湘教版初中数学八年级上册1.1分 式 课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
1.1 分 式
第1章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式的概念
分式的值存在、不存在的条件
分式的值为0 的条件
分式的基本性质
分式的约分
知识点
分式的概念
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义：一个整式f 除以一个非零整式g ( g 中含有字母)，所得的商记作 ，把代数式 叫作分式，其中f 是分式的分子，g是分式的分母，g ≠ 0.
知1－讲
感悟新知
分式的“三要素”：
(1)形如 的式子；
(2)f 为整式，g 为非零整式；
(3)分母g 中含有字母.
知1－讲
感悟新知
2. 分式与分数、整式的关系：
(1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性．分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.
(2)分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进行变形后再判断，而必须按照原来的“面目”进行判断.
如： 是分式.
感悟新知
知1－练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
例 1
解题秘方：利用分式的“三要素”判断即可.
特别警示：
由于 变形后为x，因此容易误认为其是整式.
感悟新知
知1－练
方法点拨: 判断一个式子是否是分式的方法：
首先要看式子是否具有 的形式，其次看f，g 是否是整式，最后看分母中是否含有字母. 分式只注重形式而不注重结果，分母中含有字母是判断分式的必要条件.
感悟新知
知1－练
知识点
分式的值存在、不存在的条件
知2－讲
感悟新知
2
1. 分式的值存在(分式有意义)的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为0，即当g ≠ 0 时，分式 才有意义.
知2－讲
感悟新知
2. 分式的值不存在(分式无意义)的条件：
分式的分母为0，即当g=0 时，分式 无意义.
求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0 的条件转化为解方程问题.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
●分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.
●分式的值是否存在，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子是否为0无关.
感悟新知
知2－练
x 满足什么条件时，下列分式的值存在？
例2
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式的值存在.
知2－讲
感悟新知
方法点拨
求分式的值存在时字母的取值范围：
根据“分式的值存在的条件：分式的分母不等于0”求得字母的取值范围.
感悟新知
知2－练
解：(1)当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式 的值存在.
(2)因为不论x 取什么值，都有x2+3>0，
所以x 取任何数，分式 的值都存在.
(3)当(x－2)(x+4) ≠ 0， 即x ≠ 2 且x ≠ －4 时， 分式 的值存在.
因为x2 ≥0，所以x2+3 ＞ 0
警示误区
只能对原分母进行讨论，不能先化简，否则会使取值范围扩大.
感悟新知
知2－练
分式 中的字母满足什么条件时，分式的值不存在？
解题秘方：分母的值等于0 时，分式的值不存在.
例 3
方法点拨
当分式的值不存在时，利用分母等于0的条件构造出方程求解即可.
感悟新知
知2－练
解：要使分式 的值不存在，则分母x2－16=0，
即x2=16，解得x=±4.
所以当x=±4 时，分式 的值不存在.
知识点
分式的值为0 的条件
知3－讲
感悟新知
3
1. 分式的值为0 的条件：
当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0.
即：对于分式 ，当f=0 且g ≠ 0 时， =0.
知3－讲
感悟新知
2. 对于分式 ，常见的特殊分式值的情况讨论：
(1)若 的值为1，则f=g，且g ≠ 0；反过来，若f=g ≠ 0，则 =1.
(2)若 的值为－1，则f=－g，且g ≠ 0；反过来，若f=－g ≠ 0，则 =－1.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
●分式的值是在分式的值存在的前提下才考虑的，所以分式 的值为0的条件：f=0 且g ≠ 0，二者缺一不可.
●对于分式的特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
感悟新知
知3－练
当x 取何值时，下列分式的值为0 ？
解题秘方：分式的值为0 的条件：分子为0，分母不为0.
例4
感悟新知
知3－练
教你一招
求分式的值为0 时字母的值的方法：
(1)解题时可以先求出使分子为0 的字母的值， 再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0 时， 这个值就是所要求的字母的值. 切记使分母为0 的值必须舍去.
(2)若有多个值使分式的值为0， 则这几个值之间用“或”连接.
感悟新知
知3－练
解：(1)由 得x=－2，
所以当x=－2 时，分式 的值为0.
(2)由 得x=2，
所以当x=2 时，分式 的值为0.
(3)由 得x=3，
所以当x=3 时，分式 的值为0.
若ab=0，则a=0 或b=0
知识点
分式的基本性质
知4－讲
感悟新知
4
1. 分式的基本性质：
(1)分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等. 即对于分式 (h ≠ 0).
