2024年高考数学考前回归教材材料4 学案
文档属性
| 名称 | 2024年高考数学考前回归教材材料4 学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-05 14:17:43 | ||
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文档简介
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模块二: 不等式的性质及基本不等式
1、不等关系与不等式
1) 在客观世界中, 量与量之间的不等关系是普遍存在的, 用数学 们之间的不等关系. 含有这些不等号的式子叫做不等式.
2) 用“<” 或“>” 连接的不等式叫严格不等式,用“ ” 或 “ ” 连 接的不等式叫非严格不等式.
3) 常见的文字语言转化为符号语言的对应关系:
文字 大于,高于, 小于,低于, 大于或等于， 小于或等于，
语言 超过 少于 至少,不低于 至多，不超过
符号 语言 > <
2、实数大小比较的依据
关于实数 大小的比较,有以下基本事实:
如果 是正数,那么 ; 如果 等于 0,那么 ; 如果 是负数, 那么 . 反过来也对.
这个基本事实可以表示为
从上述基本事实可知, 要比较两个实数的大小, 可以转化为比较它们的差与 0 的大小.
3、等式的性质
性质 1 如果 ,那么 ;
性质 2 如果 ,那么 ;
性质 3 如果 ,那么 ;
性质 4 如果 ,那么 ;
性质 5 如果 ,那么 .
4、不等式的性质
名称 性质内容 注意
性质 1 对称性 可逆
性质 2 传递性 同向
性质 3 可加性 可逆
移项法则 可逆
性质 4 可乘性 - 的符号
○ 温馨提示
性质 4 不可逆
名称 性质内容
性质 5 同向可加性 同向
性质 6 同向同正可乘性 同向同正
性质 7 可乘方性 同正
1. 倒数法则
(1)如果 ,那么 ;
(2)如果 ,那么 .
2、基本不等式
(1) 重要不等式:
对任意实数 ,都有 ,当且仅当 时,等号成立.
证明:
(2) 基本不等式
如果 ,则 ,当且仅当 是,等号成立.
其中 叫做正数 的算术平均数, 叫做正数 的几何平均数.
基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究
在图 2.2-1 中, 是圆的直径,点 是 上一点,
图 2.2-1
. 过点 作垂直于 的弦 ,连接 , . 你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
(3) 基本不等式与重要不等式的区别与联系
用 代替 ,
1) 基本不等式可由重要不等式通过代换推导出来. 用 代替 .
2) 成立的条件是 ,而 成立的条件是 ,其中 不仅可以是实数,也可以是代数式. 使用以 上两种不等式时, 要明确每个不等式成立的前提.(4) 基本不等式变形
1) . (基本不等式链)
○ 基本不等式链的几何意义
若 ,
则 由 易
求),由图形易知 .
2) ,即 .
3) . 调和平均数 几何平均数 平方平均数.
当且仅当 时,以上各式中等号成立.
(5) 最值定理
已知 都是正数, .
1. 如果积 等于定值 ,那么当 时,和 有最小值 .
2. 如果和 等于定值 ,那么当 时,积 有最大值 .
最值定理简记：积定和最小, 和定积最大.
(6) 基本不等式拓展
1) 三元基本不等式
当且仅当 时,等号成立.
2) 元基本不等式
均为正实数 ,
当且仅当 时,等号成立.
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版必修一 P43
10. 已知 克糖水中含有 克糖 ,再添加 克糖 (假设全部溶解),糖水变 甜了. 请将这一事实表示为一个不等式, 并证明这个不等式成立.
11. 已知 ,求证 .
12. 火车站有某公司待运的甲种货物 ,乙种货物 . 现计划用 两种型号的货厢共 50 节运送这批货物. 已知 甲种货物和 乙种货物可装满一节 型货厢, 甲种货物和 乙种货物可装满一节 型货厢,据此安排 两种货厢的节数,共有几种方案 若每节 型货厢的运费是 0.5 万元, 每节 B 型货厢的运费是 0.8 万元, 哪种方案的运费较少
新人教 A 版必修一 P49
7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 黄金,售货员先将 的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡; 再将 的砝码放在天平 右盘中, 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡; 最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认 为顾客购得的黄金是小于 ,等于 ,还是大于 为什么
8. 设矩形 的周长为 ,把 沿 向 折叠, 折过去后 交 于点 . 设 ,求 的最大面积及相应 的值.
新人教 A 版必修一 P58
5. 若 ,且 ,求 的取值范围. 新人教 B 版必修一 P60
求方程 的解集.
