湘教版初中数学八年级上册2.2命题与证明 课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
2.2 命题与证明
第2章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
定义
命题
真命题和假命题
基本事实和定理
命题的证明与反证法
知识点
定义
知1－讲
感悟新知
1
定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
知1－讲
感悟新知
说明：(1)定义是对一个概念的独有的性质的描述；
(2)定义既可以作为概念的性质，也可以作为概念的判
定方法. 在几何推理中常常作为问题求解的依据；
(3)定义的常见句型是陈述句，定义的一般形式有：“……叫作……”“……称为……”“……是指……”“……是……”等；
(4)定义必须是严密的，语句不能含糊不清、模棱两可.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质区别. 定义的语句必须严密. 定义有两方面的运用，一是确定该事物的性质；二是判定该事
感悟新知
知1－练
下列语句不属于定义的是( )
A. 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离
B. 只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的整式方程是一元一次方程
C. 两直线平行，内错角相等
D. 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
例 1
感悟新知
知1－练
方法点拨
定义是对名词或术语的描述，是为了区分许多名称和术语的含义才给予的明确规定. 判定一个语句是定义的方法：(1)叙述方式是“……叫作……”；(2)对一个名词或术语的意义作出明确的规定.
解题秘方：紧扣定义是对名词或术语的含义进行描述，作出明确规定，进行逐项识别.
感悟新知
知1－练
解：选项A，B，D 分别对两点间的距离、一元一次方程、角的平分线的含义进行描述，属于定义；选项C 是平行线的性质，不属于定义.
答案：C
知识点
命题
知2－讲
感悟新知
2
1. 定义：一般地，对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.
知2－讲
感悟新知
说明：
(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的；
(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句.
知2－讲
感悟新知
2. 命题的结构：命题由条件和结论两部分组成. 条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
特别解读
1. 命题通常写成“如果……，那么……” 的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
2. 有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适当变形， 改写成“如果……，那么……”的形式.
知2－讲
感悟新知
3. 互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
注意：原命题和逆命题是相对的，可以把条件和结论互换之后的两个命题中的任何一个作为原命题，另一个则是它的逆命题.
感悟新知
知2－练
[ 2021·青岛期末] 下列句子中，是命题的是( )
A. 美丽的天空
B. 相等的角是对顶角
C. 作线段AB=CD
D. 你喜欢运动吗
例2
知2－讲
感悟新知
方法点拨
命题只是对事情进行判断，而判断的结果可能是正确的，也可能是错误的. 特别注意：疑问句不是命题.
解题秘方：紧扣命题的定义进行判断.
感悟新知
知2－练
解：选项A 与C 都是描述性语言，没有作出判断，因此都不是命题；选项D 是疑问句，没有作出判断，不是命题；故选B.
答案：B
感悟新知
知2－练
把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
(1)对顶角相等；
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(3)同角或等角的余角相等.
例 3
知2－讲
感悟新知
方法点拨
◆命题改写的原则：不改变命题的原意.
◆命题改写的方法：先弄清命题的条件部分和结论部分，再将其改写为“如果……，那么……”的性质.
解题秘方：紧扣命题的结构形式进行改写.
感悟新知
知2－练
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
(2)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.
(3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等.
感悟新知
知2－练
写出下列命题的逆命题：
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等
例4
知2－讲
感悟新知
方法点拨
若原命题的条件和结论不明确，可以先将其改写为“如果……，那么……”的形式，再写出它的逆命题.
解题秘方：将每个命题的条件和结论互换就可以写出这些命题的逆命题．
感悟新知
知2－练
解：(1)两直线平行，同旁内角互补.
(2)如果两个角相等，那么这两个角是直角.
知识点
真命题和假命题
知3－讲
感悟新知
3
1. 命题的种类：
(1)真命题：正确的命题称为真命题.
(2)假命题：错误的命题称为假命题.
知3－讲
感悟新知
2. 证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得到其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
3. 举反例：要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子
(反例)，它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题. 我们通常把这种方法称为“举反例”.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
原命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题;反之，逆命题是真命题时，它的原命题不一定是真命题.
感悟新知
知3－练
指出下列命题的条件和结论，并判断下列命题的真假.
(1)互为补角的两个角相等；
(2)若a=b，则a+c=b+c.
解题秘方：紧扣真命题和假命题的意义进行判断.
例 5
知3－讲
感悟新知
方法技巧
真假命题的判定：
(1)要判定一个命题是真命题， 常常通过讲道理(推理) 的方式得出其结论成立;
(2)要判定一个命题是假命题, 只要举出一个反例即可.
感悟新知
知3－练
解：(1)条件：两个角互为补角；结论：这两个角相等. 假命题.
(2)条件：a=b；结论：a+c=b+c. 真命题.
