 A1 A2，
△ P3 A2 A3，…的面积分别为 S1， S2， S3，…，依据图形所反映
的规律，则 S2024＝ .
【解析】如图，分别过点 P1， P2， P3作 x 轴的垂线，垂足分别
为 C ， D ， E .
∵点 P1（3，3），且△ OP1 A1为等腰直角三角形，
∴ OC ＝ CA1＝ P1 C ＝3.
设 A1 D ＝ a ，则 P2 D ＝ a ，∴ OD ＝6＋ a .
∴点 P2的坐标为（6＋ a ， a ）.
将点 P2的坐标代入 y ＝－ x ＋4，
得－ （6＋ a ）＋4＝ a ，解得 a ＝ .
∴ A1 A2＝2 a ＝3， P2 D ＝ .
同理可得， P3 E ＝ ， A2 A3＝ ，
∴ S1＝ ×6×3＝9，S2＝ ×3× ＝ ，S3＝ × × ＝ .
……
∴ Sn ＝ .
因此 S2024＝ .
故答案为 .
9. （选做）如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A （0，2），点 O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的对角线
AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3 A1，点 O2为正方形 ABO3
A1的中心；再以正方形 ABO3 A1的对角线 A1 B 为边，在 A1 B 的右
侧作正方形 A1 BB1 O4，点 O3为正方形 A1 BB1 O4的中心；再以正
方形 A1 BB1 O4的对角线 A1 B1为边，在 A1 B1的右侧作正方形 A1 B1
O5 A2， O4为正方形 A1 B1 O5 A2的中心；…；按照此规律继续下
去，则点 O2023的坐标为 .
（3×21011－2，21011）
【解析】如图，连接 OO2，则 OO2与 AB 交于点 O1.
在正方形 AOBO2中，顶点 A 的坐标为 A （0，2），
∴ OA ＝ OB ＝2， AO1＝ BO1.
∴点 B （2，0）.∴ O1（1，1）.
同理可得， O2（2，2）， O3（4，2）， O4（6，4）， O5（10，4）， O6（14，8），….
由此发现，下标为偶数的点的纵坐标为 ，且下标为偶数的点
的纵坐标等于横坐标的 加1，
∴下标为偶数的点在直线 y ＝ x ＋1上. ∴点 O2022的纵坐标为21011.
∴21011＝ x ＋1，解得 x ＝21012－2.
∴点 O2022的坐标为（21012－2，21011）.
点 O2023的横坐标为 x ＝21012－2＋21011＝3×21011－2，纵坐标和
O2022的纵坐标相同.
故答案为（3×21011－2，21011）.
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第四章 一次函数
专题4 一次函数在图形中的应用
1. 如图，已知一次函数 y ＝2 x －2的图象与坐标轴交于 A ， B 两
点，则△ AOB 的面积为（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
（第1题图）
A
2. 已知直线 y ＝ kx ＋1与 x 轴、 y 轴围成的三角形为等腰直角三
角形，则 k 的值为（ C ）
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 2
C
3. 如图，已知直线 l1： y ＝－2 x ＋4与坐标轴分别交于 A ， B 两
点，则过原点 O 且将△ AOB 的面积平分的直线 l2的函数表达式
为（ B ）
A. y ＝ x B. y ＝2 x
C. y ＝3 x D. y ＝1.5 x
（第3题图）
B
4. 已知等腰三角形的周长为20，底边长为 y ，腰长为 x ，则 y 与
x 之间的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范围
是 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝－ x ＋4分别与 x
轴、 y 轴交于 A ， B 两点，点 C 在第二象限.若 BC ＝ OC ＝ OA ，
则点 C 的坐标为 .
y ＝－2 x ＋20
5＜ x ＜10
（－ ，2）
6. 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点（0，4），且与两坐
标轴所围成的三角形的面积为4，则 k ＝ ， b ＝ .
7. 如图，已知直线 y ＝2 x ＋3与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，
点 P 的坐标为（2，－2），求△ PAB 的面积.
±2
4
解：如答图，易知点 A ， B （0，3），
则易得直线 PB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋3.
设 BP 交 x 轴于点 M ，则点 M 的坐标为 .
则 AM ＝ － ＝ .
所以 S△ PAB ＝ S△ AMB ＋ S△ AMP ＝ ｜ AM ｜·｜ BO ｜＋ ｜
AM ｜·｜ yP ｜＝ × ×3＋ × ×｜－2｜＝ .
答图
8. 如图，直线 y ＝－ x ＋10分别与 x 轴、 y 轴交于点 B ， C ，点 A
的坐标为（8，0），点 P （ x ， y ）是在第一象限内直线 y ＝－ x
＋10上的一个动点.
（1）求△ OPA 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x
的取值范围；
（2）当△ OPA 的面积为10时，求点 P 的坐标.
解：（1）因为 A （8，0），
所以 OA ＝8.
由题意，得 B （10，0），
P （ x ，－ x ＋10）.
则 S ＝ OA ·｜ yP ｜＝ ×8×（－ x ＋10）＝－4 x ＋40（0＜ x ＜
10）.
（2）当 S ＝10时，－4 x ＋40＝10，解得 x ＝ .
当 x ＝ 时， y ＝－ ＋10＝ .
所以当△ OPA 的面积为10时，点 P 的坐标为 .