(2) 已知 求 的值.
(3) 已知关于 的方程 的两根为 与 ,若 ,求实数 的值.
(4) 求关于 的方程 的解集,其中 是常数.
(5) 求关于 的方程 的解集,其中 是常数.
新人教 B 版必修一 P80
(1) 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值时 的值.
(2) 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值时 的值.
(3) 已知 都是正数,求证: .
(4) 用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形莱地（墙的长大于 ),矩形 的长、宽各为多少时, 莱地的面积最大 并求出这个最大值.
新人教 B 版必修一 P81
(1) 已知 都是正实数,求证: .
(2) 已知使不等式 成立的任意一个 ,都满足不等式 , 求实数 的取值范围.新人教 B 版必修一 P81
(3) 已知 ,求 的最小值,以及 取得最小值时 的值.
(4) 设矩形 (其中 ) 的周长为 24,如图所示,把它沿对角线 对折后, 交 于点 . 设 ,求 的最大面积.
(第 4 题)
(5) 已知 都是正数,且 ,求 的最小值.
(3) 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线,周长是 . 回答下面的问题:
(1) 当封闭曲线为平行四边形时,用直径为 的圆形纸片是否能完全覆盖这 个平行四边形 请说明理由.
(2) 求证: 当封闭曲线是四边形时, 正方形的面积最大. 新人教 B 版必修一 P84
9. (1) 比较 与 1 的大小,并证明;
(2) 已知 都是正实数,且 ,试比较 与 的大小,并 证明.
新人教 B 版必修一 P85
6. 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值时 的值.
7. 已知点 是以 为直径的圆上任意一点,求 的最大值. 新人教 B 版必修一 P86
14. 有一支队伍长 ,以速率 匀速前进. 排尾的传令兵因传达命令赶 赴排头, 到达排头后立即返回, 往返速率不变. 回答下列问题:
(1) 如果传令兵行进的速率为整个队伍行进速率的 2 倍, 求传令兵回到排尾时 所走的路程;
(2) 如果传令兵回到排尾时,全队正好前进了 ,求传令兵行走的路程.新人教 B 版必修一 P86
1. 已知 ,求证: .
2. 求证: 是 的充要条件.
3. 某电话号码可以看成一个八位数, 将前四位数组成的数与后四位数组成的数 相加得 14741, 将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 59453, 求此电话 号码对应的八位数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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模块二: 不等式的性质及基本不等式
1、不等关系与不等式
1) 在客观世界中, 量与量之间的不等关系是普遍存在的, 用数学 们之间的不等关系. 含有这些不等号的式子叫做不等式.
2) 用“<” 或“>” 连接的不等式叫严格不等式,用“ ” 或 “ ” 连 接的不等式叫非严格不等式.
3) 常见的文字语言转化为符号语言的对应关系:
文字 大于,高于, 小于,低于, 大于或等于， 小于或等于，
语言 超过 少于 至少,不低于 至多，不超过
符号 语言 > <
2、实数大小比较的依据
关于实数 大小的比较,有以下基本事实:
如果 是正数,那么 ; 如果 等于 0,那么 ; 如果 是负数, 那么 . 反过来也对.
这个基本事实可以表示为
从上述基本事实可知, 要比较两个实数的大小, 可以转化为比较它们的差与 0 的大小.
3、等式的性质
性质 1 如果 ,那么 ;
性质 2 如果 ,那么 ;
性质 3 如果 ,那么 ;
性质 4 如果 ,那么 ;
性质 5 如果 ,那么 .
4、不等式的性质
名称 性质内容 注意
性质 1 对称性 可逆
性质 2 传递性 同向
性质 3 可加性 可逆
移项法则 可逆
性质 4 可乘性 - 的符号
○ 温馨提示
性质 4 不可逆
名称 性质内容
性质 5 同向可加性 同向
性质 6 同向同正可乘性 同向同正
性质 7 可乘方性 同正
1. 倒数法则
(1)如果 ,那么 ;
(2)如果 ,那么 .
2、基本不等式
(1) 重要不等式:
对任意实数 ,都有 ,当且仅当 时,等号成立.
证明:
(2) 基本不等式
如果 ,则 ,当且仅当 是,等号成立.
其中 叫做正数 的算术平均数, 叫做正数 的几何平均数.
基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究
在图 2.2-1 中, 是圆的直径,点 是 上一点,
图 2.2-1
. 过点 作垂直于 的弦 ,连接 , . 你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
(3) 基本不等式与重要不等式的区别与联系
用 代替 ,
1) 基本不等式可由重要不等式通过代换推导出来. 用 代替 .