感悟新知
知3－练
[中考·山西] 证明“若a>b，则a2>b2 ”是假命题，可
举出反例：_________________________ ．
解题秘方：举反例说明命题是假命题时，在选取反例时要注意：反例一定要满足命题的条件，而不能满足命题的结论.
a=1，b=－1(答案不唯一)
例6
知识点
基本事实和定理
知4－讲
感悟新知
4
1. 概念：
基本事实 少数真命题
定理 经过证明为真的命题
推论 由某定理直接得出的真命题
逆定理 一个定理的逆命题，它被证明是真命题
互逆定理 原定理与逆定理共同称为互逆定理
知4－讲
感悟新知
2. 基本事实和定理的区别与联系：
真假性 来源 作用
基本事实 真命题 实践中总结出来，不需要推理论证 作为判断其他命题真假的原始依据
定理 真命题 通过推理得出，能够被证明 作为判断其他命题真假的依据
知4－讲
感悟新知
特别提醒
◆定理是真命题，但真命题不一定是定理；
◆任何定理都有逆命题，但这个逆命题不一 定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理.
感悟新知
知4－练
下列命题中属于基本事实的是( )
同角的补角相等
B. 邻补角的平分线互相垂直
C. 两点之间线段最短
D. 三角形任意两边的和大于第三边
解题秘方：紧扣基本事实的特征并结合课本知识进行识别.
例 7
知4－讲
感悟新知
方法点拨
基本事实是人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，它不需要证明，但并不是所有真命题都是基本事实.
感悟新知
知4－练
解：基本事实是人们在长期实践中总结出来的，它不需要证明，而其他命题的正确性则需要推理证明.
选项C 中，“两点之间线段最短”就是人们在长期实践中总结出来的；而选项A，B，D 都是利用基本事实或定理证明出来的.因此只有选项C 是基本事实.
答案：C
知识点
命题的证明与反证法
知5－讲
感悟新知
5
1. 命题的证明：数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.
知5－讲
感悟新知
说明：
(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
(2)证明的每一步都必须要有根据.
知5－讲
感悟新知
特别提醒
在反证法的第一步否定结论时， 要注意“ 大于”的反面不是“ 小于”， 而是“小于或等于”.类似地，“小于”的反面是“大于或等于”；“都是”的反面是“不都是”,不可写成“都不是”.
知5－讲
感悟新知
2. 证明与图形有关的命题时的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)根据命题的条件和结论，结合图形写出已知和求证；
(3)通过分析，找出证明的途径，写出证明的过程.
知5－讲
感悟新知
3. 反证法：
注意：反证法是一种间接证明的方法. 当直接证明一个命题为真有困难时，可以用反证法证明.
知5－讲
感悟新知
方法点拨
可能产生的矛盾：① 与已知条件矛盾；②与定义矛盾；③与基本事实矛盾；④与定理或推论矛盾等.
感悟新知
知5－练
如图2.2-1， 已知AC，BD 相交于点O，DF 平分∠ CDO 与AC 相交于点F，BE 平分∠ ABO 与AC 相交于点E，∠ A= ∠ C.
求证：∠ 1= ∠ 2.(写出推理依据)
解题秘方：通过分析命题的条件和结论，找出证明的途径.
例8
知5－讲
感悟新知
方法点拨
证明是从条件出发，经过一步一步推理，最后推出结论的过程. 证明的每一步推理都要有根据，不能“ 想当然”， 这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已学过的定理. 在初学证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已知”“等量代换”等.
感悟新知
知5－练
证明：∵∠ A= ∠ C(已知)，
∴ AB ∥ CD(内错角相等，两直线平行).
∴∠ ABO= ∠ CDO(两直线平行，内错角相等).
又∵ DF 平分∠ CDO，BE 平分∠ ABO(已知)，
∴∠ 1= ∠ CDO，∠ 2= ∠ ABO(角平分线的定义).
∴∠ 1= ∠ 2(等量代换).
感悟新知
知5－练
已知△ ABC，求证：在∠ A，∠ B，∠ C 这三个内角中，至少有两个锐角.
解题秘方：紧扣用反证法证明命题的基本思路，通过否定结论——导出矛盾——肯定结论进行证明.
例 9
方法点拨
在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况.
感悟新知
知5－练
解：假设△ ABC 的三个内角中至多有一个锐角，不妨设0°< ∠ A<90°，则90°≤∠ B<180°，90°≤∠ C<180°.
∴∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180°，与三角形内角和定理相矛盾，∴假设不正确.
∴在∠ A，∠ B，∠ C 这三个内角中，至少有两个锐角.
课堂小结
命题与证明
命题
互逆命题
真假
形式
定理
真命题
条件与结论
证明(推理)
反证法
结论成立