【北师大版八上同步练习】 1.1 探索勾股定理（含答案）

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【北师大版七上同步练习】 1.1探索勾股定理
一、单选题
1．一个直角三角形的两条直角边分别是和，斜边长是（　　）
A． B． C． D．
2．在直角三角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
4．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B． C． D．6
5．如图，矩形是由4块矩形拼接而成，矩形是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成．则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．如图，学校要对一块两直角边长分别为和的直角三角形花圃进行扩建，计划将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以为直角边的直角三角形，则符合要求的方案共有　 　种．
7．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为　 　．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为　 　。
三、计算题
9．如图，是的高，．求的长和的面积．
10．已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足．
（1）求a；
（2）先化简再求值：．
四、解答题
11．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．
（1）已知，求b；
（2）已知，求c；
（3）已知，求a．
12．在中，，点D在AB上，AD的垂直平分线交AC于点E，BD的垂直平分线交BC于点F，连接DE，DE．
（1）求证：；
（2）若，求DF的长．
13．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
（1）AC的长为　 　．
（2）①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为 ▲ ；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为 ▲ ；
（3）当是直角三角形时，求t的值；
（4）在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值　 　．
五、综合题
14．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
（1）求DC的长；
（2）求AB的长.
15．如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，求的长．
16．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的长．
六、实践探究题
17．【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，，垂足为点C，，点P直线MN上的任意一点．求证：．
（1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）【定理应用】如图②，作图①中的的边AP的垂直平分线DE，交PA，PC于点D，E，连结AE．若，，求的周长；
（3）在（2）的条件下，直接写出EP的长为　 　．
18．解答
（1）【问题探究】
如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AC＝AD，∠ABE＝∠ADC，连接EC，BD． 求证：EC＝BD．
（2）【拓展延伸】
①如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝AB，D为AC上一点，连结BD，作BE⊥BD，AE⊥AC，连结DE． 若AC＝2，请直接写出四边形ADBE的面积．
②如图3，四边形ABCD中，AD⊥AC，AC＝AD，∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝1，请直接写出BD长．
19．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知，求的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题.
【解决问题】
（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点.设，则.则线段　 　线段　 　；
（2）在（1）的条件下，已知，求的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；矩形的性质
6．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
7．【答案】
【知识点】勾股定理
8．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
10．【答案】（1）或
（2），
【知识点】勾股定理
11．【答案】（1）8；（2）13；（3）20
【知识点】勾股定理
12．【答案】（1）解：∵点E，F分别在AD，BD的垂直平分线上
∴EA=ED，FB=FD．
∴∠A=∠EDA，∠B=∠FDB．
∵∠A＋∠B=90°，
∴∠EDA＋∠FDB=90°．
∴∠EDF=180°﹣（∠EDA＋∠FDB）=90°．
∴ED⊥DF．
（2）解：连接EF，设DF=BF=x，则CF=8﹣x．
∵AC=6，AE=2，
∴DE=2，CE=4．
∵，
∴．
解得x=．
∴DF=．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
13．【答案】（1）4
（2）①．②
（3）解：当时，点P与点C重合，，
当时，在中，，
在中，，
，
（4）或2.5或4．（的小数1.5625）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
14．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA=90°，
在Rt△BDC中，
，
解得DC=12 ；
（2）解：在Rt△ADC中，
，
，
解得AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25.
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
15．【答案】（1）证明：，
；
（2）解：点是的中点
．
【知识点】勾股定理
16．【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
又
∴，
∵
∴，
∴，
由（1）可得
则是等边三角形，
在中，设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，则，，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴的面积为
（3）解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，则，
如图所示，延长，使得，则是是中位线，，，
∴，
在中，，，
∴
∴
∴，，
则，
∴，
如图所示，过点作，则四边形是矩形，
∴，，
在中，．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
17．【答案】（1）解：∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
（2）解：∵垂直平分AP，
∴.
易得.
在中，，
由勾股定理，得，
∴.
（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
18．【答案】（1）证明：∵AE=AB，AC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，∠ACD=∠ADC，
∵∠ABE=∠ADC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC=BD．
（2）①1
②
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
19．【答案】（1）；
（2）解：如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，
此时，最小，即和最小，
由题意得：，，
则，
即的最小值为：；
（3）解：如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，
则，
，
当A、C、D共线时，最大，即的最大，
且的最大值，
即的最大值为：.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
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