第14章 全等三角形 综合素质评价(含答案) 沪科版数学八年级上册

第14章综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．在下列各组图形中，是全等形的是( )
2．【2024·阜阳太和中学月考】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A．53° B．70° C．60° D．57°
3．下列条件中，不能确定△ABC的形状和大小的是(　　)
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，AC＝4，∠B＝45°
C．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° D．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°
4．【2024·淮南期中】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连接OC，可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线，则△OMC≌△ONC的理由是( )
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．【母题：教材P112习题T6】如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是带哪块去？( )
A．① B．② C．③ D．①和②
6．【2023·铜陵铜官区期末】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿BC方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移的距离为4，则阴影部分的面积为(　　)
A．18 B．24
C．26 D．32
　　　　　　　
7．【母题：教材P114复习题T5】如图，AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD.若AB＝CD，CE＝8，BF＝6，AD＝10, 则EF的长为(　　)
A．3 B． C．4 D．
8．【2024·宿州期中】如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标是( )
A．(－，1) B．(－1，)
C．(－，－1) D．(－，1)
9．如图，在由小正方形组成的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，最多能再画出( )个以点C为顶点的不同的格点三角形与△ABC全等．
A．8 B．9 C．10 D．11
10．【2024·北京丰台区月考】如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS，下面的结论：①
AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是______________．
12．如图，已知∠ABC＝∠DCB，只需添加一个条件________________就可以使△ABC≌ △DCB.
13．【2024·芜湖无为市期中】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子
(BC＝EF)，且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B＋∠F＝________°.
14．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝5 cm，点P从点A出发，沿A→B方向以2 cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s.
(1)AP的长为________cm；(用含t的代数式表示)
(2)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t＝________s.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．【2023·合肥四十八中期末改编】如图，在所给方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)，请按要求将图甲中的正方形ABCD和图乙中的平行四边形ABCD分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
16．【2024·芜湖弋江区期中】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.请写出线段AF与线段DE之间的关系，并说明理由．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．【2024·合肥五十中月考改编】如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.若AB＝6 cm，BD＝2 cm，求DE的长．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，
BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：AB＝BC＋AD.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．阅读下列材料，并完成任务．
筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质，也可以作为图形的判定方法．也就是说，若四边形ABCD是一个筝形，DA＝DC，则BA＝BC；若在四边形ABCD中，DA＝DC，
BA＝BC，则四边形ABCD是筝形．
如图，四边形ABCD是一个筝形，DA＝DC，BA＝BC.对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为E，F，求证：四边形BEOF是筝形．
20．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.
(1)求证：△ABD≌△AED；
(2)若AB＝9，△CDE周长为15，求△ABC的周长．
六、(本题满分12分)
21．【2024·六安裕安中学月考】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，AB＝AF.
(1)求证：∠DAC＝∠FAB；
(2)若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．
七、(本题满分12分)
22．【2023·合肥实验学校月考】如图，在平面直角坐标系中，AD⊥BC于点D，交y轴于点H，直线BC的表达式为y＝－2x＋4，点H的坐标为(0，2)．
(1)求OB的长；
(2)求证：△AOH≌△COB；
(3)求点D的坐标．
八、(本题满分14分)
23．八年级数学兴趣小组进行了探究活动，请你和他们一起探究吧！
【发现】
(1)如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，请你写出图中的全等三角形：____________________；
【探究】
(2)如图②，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是____________；
【拓展】
(3)如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.若EF＝4，EC＝3，求线段BF的长；
(4)如图④，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝AB，求证：AQ＝2AD.
答案
一、1．B　2．D　3．B　4．A　5．C　6．C　7．C　8．A　
9．B　
10．A　【点拨】∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°.
又∵AP＝AP，PR＝PS，
∴Rt△RAP≌Rt△SAP(HL)．∴AS＝AR，故①正确；
由Rt△RAP≌Rt△SAP得∠RAP＝∠SAP.
又∵∠CAP＝∠APQ，∴∠RAP＝∠APQ.
∴QP∥AR，故②正确；
∵△BRP和△CSP中，仅一组对应边相等，一组对应角相等，
∴现有条件不能够证明△BRP≌△CSP，故③错误．
二、11 ．三角形具有稳定性
12．∠A＝∠D(答案不唯一)
13．90　
14．(1)2t　(2)　【点拨】(1)点P从点A出发，沿A→B方向以2 cm/s的速度运动，∴AP的长为2t cm.
(2)∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)．∴AB＝ED＝5 cm，∠A＝∠E.
易知DQ＝t cm，∴EQ＝(5－t)cm.
当线段PQ经过点C时，∠ACP＝∠ECQ.
又∵∠A＝∠E，AC＝EC，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)．∴AP＝EQ.
∴2t＝5－t，解得t＝.
三、15．【解】如图所示(答案不唯一)．
16．【解】AF∥DE且AF＝DE.
