第15章综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.【2024·长沙期中】下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
2.【母题:教材P133练习T1】有一个内角是36°的等腰三角形,其他两个内角的度数分别是( )
A.36°,108°
B.72°,72°
C.36°,108°或72°,72°
D.36°,144°
3.如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,连接AA′,BB′,CC′,其中BB′分别交AC,A′C′于点D,D′,下列结论:①AA′∥BB′;②∠ADB=∠A′D′B′;③直线l垂直平分 AA′;④直线AB与直线A′B′的交点不一定在直线l上.其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC 边上的高,若BD=5,则CD等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.【2024·东营校级期末】如图,在4×4的正方形网格中有两个格点A,B,连接AB,若在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰三角形,则满足条件的格点C的个数是( )
A.5 B.6 C.8 D.9
6.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,交AB于点E,连接EC,若BC=12 cm,AB=18 cm,则△EBC的周长为( )
A.24 cm B.28 cm C.30 cm D.36 cm
7.【2024·东莞市大岭山中学期中】下列条件不能得到等边三角形的是( )
A.有两个内角是60°的三角形 B.有一个角是60°的等腰三角形
C.腰和底相等的等腰三角形 D.有两个角相等的等腰三角形
8.【2024·淮南田家庵区月考】如图,△ABC的面积为10 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积为( )
A.3 cm2 B.4.5 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2
9.如图,在△ABC中,点M,N为AC边上的两点,AM=NM,BM⊥AC,
ND⊥BC于点D,且NM=ND,若∠A=α,则∠C=( )
A.α B.90°-α C.120°-α D.2α-90°
10.如图,在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于点F,交AB于点G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S△PAC?S△PAB=AC?AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.在平面直角坐标系中,点A和B关于x轴对称,若点A到x轴的距离是3 cm,则点B到x轴的距离是________cm.
12.【母题:教材P138练习T3】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,BD=2,则AD的长度是________.
13.如图,∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F,过F作DF∥BC交AB于点D,交AC于点E,若DB=18,DE=8,则CE的长为________.
14.【2024·淮南月考】△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图①,若AD平分∠BAC,AB=5,AC=3,则=________;
(2)如图②,当AD平分∠BAC时,延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,则S△ABC=________.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,已知OA和OB两条公路,以及C,D两个村庄,建立一个车站P,使车站到两个村庄距离相等(即PC=PD),且P到OA,OB两条公路的距离相等,请作出车站P的位置.
16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°.
(1)作出AB边的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E,连接BD;
(2)下列结论正确的是____________(填序号).
①BD平分∠ABC;②AD=BC;③△BDC的周长等于AB+BC的值;④AD=CD.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.【2024·铜陵期中】如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,
AB=10,△ABD的面积为15,则AD是∠BAC的平分线吗?请说明理由.
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC上的一点,AD=AB.求证:∠BAD=2∠C.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,△ABC中,∠A=96°,BC边的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,连接BD,若∠ABD∶∠DBC=3∶2,求∠C的度数.
20.【2023·淮南大通区期末】如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(-2,-2),C(2,-1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标;
(3)求△ABC的面积.
六、(本题满分12分)
21.【2024·芜湖期中】如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB,AC的垂直平分线交于点P,两垂直平分线分别交△ABC的边于点G,D和点E,H,连接AD,AE,AP.
(1)求∠DAE的度数;
(2)求证:AP平分∠DAE.
七、(本题满分12分)
22.探究与发现:如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在底边BC上,AE=AD,连接DE.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC边上(点B,C除外)运动时,试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系;
(3)深入探究:如图②,若∠BAC≠90°,探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
八、(本题满分14分)
23.如图,∠ABC=∠ADC=90°,AC与BD相交于点E,∠ABD=∠ADB.
(1)求证:AC垂直平分BD;
(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F,AB=AF;
①求证:△BCD是等边三角形;
②如果G,H分别是线段AC,线段CD上的动点,当GH+AH的值最小时,请确定点H的位置,思考此时GH与CH有怎样的数量关系,并说明理由.
答案
一、1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.D
10.D 【点拨】∵AP平分∠CAB,BP平分∠CBE,
∴∠PAB=∠CAB,∠PBE=∠CBE.
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,∠PBE=∠PAB+∠APB,
∴(∠CAB+∠ACB)=∠PAB+∠APB.
∴∠ACB=∠APB.