9. 如图，一次函数 y ＝－ x ＋8的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点
A ， B ，动点 P 在射线 BO 上（点 P 不与点 B 重合），点 Q 在线段
AB 上，且∠ APQ ＝∠ ABO . 当△ APQ 是以 AQ 为底边的等腰三
角形时，则点 P 的坐标为 .（提示：在△ ABC
中，若∠ A ＝∠ B ，则 BC ＝ AC ）
（0，－2）
【解析】在 y ＝－ x ＋8中，令 x ＝0，得 y ＝8；令 y ＝0，得 x ＝
6，所以点 A 的坐标为（6，0），点 B 的坐标为（0，8）.所以
AB ＝10.当△ APQ 是以 AQ 为底边的等腰三角形时，∠ PAQ ＝∠
PQA . 在△ APQ 和△ ABP 中，因为∠ PAQ 是公共角，且∠ APQ
＝∠ ABO ，所以∠ PQA ＝∠ APB . 所以∠ PAQ ＝∠ APB . 所以
BP ＝ BA ＝10.所以 PO ＝2.所以点 P 的坐标为（0，－2）.故答
案为（0，－2）.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （0，－2）， B
（3，2），点 C 在第一象限，且△ ABC 的面积为9.将直线 AB 沿
y 轴平移后经过点 C ，则平移后的直线的函数表达式为
.
y ＝ x
＋4
【解析】如答图，设平移后的直线与 y 轴交于点 E ，连接 BE .
设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.将 A （0，－
2）， B （3，2）代入表达式，得 b ＝－2，3 k ＋ b ＝2.所以 k ＝
.所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝ x －2.由题意，知 CE ∥
AB ，所以△ ABC 与△ ABE 的面积相等.所以 AE ·3＝9，解得 AE
＝6.因为 OA ＝2，所以 OE ＝4.所以 E （0，4）.所以平移后的
直线 CE 的函数表达式为 y ＝ x ＋4.故答案为 y ＝ x ＋4.
答图
11. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋3的图象与 x 轴交于点 A ，与
y 轴交于点 B ，点 C 是 x 轴上的一个动点，连接 BC . 将△ ABC 沿
BC 所在的直线折叠，当点 A 落在 y 轴上时，求点 C 的坐标.
解：因为一次函数 y ＝－ x ＋3的图象与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交
于点 B ，
所以 A （4，0）， B （0，3）.
所以 OA ＝4， OB ＝3.
所以 AB ＝5.
①如图1，当点 A 落在 y 轴的正半轴上时，
设点 C 的坐标为（ m ，0），
则 A1 O ＝ A1 B ＋ OB ＝ AB ＋ OB ＝5＋3＝8，
A1 C ＝ AC ＝4－ m .
因为 A1 C2＝ OC2＋ A1 O2，
所以（4－ m ）2＝ m2＋82，解得 m ＝－6.
所以点 C 的坐标为（－6，0）；
图1
②如图2，当点 A 落在 y 轴的负半轴上时，
设点 C 的坐标为（ n ，0），
则 A2 O ＝ A2 B － OB ＝ AB － OB ＝5－3＝2，
A2 C ＝ AC ＝4－ n .因为 A2 C2＝ OC2＋ A2 O2，
所以（4－ n ）2＝ n2＋22，解得 n ＝ .
所以点 C 的坐标为 .
综上所述，当点 A 落在 y 轴上时，点 C 的坐标为（－6，0）或
.
图2
12. 如图，已知直线 y ＝2 x ＋4与坐标轴交于 A ， B 两点，直线
BC 与直线 AB 垂直，垂足为 B ，交 y 轴于点 C .
（1）求直线 BC 的函数表达式；
（2）在直线 BC 上有一点 P （不与点 B 重合），使△ PAB 的面积
为10，求点 P 的坐标.
解：（1）因为直线 y ＝2 x ＋4与坐标轴交于 A ， B 两点，
所以 A （0，4）， B （－2，0）.
所以 OA ＝4， OB ＝2.
所以 AB2＝ OA2＋ OB2＝20.
设 OC ＝ x ，则 AC ＝4＋ x .
在Rt△ OBC 中， BC2＝ OB2＋ OC2＝4＋ x2.
因为直线 BC 与直线 AB 垂直，所以∠ ABC ＝90°.
在Rt△ ABC 中， BC2＝ AC2－ AB2＝（4＋ x ）2－20.
所以（4＋ x ）2－20＝4＋ x2，
解得 x ＝1，所以 C （0，－1）.
设直线 BC 的函数表达式为 y ＝ kx －1（ k ≠0）.
因为直线 BC 过点 B （－2，0），
所以－2 k －1＝0，解得 k ＝－ .
所以直线 BC 的函数表达式为 y ＝－ x －1.
（2）由题意，得 S△ PAB ＝ AB · BP ＝10， AB ＝2 ，
所以 ×2 BP ＝10，
解得 BP ＝2 .所以 BP ＝ AB .
如图，过点 P 作 PH ⊥ x 轴于点 H .
易证△ BPH ≌△ ABO ，所以 BH ＝ OA ＝4， PH ＝ OB ＝2.
当点 P 在第四象限时， OH1＝ BH1－ OB ＝4－2＝2，则 P1（2，
－2）；
当点 P 在第二象限时， OH2＝ BH2＋ OB ＝4＋2＝6，则 P2（－
6，2）.
所以点 P 的坐标为（2，－2）或（－6，2）.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝－ x ＋
5的图象 l1分别与 x 轴、 y 轴交于 A ， B 两点，正比例函数的图象
l2与 l1交于点 C （ m ，4）.
（1）求 m 的值及直线 l2的函数表达式；
（2）求 S△ AOC － S△ BOC 的值；
（3）若一次函数 y ＝ kx ＋1的图象为 l3，且直线 l1， l2， l3不能
围成三角形，求出 k 的值.
解：（1）把 C （ m ，4）代入一次函数 y ＝－ x ＋5中，得4＝
－ m ＋5，解得 m ＝2.
所以点 C （2，4）.
设直线 l2的函数表达式为 y ＝ ax （ a ≠0），则4＝2 a .
解得 a ＝2.
所以直线 l2的函数表达式为 y ＝2 x .
（2）如图，过点 C 作 CD ⊥ AO 于点 D ， CE ⊥ BO 于点 E ，则
CD ＝4， CE ＝2.
在 y ＝－ x ＋5中，令 x ＝0，得 y ＝5；
令 y ＝0，得 x ＝10.
所以点 A （10，0），点 B （0，5）.
所以 AO ＝10， BO ＝5.
所以 S△ AOC － S△ BOC ＝ AO · CD － BO · CE ＝ ×10×4－
×5×2＝20－5＝15.