(2)分式的分子与分母都除以它们的一个公因式，所得分式与原分式相等.
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. g≠0是已知中隐含的条件，h≠0是在解题过程中另外附加的条件a，在运用此性质时，必须重点强调h ≠ 0 这个前提.
2. 应用性质时，要理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘” (或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式.
3. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变分式的形式.
2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下：
知4－讲
感悟新知
感悟新知
知4－练
写出下列等式中未知的分子或分母.
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了怎样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
例 5
感悟新知
知4－练
解法提醒
解决与分式的恒等变形有关的填空题时，一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子或分母发生了怎样的变化，再通过对分母或分子作相同的变形得到未知项.
感悟新知
知4－练
解：(1)中，右边的分子3x 是由左边的分子15x2y 除以5xy 得到的，所以右边的分母可以由左边的分母25xy2 除以5xy得到，因此结果是5y.
(2)中，右边的分母a2b2 是由左边的分母ab2 乘a 得到的，所以右边的分子可以由左边的分子a+2b 乘a 得到，因此结果是a2+2ab.
感悟新知
知4－练
(3)中，右边的分子3 是由左边的分子3x 除以x 得到的，所以右边的分母可以由左边的分母x2－xy 除以x 得到，因此结果是x－y.
(4)中，右边的分母x2－y2 是由左边的分母y－x 乘－x－y得到的，所以右边的分子可以由左边的分子1 乘－x－y 得到，
因此结果是－x－y.
(y－x)(－x－y)
=[－(x－y)]·[－(x+y)]
=(x－y)(x+y)
=x2－y2.
感悟新知
知4－练
答案：(1)5y (2)a2+2ab
(2)a2+2ab
(3)x－y
(4)－x－y
感悟新知
知4－练
不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母不含“－”号.
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身这三处的正负号，同时改变其中两处，分式的值不变.
例6
感悟新知
知4－练
警示误区
当分子、分母是多项式时，应将其看成一个整体，若分子或分母的首项系数是负数，应先提取“－”号并添加括号，注意此时多项式中的每一项都要变号，然后改变分式的符号.
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
把分式 中的m 和n 同时扩大为原来的2 倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的2 倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
解题秘方：将分式 中的m 和n 同时扩大为原来的2倍，然后代入原分式，再利用分式的基本性质变形.
例 7
感悟新知
知4－练
方法点拨
解答此类问题，应先写出变化后的分式，然后运用分式的基本性质化简，再与原分式进行比较即可.
感悟新知
知4－练
解：把分式 中的m 和n 同时扩大为原来的2 倍，
可将分式变为
因此分式的值缩小为原来的
答案：C
感悟新知
知4－练
不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.
解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母同时乘同一个数，使各项系数都化为整数.
例8
感悟新知
知4－练
教你一招
利用分式的基本性质化系数为整数的方法：
若各项系数都是小数，则分子、分母同乘10，100，1 000，…；
若各项系数都是分数，则分子、分母同乘分子和分母中所含分数的分母的最小公倍数；
若各项系数既有小数又有分数，则要先统一成小数或者分数，然后化为整数.
注意将系数化为整数的过程中不要漏项.
感悟新知
知4－练
知识点
分式的约分
知5－讲
感悟新知
5
1. 分式的约分：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
知5－讲
感悟新知
特别解读
1.约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.
2.约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.
3.约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式.
2. 找公因式的方法：
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式.
知5－讲
感悟新知
3. 约分的方法：
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；
(2)若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
知5－讲
感悟新知
4. 最简分式：
分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
知5－讲
感悟新知
感悟新知
知5－练
约分：
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；
例 9
感悟新知
知5－练
解题秘方： (2)中的分子、分母都是多项式，先将分子、分母分解因式，再进行约分.
感悟新知
知5－练
特别提醒
约分时需要注意的问题：
(1)注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式(如互为相反数的式子)；
(2)当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.
感悟新知
知5－练
下列各式中，最简分式有__________ .
解题秘方：根据最简分式的概念识别.
例10
感悟新知
知5－练
知识储备
最简分式是约分后的形式，所以判断最简分式的唯一标准就是分式的分子与分母没有公因式.
感悟新知
知5－练
感悟新知
知5－练
先约分，再求值： ，其中x=2，y=1.
解题秘方：紧扣约分的方法步骤，先将分式化成最简分式，然后代入求值.
例 11
课堂小结
分 式
分 式
分式有意义的条件
分式的值为零的条件
分式的基本性质
约分
最简分式