2) 成立的条件是 ,而 成立的条件是 ,其中 不仅可以是实数,也可以是代数式. 使用以 上两种不等式时, 要明确每个不等式成立的前提.(4) 基本不等式变形
1) . (基本不等式链)
○ 基本不等式链的几何意义
若 ,
则 由 易
求),由图形易知 .
2) ,即 .
3) . 调和平均数 几何平均数 平方平均数.
当且仅当 时,以上各式中等号成立.
(5) 最值定理
已知 都是正数, .
1. 如果积 等于定值 ,那么当 时,和 有最小值 .
2. 如果和 等于定值 ,那么当 时,积 有最大值 .
最值定理简记：积定和最小, 和定积最大.
(6) 基本不等式拓展
1) 三元基本不等式
当且仅当 时,等号成立.
2) 元基本不等式
均为正实数 ,
当且仅当 时,等号成立.
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版必修一 P43
10. 已知 克糖水中含有 克糖 ,再添加 克糖 (假设全部溶解),糖水变 甜了. 请将这一事实表示为一个不等式, 并证明这个不等式成立.
11. 已知 ,求证 .
12. 火车站有某公司待运的甲种货物 ,乙种货物 . 现计划用 两种型号的货厢共 50 节运送这批货物. 已知 甲种货物和 乙种货物可装满一节 型货厢, 甲种货物和 乙种货物可装满一节 型货厢,据此安排 两种货厢的节数,共有几种方案 若每节 型货厢的运费是 0.5 万元, 每节 B 型货厢的运费是 0.8 万元, 哪种方案的运费较少
新人教 A 版必修一 P49
7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 黄金,售货员先将 的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡; 再将 的砝码放在天平 右盘中, 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡; 最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认 为顾客购得的黄金是小于 ,等于 ,还是大于 为什么
8. 设矩形 的周长为 ,把 沿 向 折叠, 折过去后 交 于点 . 设 ,求 的最大面积及相应 的值.
新人教 A 版必修一 P58
5. 若 ,且 ,求 的取值范围. 新人教 B 版必修一 P60
求方程 的解集.
(2) 已知 求 的值.
(3) 已知关于 的方程 的两根为 与 ,若 ,求实数 的值.
(4) 求关于 的方程 的解集,其中 是常数.
(5) 求关于 的方程 的解集,其中 是常数.
新人教 B 版必修一 P80
(1) 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值时 的值.
(2) 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值时 的值.
(3) 已知 都是正数,求证: .
(4) 用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形莱地（墙的长大于 ),矩形 的长、宽各为多少时, 莱地的面积最大 并求出这个最大值.
新人教 B 版必修一 P81
(1) 已知 都是正实数,求证: .
(2) 已知使不等式 成立的任意一个 ,都满足不等式 , 求实数 的取值范围.新人教 B 版必修一 P81
(3) 已知 ,求 的最小值,以及 取得最小值时 的值.
(4) 设矩形 (其中 ) 的周长为 24,如图所示,把它沿对角线 对折后, 交 于点 . 设 ,求 的最大面积.
(第 4 题)
(5) 已知 都是正数,且 ,求 的最小值.
(3) 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线,周长是 . 回答下面的问题:
(1) 当封闭曲线为平行四边形时,用直径为 的圆形纸片是否能完全覆盖这 个平行四边形 请说明理由.
(2) 求证: 当封闭曲线是四边形时, 正方形的面积最大. 新人教 B 版必修一 P84
9. (1) 比较 与 1 的大小,并证明;
(2) 已知 都是正实数,且 ,试比较 与 的大小,并 证明.
新人教 B 版必修一 P85
6. 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值时 的值.
7. 已知点 是以 为直径的圆上任意一点,求 的最大值. 新人教 B 版必修一 P86
14. 有一支队伍长 ,以速率 匀速前进. 排尾的传令兵因传达命令赶 赴排头, 到达排头后立即返回, 往返速率不变. 回答下列问题:
(1) 如果传令兵行进的速率为整个队伍行进速率的 2 倍, 求传令兵回到排尾时 所走的路程;
(2) 如果传令兵回到排尾时,全队正好前进了 ,求传令兵行走的路程.新人教 B 版必修一 P86
1. 已知 ,求证: .
2. 求证: 是 的充要条件.
3. 某电话号码可以看成一个八位数, 将前四位数组成的数与后四位数组成的数 相加得 14741, 将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 59453, 求此电话 号码对应的八位数.
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