（3）一次函数 y ＝ kx ＋1的图象为 l3，且直线 l1， l2， l3不能围
成三角形，有三种情况：①当直线 l3经过点 C （2，4）时， k ＝
；②当直线 l2， l3平行时， k ＝2；③当直线 l1， l3平行时， k ＝
－ .综上所述， k 的值为 ，2或－ .
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第五章 二元一次方程组
专题7 二元一次方程组的参数问题
1. 若是关于 x ， y 的二元一次方程 ax －5 y ＝1的解，则
a 的值为（ D ）
A. －5 B. －1 C. 9 D. 11
D
2. 已知方程组的解也是方程3 x ＋ ky ＝5的解，
则 k 的值为（ B ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
B
3. 已知（ a －3） x ＋ y｜ a－2｜＝0是关于 x ， y 的二元一次方程，
则 a 的值是 .
4. 已知是方程组的解，则代数式（ a ＋
b ）（ a － b ）的值为 .
5. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解
中 x ， y 互为相反数，则 a 的值为 .
1
－8
－3
6. 已知关于 x ， y 的方程组的解中 x ， y 的值
之和等于2，求 m 的值.
解：
由①－②，得 x ＋2 y ＝2.
因为 x ， y 的值之和等于2，
所以解得
把代入②，得 m ＝4.
7. 已知关于 x ， y 的方程组和有相同
的解，求 m ， n 的值.
解：根据题意，得
由①＋②，得5 x ＝15，解得 x ＝3.
把 x ＝3代入①，解得 y ＝－1.
把 x ＝3和 y ＝－1代入 mx ＋ y ＝ n ， x ＋ ny ＝ m ，得
解得
8. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解为
则关于 m ， n 的二元一次方程组
的解为 .
【解析】因为关于 x ， y 的二元一次方程组的解
为所以解得故答案为
9. 已知关于 x ， y 的二元一次方程（ m －2） x ＋（ m ＋1） y ＝2
m －7，无论 m 取何值，所得到的方程都有一个相同解，则这个
相同解是 .
【解析】原方程整理，得 m （ x ＋ y －2）＋（ y －2 x ＋7）＝0.
由题意知原方程的解与 m 无关，所以解得
所以这个相同解是故答案为
10. 甲、乙两人同时解关于 x ， y 的二元一次方程组
时，甲看错了方程①中的 m ，解得乙
看错了方程②中的 n ，解得试求 m4＋ n2 024的值.
解：根据题意，得解得
则 m4＋ n2 024＝24＋（－1）2 024＝16＋1＝17.
11. 已知关于 x ， y 的方程组
（1）请直接写出方程 x ＋2 y －6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 x ＋ y ＝0，求 m 的值；
（3）已知方程组有整数解，求整数 m 的值.
解：（1）由 x ＋2 y －6＝0，得 x ＝6－2 y .
当 y ＝1时， x ＝4；当 y ＝2时， x ＝2.
故方程 x ＋2 y －6＝0的所有正整数解为和
（2）由题意，得解得
将代入 x －2 y ＋ mx ＋4＝0中，
得－6－12－6 m ＋4＝0，解得 m ＝－ .
（3）由①＋②，得（ m ＋2） x －2＝0，解得 x ＝ .
将 x ＝ 代入①，得 y ＝ .且 m ＋2≠0，即 m ≠－2.
当 m ＋2＝－2，－1，1，2时， x 为整数，此时 m ＝－4，－3，
－1，0.当 m ＝－4时， y ＝ ，不符合题意；
当 m ＝－3时， y ＝4，符合题意；
当 m ＝－1时， y ＝2，符合题意；
当 m ＝0时， y ＝ ，不符合题意.
综上所述，整数 m 的值是－3或－1.
12. （选做）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地
销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）.汽车装运甲、
乙、丙三种水果的质量及利润如下表所示.
水果种类 甲 乙 丙
每辆汽车能装的质量/t 4 2 3
每吨水果可获利润/万元 0.5 0.7 0.4
（1）若用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22t到A地销售，则装
运乙、丙两种水果的汽车各有多少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72t
到B地销售（每种水果不少于一车）.假设装运甲种水果的汽车
为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各有多少辆？（结果用
m 表示）
（3）在（2）中，若13≤ m ≤15，如何安排装运可使水果基地
获得最大利润？最大利润是多少万元？
解：（1）设装运乙、丙水果的汽车分别为 x 辆， y 辆.
根据题意，得解得
所以装运乙种水果的汽车有2辆，装运丙种水果的汽车有6辆.
（2）设装运乙、丙水果的汽车分别为 a 辆， b 辆.
根据题意，得解得
所以装运乙种水果的汽车有（ m －12）辆，装运丙种水果的汽
车有（32－2 m ）辆.
（3）设总利润为 W 万元.
根据题意，得 W ＝0.5×4 m ＋0.7×2（ m －12）＋0.4×3×
（32－2 m ）＝ m ＋21.6.
因为13≤ m ≤15，且 m 为正整数，
所以 m ＝13，14或15.
在 W ＝ m ＋21.6中， W 的值随 m 值的增大而增大，
所以当 m ＝15时， W最大＝15＋21.6＝36.6（万元），
则 m －12＝15－12＝3（辆），
32－2 m ＝32－2×15＝2（辆）.
所以当运甲种水果的汽车为15辆，运乙种水果的汽车为3辆，运
丙种水果的汽车为2辆时，利润最大，最大利润是36.6万元.
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第二章 实 数
专题2 与二次根式有关的计算问题
1. 下列等式成立的是（ C ）
A. 2＋2 ＝4 B. ÷ ＝2
C. ＝3 D. × ＝
2. 估计（2 ＋6 ）× 的值在（ C ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间
C. 6和7之间 D. 7和8之间
C
C
3. 已知 ＝2 ， ＝3 ，则 a ＋ b 的值为（ B ）
A. 13 B. 17 C. 24 D. 40
4. 要使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 .
