【北师大版八上同步练习】 1.2 一定是直角三角形吗（含答案）

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【北师大版七上同步练习】 1.2一定是直角三角形吗
一、单选题
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．8，9，10 D．13，14，15
2．中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下面四组数据中，能构成直角三角形三条边长的是（　　）
A．6，8，10 B．4，5，6 C．，， D．9，10，11
4．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（　　）
A． B．的面积为10
C． D．点A到直线BC的距离是2
5． 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角
形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、填空题
6．如图 32-7，在网格中， 每个小正方形的边长均为 1 ， 每个小正方形的顶点称为格点． 点 都在格点上， 则
7．如图，，，，点B在点O的北偏东50°方向，则点A在点O的　 　方向．
8．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为　 　.
三、计算题
9．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
10．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
四、解答题
11．如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，求证：∠AFE是直角.
12．如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．
（1）求AC的长．
（2）求图中阴影部分图形的面积．
13．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2 ，CD＝4 ，BC＝8，求四边形ABCD的面积．
五、综合题
14．综合题
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
15．阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m为奇数，则，和是勾股数．方法2：若任取两个正整数m和，则，，是勾股数．
任务：
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的是直角三角形．
（2）学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．
16．定义“点对图形的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形，若图形上所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的可视度．如图1，点对线段的可视度为的度数．
（1）如图2，已知点，，，．连接，，则的度数为点对的可视度．求证：；
（2）如图3，已知四边形为正方形，其中点，．直线与轴交于点，与轴交于点，其中点对正方形的可视度为．求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
六、实践探究题
17．综合与实践：测雕塑
（1） 如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由.
（2） 若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
18．
（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，现将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则　 　．
（2）如图2，在等边内有一点，且，，，如果将绕点逆时针旋转60°得出，求的度数和的长；
（3）如图3，将（2）题中“在等边内有一点”改为“在等腰直角三角形内有一点”，且，，，，求的度数．
19． 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时≌，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　；
（2）基本运用
请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题：
如图，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
6．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
7．【答案】北偏西40°（或西偏北50°）
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理
8．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
9．【答案】四边形ABCD的面积为234平方米．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；几何图形的面积计算-割补法
10．【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
11．【答案】证明：连接AE，
设CE=a，则BC=4a，DF=2a，BE=3a，
由勾股定理可得，
AF2=AD2+DF2=20a2，EF2=FC2+EC2=5a2，AE2=AB2+BE2=25a2，
∴AE2=AF2+EF2，
∴△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
12．【答案】（1）AC＝5
（2）24
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
13．【答案】解：∵ AB＝AD，∠BAD＝90°，AB＝ ，
∴ BD＝ ＝4，
∵ BD2＋CD2＝42＋( )2＝64，BC2＝64，
∴ BD2＋CD2＝BC2，
∴ △BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ × × ＋ × ×4＝4＋8
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
14．【答案】（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质
15．【答案】（1）解：方法一：∵，
，
∴，，
，
∴a，b，c为边长的是直角三角形；
方法二：∵，，，
∴，，，
∴，
∴a，b，c为边长的是直角三角形
（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，
∴直角三角形的三边长为，
∴正方形的边长为：，
正方形的边长为：，
∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，
∴正方形上摆放兰花的盆数为：（盆），
正方形上摆放兰花的盆数为：（盆），
∴总共需要的兰花数量为：（盆），
答：总共需要兰花盆．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
16．【答案】（1）证明：过点作于点，
∵，，，
∴轴，，，，，
∴，，
，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，，令与轴的交点为，则的度数为点对正方形的可视度，即，
∵，，四边形为正方形，
∴，∴，
∴点，关于轴对称，
∴轴垂直平分，
∴，，
∵，∴为等边三角形.，
∴，∴，
∴，
∴点的坐标为，
将点坐标代入中，得，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴点的坐标为
（3）解：存在，点的坐标为或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
17．【答案】（1）解：分别测量AB、BC和AC的长度，
若，则△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即AB⊥BC；
（2）解：
答：蚂蚁爬行的最短路程是cm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平面展开﹣最短路径问题
18．【答案】（1）
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转60°得出，
∴，．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：如图3，将绕点B逆时针旋转90°得到，
与（2）类似：可得：，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；等腰直角三角形
19．【答案】（1）
（2）解：如图，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即．
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转至处，连接，
在中，，，，
，
，
绕点顺时针方向旋转，
如图所示；
，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
、、、四点共线，
在中，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形的综合
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