理由：∵AB∥CD，BE＝CF，
∴∠B＝∠C，BE－EF＝CF－EF，即 BF＝CE.
又∵AB＝DC，
∴△ABF≌△DCE(SAS)．
∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.
又∵∠AFB＋∠AFE＝∠DEC＋∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF.∴AF∥DE.
点易错：两条线段的关系包含数量关系和位置关系．
四、17．【解】∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B.
又∵CD＝AB，∠DCE＝∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA)．∴DE＝BC.
又∵CD＝AB，BC＝CD＋BD，
∴DE＝AB＋BD＝8 cm.
18．【证明】∵E为CD的中点，AD∥BC，
∴DE＝EC，∠D＝∠ECF.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴AD＝CF，AE＝EF.
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°.
又∵AE＝FE，BE＝BE，
∴△AEB≌△FEB(SAS)．
∴AB＝BF.
∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.
五、19．【证明】∵DA＝DC，BA＝BC，BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB(SSS)．
∴∠DBA＝∠DBC.
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°.
又∵∠OBE＝∠OBF，BO＝BO，
∴△OEB≌△OFB(AAS)．
∴OE＝OF，BE＝BF.
∴四边形BEOF是筝形．
20．(1)【证明】∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD.
又∵AB＝AE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED(SAS)．
(2)【解】由(1)知△ABD≌△AED，∴DE＝BD.
∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝BD＋CD＋CE＝BC＋CE＝15.
∵AE＝AB＝9，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB＋AE＋CE＋BC＝9＋9＋15＝33.
六、21．(1)【证明】∵AF⊥DE，
∴∠DFA＝90°＝∠B.
又∵AD＝AC，AF＝AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)．
∴∠DAF＝∠CAB.
∴∠DAF＋∠FAC＝∠FAC＋∠CAB，即∠DAC＝∠FAB.
(2)【解】过点B作BG⊥AC于点G，则∠BGA＝∠BGC＝90°.
又∵BG＝BG，AB＝CB，∴Rt△BGA≌Rt△BGC(HL)．
∴∠BAC＝∠BCA.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°.
由(1)知Rt△ADF≌Rt△ACB，
∴∠ADF＝∠ACB＝45°，∠DAF＝∠CAB＝45°.
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠ADF＋∠CDE＝65°.
过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHD＝∠AHC＝90°.
又∵AD＝AC，AH＝AH，
∴Rt△AHD≌Rt△AHC(HL)．
∴∠ACD＝∠ADC＝65°.
∴∠CAD＝50°.
∴∠CAF＝∠CAD－∠DAF＝5°.
七、22．(1)【解】在y＝－2x＋4中，令y＝0，
则－2x＋4＝0，解得x＝2，
∴B(2，0)．∴OB＝2.
(2)【证明】∵H(0，2)，∴OH＝2.∴OB＝OH.
∵AD⊥BC，
∴∠HAO＋∠ABC＝90°.
∵∠COB＝90°，
∴∠BCO＋∠ABC＝90°.
∴∠HAO＝∠BCO.
又∵∠AOH＝∠COB＝90°，
∴△AOH≌△COB.
(3)【解】易知C(0，4)，∴OC＝4.
由(2)知△AOH≌△COB，∴OA＝OC＝4.∴A(－4，0)．
设直线AH的表达式为y＝kx＋b，
把点A(－4，0)，H(0，2)的坐标分别代入，
得解得
∴直线AH的表达式为y＝x＋2，
联立解得
∴D.
八、23．(1)△ADC≌△EDB
(2)1(3)【解】延长AD至点M，使DM＝AD，连接BM.
∵AE＝EF，EF＝4，EC＝3，
∴AC＝AE＋EC＝EF＋EC＝4＋3＝7.
∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD.
在△ADC和△MDB中，
∴△ADC≌△MDB(SAS)．
∴BM＝AC＝7，∠CAD＝∠M.
过点E作EG⊥AF于点G，则∠EGA＝∠EGF＝90°.
在Rt△EGA和Rt△EGF中，
∴Rt△EGA≌Rt△EGF.
∴∠EAG＝∠EFG.
又∵∠M＝∠CAD，∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠BFM.
过点B作BH⊥MF于点H，则∠BHM＝∠BHF＝90°.
在△BHM和△BHF中，
∴△BHM≌△BHF.
∴BF＝BM＝7.
(4)【证明】延长AD至点N，使ND＝AD，连接BN，
则AN＝2AD.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
又∵ND＝AD，∠BDN＝∠CDA，
∴△BND≌△CAD(SAS)．
∴BN＝CA，∠NBD＝∠ACB.
又∵∠BAC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠NBD.
∴∠ACQ＝∠BAC＋∠ABC＝∠NBD＋∠ABC＝∠NBA.
又∵CA＝BN，QC＝AB，
∴△ACQ≌△NBA(SAS)．
∴AQ＝AN＝2AD，即AQ＝2AD.