5. 已知实数 a ， b 满足 ＋｜6－ b ｜＝0，则 的值为
.
B
x ≥－6
2
6. 如图，长方体的棱 AB 长为3，棱 BC 长为4，棱 BF 长为2，点
P 为 CG 的中点.一只蚂蚁从点 A 处出发，在长方体表面沿如图所
示的路径到点 P 处吃食物，则它爬行的最短路程是 .
5
7. 计算：
（1） ＋ － ；
解：原式＝ × ＋ ×4 －
＝ ＋2 －
＝ .
（2） － ÷ ＋（ ＋ ）（ － ）；
解：原式＝22－ ＋（ ）2－（ ）2
＝4－ ＋3－2
＝5－ .
（3）9 ÷3 ×（－ ）；
解：原式＝－ ×
＝－ ×
＝－ ×5×2
＝－45 .
（4）（5 － ＋6 ）÷（－2 ）.
解：原式＝（20 －2 ＋18 ）÷（－2 ）
＝36 ÷（－2 ）
＝－18.
8. （1）先化简，再求值： a （ － a ）＋（ a ＋ ）·（ a －
），其中 a ＝ －1；
解：原式＝ a － a2＋ a2－3＝ a －3.
当 a ＝ －1时，
原式＝ （ －1）－3＝2－ －3＝－1－ .
（2）已知整数 m ， n 满足关系式 ＝ m － n ，求
的值.
解：因为 ＝4＋2×2× ＋ ＝7＋4 ＝
m － n ，且 m ， n 为整数，
所以 m ＝7， n ＝－4.
所以 ＝｜ mn ｜＝｜7×（－4）｜＝28.
9. 已知实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，则化简｜ b － a ｜
＋ 的值为 .
【解析】由数轴，知 b ＜－ a ＜0＜ a ＜－ b ，所以 b － a ＜0， a
＋ b ＜0.所以原式＝｜ b － a ｜＋｜ a ＋ b ｜＝－（ b － a ）－
（ a ＋ b ）＝－ b ＋ a － a － b ＝－2 b .故答案为－2 b .
－2 b
10. 设 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，则 a2＋ ab ＋ b2的
值为 .
【解析】 ＝ ＝ ＝2＋ .因为1＜ ＜
2，所以3＜2＋ ＜4.由题，知 a ＝3， b ＝2＋ －3＝ －
1.则 a2＋ ab ＋ b2＝9＋ ×3×（ －1）＋（ －1）2＝9＋
－ ＋4－2 ＝ － .故答案为 － .
－
11. 已知 a ， b ， c 满足｜ a － ｜＋ ＝ ＋
.
（1）求 a ， b ， c 的值.
（2）以 a ， b ， c 的值为边长能否构成三角形？若能，请说明三
角形的形状并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.
解：（1）因为｜ a － ｜＋ ＝ ＋
，
所以 b －5≥0，5－ b ≥0.
所以 b ＝5.
所以｜ a － ｜＋ ＝0.
所以 a － ＝0， c －4 ＝0.
所以 a ＝ ， b ＝5， c ＝4 .
（2）因为 a ＝ ， b ＝5， c ＝4 ，
所以 c ＞ b ＞ a ，且 a ＋ b ＝ ＋5＞2＋5＝7＝ ＞ ＝4
＝ c ，即 a ＋ b ＞ c .
所以以 a ， b ， c 的值为边长能构成三角形.
因为 a2＋ b2＝7＋25＝32， c2＝ ＝32，所以 a2＋ b2＝ c2.
所以此三角形是直角三角形.
所以此三角形的面积为 × ×5＝ .
故以 a ， b ， c 的值为边长能构成三角形，此三角形是直角三角
形，它的面积为 .
12. 已知 xy ＝12，求－ x － y 的值.
解：①当 x ＞0， y ＞0时，－ x － y ＝－ － ＝
－ － ＝－2 ＝－2 ＝－4 ；
②当 x ＜0， y ＜0时，－ x ＞0，－ y ＞0，－ x － y ＝
＋ ＝ ＋ ＝2 ＝2 ＝4 .
综上所述，－ x － y 的值为±4 .
13. （选做）已知 a ， b ， c 都是实数，且满足（2－ a ）2＋
＋ ＝0， ax2＋ bx ＋ c ＝0.求代数式3 x2＋6 x ＋
1的值.
解：因为（2－ a ）2＋ ＋ ＝0且（2－ a ）
2≥0， ≥0， ≥0，
所以2－ a ＝0， a2＋ b ＋ c ＝0， c ＋8＝0.
解得 a ＝2， b ＝4， c ＝－8.
又因为 ax2＋ bx ＋ c ＝0，即2 x2＋4 x －8＝0，所以 x2＋2 x ＝4.
所以3 x2＋6 x ＋1＝3（ x2＋2 x ）＋1＝3×4＋1＝13.
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第三章 位置与坐标
专题3 平面直角坐标系中点的坐标问题
1. 已知点 P （ m ＋2，2 m －4）在 x 轴上，则点 P 的坐标是
（ A ）
A. （4，0） B. （0，4）
C. （－4，0） D. （0，－4）
2. 已知点 P （ m －1，5）与点 Q （3，2－ n ）关于原点成中心
对称，则 m ＋ n 的值是（ C ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
A
C
3. 已知点A（0，1），B（2，0），点P在x轴上，且△ABP的面
积为6，则点P的坐标为（ A ）
A. （－10，0）或（14，0）
B. （－10，0）
C. （14，0）
D. （0，－10）或（0，14）
A
4. 已知点 P （ x ， y ）的坐标满足方程｜ x ＋1｜＋（ y －2）2＝
0，则点 P 关于 x 轴的对称点在第 象限.
5. 在平面直角坐标系中，已知点 C （2，1）.作点 C 关于 y 轴对
称的点 C1，再作点 C1关于原点对称的点 C2，则点 C2的坐标
为 .