∴∠ACB=2∠APB,故①正确;
如图,过点P作PM⊥AE于M,PN⊥AD于点N,PS⊥BC于点S,则PM=PN=PS.
∴S△PAC∶S△PAB= ∶=AC ∶AB,CP平分∠BCD,故②正确;
∵BE=BC,BP平分∠CBE,
∴BP垂直平分CE,故③正确;
∵PG∥AD,
∴∠FPC=∠DCP.
∵CP平分∠DCB,
∴∠DCP=∠PCF.
∴∠PCF=∠CPF,故④正确.
二、11.3 12.6 13.10
14.(1) (2)9 【点拨】(1)如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴DE=DF.
∵AB=5,AC=3,
∴===.
(2)∵AD=DE,∴S△ABD=S△BDE=6.
∵AC=2,AB=4,AD平分∠BAC,
∴S△ABD ∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1.
∴S△ACD=3.∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=6+3=9.
三、15.【解】如图.
16.【解】(1)如图.
(2)①②③
四、17.【解】AD是∠BAC的平分线.理由如下:
∵AB=10,△ABD的面积为15,DE⊥AB,
∴DE==3.∴DE=CD.
∵∠C=90°,DE⊥AB,∴AD是∠BAC的平分线.
18.【证明】如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
则∠AHB=90°.
∴∠BAH+∠B=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠C=90°.
∴∠BAH=∠C.
∵AD=AB,AH⊥BD,
∴∠BAD=2∠BAH.
∴∠BAD=2∠C.
五、19.【解】∵DE垂直平分BC,
∴DC=BD.∴∠C=∠DBC.
∵∠ABD ∶∠DBC=3 ∶2,
∴设∠ABD=3x,∠DBC=2x.
∴∠C=2x.
∴96°+3x+2x+2x=180°,解得x=12°.
∴∠C=24°.
20.【解】(1)△A1B1C1如图所示.
(2)A1(-1,3),B1(2,-2),C1(-2,-1).
(3)△ABC的面积=4×5-×4×1-×4×1-×3×5=20-2-2-7.5=8.5.
六、21.(1)【解】∵∠BAC=120°,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=60°.
由题意得AD=BD,AE=CE,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE.
∴∠BAD+∠CAE=60°.
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=60°.
(2)【证明】连接PB,PC,则PB=PA,PA=PC,
∴PB=PC.∴∠PBD=∠PCE.
∵PA=PB,DA=DB,
∴∠PAB=∠PBA,∠DAB=∠DBA.
∴∠PAD=∠PBD.
同理得∠PAE=∠PCE,
∴∠PAE=∠PAD,
即AP平分∠DAE.
七、22.【解】(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=45°.
∵∠BAD=60°,∴∠DAE=30°.
∵AD=AE,∴∠AED=75°.
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°.
(2)设∠BAD=x,则∠CAD=90°-x.
∵AE=AD,∴∠AED=45°+x.
∴∠CDE=∠AED-∠C=x.
∴∠BAD=2∠CDE.
(3)设∠CDE=a,∠C=b,则∠AED=b+a.
∵AB=AC,∴∠B=∠C=b.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=b+a.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
∴b+∠BAD=b+a+a.
∴∠BAD=2a.
∴∠BAD=2∠CDE.
八、23.(1)【证明】∵∠ABD=∠ADB,∠ABC=∠ADC,
∴AB=AD,∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB.
∴∠CBE=∠CDE.
∴CB=CD.
∴AC垂直平分BD.
(2)①【证明】如图①,
设∠F=α.
∵AB=AF,
∴∠ABF=∠F=α.
∵∠BAC是△ABF的外角,
∴∠BAC=∠F+∠ABF=2α.
由(1)知AC⊥BD,CB=CD,
∴∠BCE=∠DCE.
∵BF∥CD,∴∠F=∠DCE.
∴∠BCE=∠F=α.
∵∠ABC=90°,
∴∠BCE+∠BAC=90°.
∴α+2α=90°.∴α=30°.
∴∠BCD=30°+30°=60°.
又∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形.
②【解】当GH+AH的值最小时,CH=2GH.
理由:如图②,作点A关于CD的对称点A′,过点A′作A′G⊥AC于点G,交CD于点H,则AH=A′H,
∴GH+AH=GH+A′H=A′G.
易知此时GH+AH的值最小.
由①知∠DCE=30°,
∵A′G⊥AC,
∴∠CGH=90°.
∴CH=2GH.
∴当GH+AH的值最小时,CH=2GH.