6. 已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （－3，1）， B （1，
－3）， C （4，4），则△ ABC 的面积为 .
三
（2，－1）
20
7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的四个顶点的坐
标分别为 A （0，0）， B （9，0）， C （7，5）， D （2，7），
求这个四边形的面积.
解：如答图，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ x
轴于点 F ，
则四边形 ABCD 的面积为△ ADE ，△ CBF 和梯形 EFCD 的
面积和，
即 S四边形 ABCD ＝ ×2×7＋ ×（9－7）×5＋ ×（5＋7）
×（7－2）＝7＋5＋30＝42.
答图
8. 已知等腰直角三角形 ABO 在平面直角坐标系中的位置如图所
示，且点 A 的坐标为（－2，0）， BA ＝ BO ，求点 B 的坐标.
解：如答图，过点 B 作 BC ⊥ x 轴于点 C .
因为△ ABO 是等腰直角三角形， BA ＝ BO ，
所以∠ BOC ＝45°，点 C 为 OA 的中点.
因为 A （－2，0），所以 C （－1，0）.所以 OC ＝1.
因为∠ BOC ＝45°，∠ BCO ＝90°，
所以△ BOC 为等腰直角三角形.
所以 BC ＝ OC . 所以 BC ＝1.
所以点 B 的坐标是（－1，1）.
答图
9. 在平面直角坐标系中，对于点 P （ x ， y ），我们把点P‘
（－ y ＋1， x ＋1）叫做点 P 的“幸运点”.已知点 A1的“幸运点”为 A2，点 A2的“幸运点”为 A3，点 A3的“幸运点”为 A4，…，这样依次得到点 A1， A2， A3，…， An .若点 A1的坐标 为（3，1），则点 A2 024的坐标为 .
（0，－2）
【解析】由题可得， A1（3，1）， A2（0，4）， A3（－3，1）， A4（0，－2）， A5（3，1）， A6（0，4），…，所以每四
个点一次循环.因为2 024÷4＝506，所以点 A2024与点 A4重合，
即 A2 024（0，－2）.故答案为（0，－2）.
10. 如图，已知△ ABC 在平面直角坐标系中，且∠ ACB ＝
90°， AC ＝ BC ，点 A 的坐标为（2，1），点 C 的坐标为（4，
2），则点 B 的坐标为 .
（3，4）
答图
答图
【解析】如答图，过点 C 作 CF ⊥ x 轴于点 F ，再
分别过点 A ， B 作 AE ⊥ CF ， BD ⊥ CF ，垂足分
别为 E ， D . 因为 AE ⊥ CF ， BD ⊥ CF ，所以
∠ AEC ＝∠ CDB ＝90°.所以∠ ACE ＋∠ CAE
＝90°.又因为∠ ACB ＝90°，所以∠ ACE ＋
∠ BCD ＝90°.所以∠ CAE ＝∠ BCD . 在△ ACE
和△ CBD 中，所以△ ACE ≌△ CBD （AAS）.
所以 CE ＝ BD ， AE ＝ CD . 又因为点 A 的坐标为（2，1），点 C 的坐标为（4，2），所以 BD ＝ CE ＝2－1＝1， CD ＝ AE ＝4－2＝2.设点 B 的坐标为（ a ， b ），则 a ＝4－1＝3， b ＝2＋2＝4.
所以点 B 的坐标为（3，4）.故答案为（3，4）.
11. 如图，已知 A （－1，0）， C （1，4），点 B 在 x 轴上，且
AB ＝3.
（1）求点 B 的坐标.
（2）求△ ABC 的面积.
（3）在 y 轴上是否存在一点 P ，使得以 A ， B ， P 三点为顶点的
三角形的面积为10？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请
说明理由.
答图
解：（1）如答图，当点 B 在点 A 的右边时，－1＋3＝2；
当点 B 在点 A 的左边时，－1－3＝－4.
所以点 B 的坐标为（2，0）或（－4，0）.
答图
（2）△ ABC 的面积＝ ×3×4＝6.
（3）存在.设点 P 到 x 轴的距离为 h ，则 ×3 h ＝10，解得 h ＝
.
当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为 ；
当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为 .
综上所述，点 P 的坐标为 或 .
12. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 O 出发，按向上、
向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动一个单位长
度.其爬行路线如图所示.
（1）写出下列各点的坐标： A4 ， A8
， A12 ；
（2）写出点 A4 n 的坐标（ n 是正整数）；
（2，0）
（4，
0）
（6，0）
（3）指出蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向.
（1）【解析】由题意可得， A4（2，0）， A8（4，0）， A12
（6，0）.故答案为（2，0），（4，0），（6，0）.
（2）解：由图可知， A4 n （2 n ，0）.
（3）解：因为101÷4＝25……1，所以从点 A100到点 A101的方向
与从点 O 到点 A1的方向一致，为向上.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （0，
a ）， B （ b ，0）， C （3， c ），其中 a ， b ， c 满足关系
式：｜ a －2｜＋（ b －3）2＋ ＝0.
（1）求 a ， b ， c 的值.
（2）求四边形 AOBC 的面积.
（3）是否存在点 P ，使△ AOP 的面积为四边形 AOBC
面积的2倍？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存
在，请说明理由.
解：（1）因为｜ a －2｜＋（ b －3）2＋ ＝0，
所以 a －2＝0， b －3＝0， c －4＝0.
所以 a ＝2， b ＝3， b ＝4.
（2）由（1）可得， A （0，2）， B （3，0）， C （3，4），
所以 OA ＝2， BC ＝4， OB ＝3， OA ∥ BC .
所以 S四边形 AOBC ＝ （ OA ＋ BC ）· OB ＝ ×（2＋4）×3＝9.
（3）存在符合条件的点 P .
由题意，得 S△ AOP ＝ OA ·｜ xp ｜＝ ×2×｜ x ｜＝｜ x ｜.
因为△ AOP 的面积为四边形 AOBC 面积的2倍，
所以｜ x ｜＝2×9＝18.所以 x ＝±18.
当 x ＝18时，－ x ＝－ ×18＝－9；
当 x ＝－18时，－ x ＝－ ×（－18）＝9.
综上所述，存在点 P 使△ AOP 的面积为四边形 AOBC 面积的2
倍，点 P 的坐标为（18，－9）或（－18，9）.
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第二章 实 数
专题1 勾股定理及其逆定理在几何图形中的应用
1. 在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°.若 AB ＝8， BC ＝6，则
AC 的长是（ B ）
A. 10 B. 2
C. 10或2 D. 7
B
2. 如图，将长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端 A 和
B ，然后把中点 C 向上拉升6cm至点 D ，则橡皮筋被拉长了
（ A ）
A. 4cm B. 5cm
C. 6cm D. 7cm
（第2题图）
A
3. 如图，正方形 ABCD 的顶点 A ， D 在数轴上，且点 A 表示的
数为－1，点 D 表示的数为0.若用圆规在数轴上截取 AE ＝ AC ，
则点 E 所表示的数为（ C ）
A. 1 B. 1－
C. －1 D.
（第3题图）
C
4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，作 AC 的垂直平分线 l 交
BC 于点 D ，连接 AD . 若 AB ＝3， BC ＝9，则 BD 的长为 .
（第4题图）
4
5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝6cm， BC ＝
8cm.现将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE
的长为 cm.
（第5题图）
5
6. 如图，某自动感应门的正上方点 A 处装着一个感应器，离地
面的高度 AB 为2.5m.一名学生站在点 C 处时，感应门自动打开
了，此时这名学生离感应门的距离 BC 为1.2m，头顶离感应器
的距离 AD 为1.5m，则这名学生的身高 CD 为 m.
1.6
7. 如图，某开发区有一块四边形空地 ABCD . 现计划在该空地
上种植草皮，经测量，∠ ADC ＝90°， CD ＝3m， AD ＝4m，
BC ＝12m， AB ＝13m.若每平方米草皮需300元，则在该空地上
种植草皮共需多少元？
解：如图，连接 AC .
在Rt△ ACD 中，根据勾股定理，得
AC ＝ ＝ ＝5（m）.
在△ ABC 中， AB2＝132， BC2＝122.
又因为52＋122＝132，
所以 AC2＋ BC2＝ AB2.
所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
所以 ＝ S△ ACB － S△ ACD
＝ AC · BC － AD · CD
＝ ×5×12－ ×4×3
＝24（m2）.
因为每平方米草皮需300元，
所以在该空地上种植草皮共需24×300＝7 200（元）.
8. 如图，将长方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，
FC 交 AD 于点 E .
（1）试说明：△ AFE ≌△ CDE ；
（2）若 AB ＝4， BC ＝8，求图中阴影部分的面积.
解：（1）由翻折的性质，得 AF ＝ AB ，∠ F ＝∠ B .
因为四边形 ABCD 为长方形，
所以 AB ＝ CD ，∠ B ＝∠ D ＝90°.
所以 AF ＝ CD ，∠ F ＝∠ D .
在△ AFE 和△ CDE 中，
所以△ AFE ≌△ CDE （AAS）.
（2）因为△ AFE ≌△ CDE ，所以 AE ＝ CE .
根据翻折的性质，得 FC ＝ BC ＝8， AF ＝ AB ＝4.
在Rt△ AFE 中， AE2＝ AF2＋ EF2，
即（8－ EF ）2＝42＋ EF2.解得 EF ＝3.
所以 AE ＝ FC － EF ＝8－3＝5.
所以 S阴影＝ AE · CD ＝ ×5×4＝10.
9. 如图，在2×4的正方形网格中，△ ABC 的顶点都在小正方形
的顶点上，则点 A 到 BC 的距离等于 .
【解析】在网格中，由勾股定理，得 AB ＝ ＝ ， BC
＝ ＝ ， AC ＝ ＝ .所以 AB2＋ AC2＝2＋
8＝10＝ BC2.所以△ ABC 是直角三角形，且∠ A ＝90°.设点 A
到 BC 的距离为 h ，则 S△ ABC ＝ AB · AC ＝ BC · h .所以 h ＝
＝ ＝ ＝ .故答案为 .
10. 如图，在正方形网格中，点 A ， B ， P 是网格线的交点，则
∠ PAB ＋∠ PBA ＝ °.
答图
45
【解析】如答图，延长 AP 交网格线于点 D ，连接 BD ，交网格
线于点 C ，可知点 D 在网格线交点处. PD2＝ BD2＝12＋22＝5，
PB2＝12＋32＝10，所以 PD2＋ BD2＝ PB2.所以△ BDP 是直角三
角形，且∠ PDB ＝90°.又因为 PD ＝ BD ，所以△ PBD 是等腰
直角三角形.所以∠ DPB ＝45°.因为 PC ∥ AB ，所以∠ PAB ＝
∠ DPC ，∠ PBA ＝∠ CPB . 所以∠ PAB ＋∠ PBA ＝∠ DPC ＋∠
CPB ＝∠ DPB ＝45°.故答案为45.
答图
11. 如图，在一个长9cm、宽5cm的长方形纸片 ABCD 的中间位
置，放置一根正三棱柱的木块.木块的侧棱平行于 AD 且大于纸
片的宽 AD ，底面是边长为1cm的等边三角形.一只蚂蚁从点 A 处
爬行到点 C 处，求它爬行的最短路程.
解：如图，将整个图形向上的一面展开到同一个平面中，中间
两个长方形表示三棱柱两个侧面的展开图.
则蚂蚁爬行的最短路线为线段 AC .
在Rt△ ABC 中， AB ＝4＋1＋1＋4＝10（cm）， BC ＝5cm，
由勾股定理，得 AC ＝ ＝ ＝ ＝5
（cm）.
所以它爬行的最短路程为5 cm.
12. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，
将△ ADE 沿 AE 折叠至△ AFE ，延长 EF 交 BC 于点 G ，连接
AG ，且 AG 平分∠ BAF ，求 BG 的长.
解：在正方形 ABCD 中， AD ＝ AB ＝ BC ＝ CD ，∠ D ＝∠ B ＝
∠ C ＝90°.
由折叠，知 AD ＝ AF ， DE ＝ FE ，∠ D ＝∠ AFE ＝90°，
所以 AB ＝ AF ，∠ B ＝∠ AFG ＝90°.
又因为 AG 平分∠ BAF ，所以∠ BAG ＝∠ FAG .
在△ ABG 和△ AFG 中，
所以△ ABG ≌△ AFG （ASA）.
所以 BG ＝ FG . 设 BG ＝ FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .
因为点 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ EF ＝ DE ＝3，
所以 EG ＝3＋ x .
在Rt△ CEG 中， CE2＋ CG2＝ EG2，
所以32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，解得 x ＝2.
所以 BG 的长为2.
13. （选做）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边
平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”.
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， 和2，则此三角形
是否为“平方倍三角形”？请说明理由；
（2）若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形
的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）.
（3）如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， BC ＝5， CD
为边 AB 上的中线，且 CD ＝ AB . 若△ BCD 是“平方倍三角
形”，求△ ABC 的面积.
解：（1）此三角形是“平方倍三角形”.理由如下：因为
＋22＝3× ，
满足“平方倍三角形”的定义，
所以三边长分别是 ， 和2的三角形是“平方倍三角形”.
（2）如图，Rt△ ABC 有 a2＋ b2＝ c2.①
由Rt△ ABC 是“平方倍三角形”，
设 c2＋ b2＝3 a2.②
把①代入②，得 a2＋ b2＋ b2＝3 a2，即 a2＝ b2.所以 a ＝ b .
把 a ＝ b 代入①，得 c ＝ b .
所以该直角三角形的三边之比为1∶1∶ .
（3）在Rt△ ABC 中，因为∠ ACB ＝90°， CD 为边 AB 上的中
线，且 CD ＝ AB ，
所以 CD ＝ AD ＝ BD .
设 CD ＝ AD ＝ BD ＝ x ，则 AB ＝2 x .
因为△ BCD 是“平方倍三角形”，所以有以下两种情况：
①当 BD2＋ CD2＝3 BC2时，有 x2＋ x2＝3×52.解得 x ＝ （负
值舍去）.
所以 AB ＝2 x ＝5 ， AC ＝ ＝5 .
所以△ ABC 的面积为 ×5 ×5＝ ；
②当 BC2＋ BD2＝3 CD2或 BC2＋ CD2＝3 BD2时，有52＋ x2＝3 x2.
解得 x ＝ （负值舍去）.
所以 AB ＝2 x ＝5 ， AC ＝ ＝5.
所以△ ABC 的面积为 ×5×5＝ .
综上所述，△ ABC 的面积为 或 .
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第四章 一次函数
专题5 一次函数中的综合问题
1. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝ mx ＋ b （ m ， b 均
为常数）与正比例函数 y ＝ nx （ n 为常数）的图象如图所示，则
关于 x 的方程 mx ＝ nx － b 的解为（ A ）
A. x ＝3
B. x ＝－3
C. x ＝1
D. x ＝－1
A
2. 在平面直角坐标系中，直线 y ＝ kx ＋2与坐标轴交于 A ， B 两
点，要使△ AOB 为等腰直角三角形，则这样的直线 y ＝ kx ＋2有
（ B ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
B
3. 甲、乙两车在某时段的速度随时间变化的图象如图所示.下
列结论错误的是（ C ）
A. 乙车前4 s行驶的路程为48m
B. 在0～8 s内甲车的速度每秒增加4 m
C. 到第3 s时两车行驶的路程相等
D. 在4～8 s内甲车的速度都大于乙车的速度
（第3题图）
C
4. 如图，已知 A （0，1）， D （3，0），直线 l 绕点 A 旋转，与
x 轴交于点 P （点 P 不与点 D 重合）.当△ OAP 与△ OAD 全等
时，点 P 的坐标为 .
（第4题图）
（－3，0）
5. 小明家准备卖一种农作物，现有甲、乙两个商家在收购，已
知两个商家的收购总价 y （元）与收购量 x （kg）的关系如图所
示（说明：乙商家先支付240元订金，若卖给乙商家，则不需退
回；否则，需退回订金），则以下说法正确的有 （填
序号）.
①③
（第5题图）
①卖300kg时，两个商家的收购总价相同；②卖100kg时，卖给
甲商家更划算；③甲商家的收购单价为1.6元/kg.
6. 如图，已知直线 BC 经过点 A （4，3），且与直线 y ＝－ x 平
行，在直线 BC 上有一点 P ，连接 OP ，则线段 OP 长度的最小值
为 .
（第6题图）
4.8
7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，7），点 B
的坐标为（0，5），在 x 轴上找一点 C ，使△ ABC 的周长最
小，求点 C 的坐标.
解：如答图，作点 A 关于 x 轴的对称点A'，连接A'B交 x 轴于点
C ，此时 CA ＋ CB 的值最小.又因为 AB 的长为定值，所以此时
△ ABC 的周长最小.
因为点 A 的坐标为（2，7），
所以点A'的坐标为（2，－7）.
设直线A'B的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将A'（2，－7）， B （0，5）代入 y ＝ kx ＋ b ，
得2 k ＋ b ＝－7， b ＝5.所以 k ＝－6.
所以直线A'B的函数表达式为 y ＝－6 x ＋5.
当 y ＝0时， x ＝ ，所以点 C 的坐标为 .
答图
8. 某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优
惠卡.
①金卡：600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡：150元/张，每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设
游泳 x 次时，所需总费用为 y 元.
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时， y 与 x 之间的函数关
系式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图
象如图所示，请求出点 A ， B ， C 的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式最划算.
（2）当 x ＝0时，y ＝10 x ＋150＝150，
故点 A （0，150）.
当10 x ＋150＝20 x 时，
解得 x ＝15，则 y ＝300.
故点 B （15，300）.
当 y ＝10 x ＋150＝600时，解得 x ＝45.
故点 C （45，600）.
解：（1）由题意，得银卡消费时， y ＝10 x ＋150；
普通票消费时， y ＝20 x .
（3）由点 A ， B ， C 的坐标，得
当0＜ x ＜15时，选择普通票消费最划算；
当 x ＝15时，选择银卡、普通票消费的总费用相同，均比选择金
卡划算；
当15＜ x ＜45时，选择银卡消费最划算；
当 x ＝45时，选择金卡、银卡消费的总费用相同，均比选择普通
票划算；
当 x ＞45时，选择金卡消费最划算.
9. 若在直线 y ＝2 x ＋4上存在一点 P 到坐标轴的距离相等，则点
P 的坐标为 .
（－4，－4）或
【解析】设 P （ a ，2 a ＋4）.因为点 P 到坐标轴的距离相等，所
以｜ a ｜＝｜2 a ＋4｜.①当 a ＝2 a ＋4时， a ＝－4，点 P 的坐标
为（－4，－4）；②当－ a ＝2 a ＋4时， a ＝－ ，点 P 的坐标
为 .综上所述，点 P 的坐标为（－4，－4）或 .故答案为（－4，－4）或 .
10. 在一条笔直的公路上有 A ， B ， C 三个休息站， C 休息站位
于 A ， B 两个休息站之间.甲、乙两车分别从 A ， B 两个休息站
出发，沿这条公路匀速行驶至 C 休息站停止.在甲车出发至甲车
到达 C 休息站的过程中，甲、乙两车各自与 C 地的距离 y
（km）与甲车行驶时间 x （h）之间的函数关系如图所示.当甲
车出发 h时，两车相距350 km.
1.5
【解析】由图可知， C 休息站到 A ， B 休息站的距离均为
240km，甲的速度为240÷4＝60（km/h），乙的速度为240÷
（4－1）＝80（km/h）.设甲出发 x h时，甲、乙两车相距350
km.由题意，得60 x ＋80（ x －1）＋350＝240×2，解得 x ＝
1.5.故甲车出发1.5 h时，两车相距350 km.故答案为1.5.
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 l1： y ＝－ x ＋3与 x
轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，直线 l2： y ＝ kx ＋2 k 与 x 轴交于
点 C ，与直线 l1交于点 P .
（1）直线 l2是否经过 x 轴上一定点？若经过，直接写出该定点
的坐标；若不经过，请说明理由.
（2）过点 M （0，6）作平行于 x 轴的直线 l3，点 Q 为直线 l3上的
一个动点.当△ QAB 是不以点 A 为顶角顶点的等腰三角形时，求
点 Q 的坐标.
解：（1）经过一定点.
因为 y ＝ kx ＋2 k ，
所以 y ＝ k （ x ＋2）.
所以当 x ＝－2时， y ＝0.
所以直线 l2经过 x 轴上的定点（－2，0）.
（2）将 x ＝0代入 y ＝－ x ＋3，得 y ＝3.
所以点 B 的坐标为（0，3）.
令 y ＝－ x ＋3＝0，解得 x ＝6.
所以点 A 的坐标为（6，0）.
如图，设点 Q 的坐标为（ n ，6）.
①当 QB ＝ QA 时，n2＋（6－3）2＝（6－ n ）2＋（6－0）2，
解得 n ＝ .所以点 Q 的坐标为 ；
②当 BQ ＝ BA 时， n2＋（6－3）2＝（6－0）2＋（3－0）2，
解得 n ＝6或 n ＝－6.
所以点 Q 的坐标为（6，6）或（－6，6）.
将（－6，6）代入 y ＝－ x ＋3，得
y ＝－ ×（－6）＋3＝6.
所以点（－6，6）在直线 AB 上，此时点 A ， B ， Q 不能构成三
角形.
所以点 Q 的坐标为（6，6）.
综上所述，点 Q 的坐标为 或（6，6）.
12. （选做）如图，点 A （8，6）在一个正比例函数的图象上，
点 B 的坐标为（16，0），连接 AB ，点 C 是线段 AB 的中点.点 P
在线段 OB 上以每秒2个单位长度的速度由点 O 向点 B 运动，点
Q 在射线 OA 上由点 O 向点 A 运动， P ， Q 两点同时运动，同时
停止.设运动时间为 t s.
（1）求该正比例函数的表达式.
（2）连接 CP ， PQ . 在点 P ， Q 运动的过程中，△ OPQ 与△
BPC 能不能全等？如果能，求出点 Q 的运动速度；如果不能，
请说明理由.
解：（1）设正比例函数的表达式为 y ＝ kx （ k ≠0）.
把 A （8，6）代入，得
6＝8 k ，解得 k ＝ .
故该正比例函数的表达式为 y ＝ x .
（2）能全等.理由如下：
因为 A （8，6）， B （16，0），
所以点 A 在 OB 的垂直平分线上.
所以 AO ＝ AB .
所以 AB ＝ AO ＝ ＝10，∠ QOP ＝∠ CBP .
因为点 C 是线段 AB 的中点，所以 BC ＝5.
若△ OPQ 与△ BPC 全等，则有以下两种情况：
①当 OP ＝ BC ＝5， OQ ＝ BP 时，
由 OP ＝5，得2 t ＝5.解得 t ＝ .
因为 OP ＝5，
所以 OQ ＝ BP ＝16－5＝11，
所以 vQ ＝11，
解得 vQ ＝ .
所以点 Q 每秒运动 个单位长度；
②当 OQ ＝ BC ＝5， OP ＝ PB 时，
由 OP ＝ PB ＝ OB ＝8，得2 t ＝8，解得 t ＝4.
因为 OQ ＝5，所以4 vQ ＝5，解得 vQ ＝ .
所以点 Q 每秒运动 个单位长度.
综上所述，当点 Q 每秒运动 或 个单位长度时，△ OPQ 与△
BPC 全等.
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