湘教版初中数学八年级上册5.1二次根式 课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
5.1 二次根式
第5章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
二次根式的性质
积的算术平方根
最简二次根式
知识点
二次根式的定义
知1－讲
感悟新知
1
1. 二次根式的定义：我们把形如 (a ≥ 0)的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号，根号下的数叫作被开方数.
知1－讲
感悟新知
2. 二次根式的特征：
(1)必须含有二次根号“ ”， “ ”的根指数为2，即“ ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”.
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
知1－讲
感悟新知
特别解读
二次根式应满足两个条件：
(1)含有二次根号 “ ”；
(2)被开方数是正数或0. 特别地：形如b (a ≥ 0) 的式子也是二次根式，它表示b与 的乘积，当b 是带分数时，要写假分数的形式.
感悟新知
知1－练
给出下列式子：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ，其中一定是二次根式的是________. (只填序号)
例 1
解题秘方：紧扣二次根式定义中的“两个条件”进行识别.
感悟新知
知1－练
特别提醒
1. 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如 等都是二次根式.
2. 像 +1(a ≥ 0) 这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
感悟新知
知1－练
解：①中含有二次根号，且被开方数(－2)2 是非负数，故①是二次根式；
②中“ ”是三次根号，不是二次根号，故②不是二次根式；
③中虽然 =3，但它初始的外在形式符合二次根式的条件，故③是二次根式；
感悟新知
知1－练
④中虽然含有二次根号，但被开方数x+y 可能为负数，故④不一定是二次根式；
⑤中含有二次根号，且被开方数a2+1 大于0，故⑤是二次根式 ；
⑥中含有二次根号，但被开方数－2a2－1 小于0，故⑥不是二次根式.
故只有①③⑤是二次根式.
答案：①③⑤
知识点
二次根式有意义的条件
知2－讲
感悟新知
2
1. 二次根式有意义的条件：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 反之也成立，即 有意义 a ≥ 0.
知2－讲
感悟新知
2. 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负实数；
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负实数，分式的分母不等于0；
知2－讲
感悟新知
(3)如果一个式子中既有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负实数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0.
知2－讲
感悟新知
巧记口诀
二次根式有意义，被开方数非负数；
二次根式无意义，被开方数是负数；
单个二次根式时，列出不等式求解；
复合形式的式子，列不等式组求解.
感悟新知
知2－练
当x 取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
例2
知2－讲
感悟新知
教你一招
求式子有意义时字母的取值范围的步骤：
第一步，明确各种式子有意义的条件；
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组 ；
第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围.
解题秘方：紧扣“求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法”求解.
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
(5)∵ x2+2x+2=(x+1)2+1>0，
∴不论x 为何实数，x2+2x+2 都大于0，
∴不论x 为何实数， 总有意义.
感悟新知
知2－练
(6)∵ －x2－2x－3=－(x+1)2－2<0，
∴不论x 为何实数，－x2－2x－3 都小于0，
∴不论x 为何实数， 都无意义.
∵ (x+1)2 ≥ 0,
∴ －(x+1)2 ≤ 0,
∴ － (x+1)2－2
知识点
二次根式的性质
知3－讲
感悟新知
3
1. 二次根式的性质：
(1)双重非负性：二次根式 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥ 0， ≥ 0；
知3－讲
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(2)( )2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
1. 正用公式：( )2=5，( )2=m2+1;
2. 逆用公式： 若a ≥0，则a= ( )2，如2= ， .
注意： 无论应用( )2=a(a ≥ 0) 进行化简，还是逆用，都要注意前提a≥0.
知3－讲
感悟新知
(3) 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
应用提醒
1. 正用公式：
2. 逆用公式：
(以后将会学习)注意： 化简形如 的式子时，先转化为|a| 的形式，再根据a的符号去绝对值符号.
知3－讲
感悟新知
2. 与 (a ≥ 0)的异同点：
感悟新知
知3－练
(1)若y= + +2，则xy=_______.
解题秘方：紧扣二次根式的双重非负性进行解答.
例 3
解：由二次根式的被开方数的非负性，得
∴ x=3.
∵ y= + +2，
∴ y=2. ∴ xy=32=9.
9
感悟新知
知3－练
(2)实数a，b 满足 +4a2+4ab+b2=0，则ab 的值为____ .
解题秘方：紧扣二次根式的双重非负性进行解答.
解：整理，得 +(2a+b)2=0.
由二次根式的非负性及平方的非负性，得
∴ ab=(－1)2=1.
1
感悟新知
知3－练
方法点拨
当一个式子中有两个二次根式，且被开方数互为相反数时，通常先利用二次根式 的被开方数的非负性a ≥ 0，建立不等式组，再解不等式组确定字母的值；当一个式子中含有几个非负数(式)：“绝对值的非负性，偶次方的非负性， 二次根式的非负性， 即|a| ≥ 0，a2n ≥ 0(n 为正整数)， ≥ 0(a ≥ 0)”，且式子的和为0 时，通常先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程组确定字母的值.
感悟新知
知3－练
计算：
解题秘方：紧扣二次根式的性质的两个公式进行计算.
例4
感悟新知
知3－练
特别提醒
计算二次根式的注意事项：
(1)计算二次根式要严格按照( )2=a (a ≥ 0)， =｜a｜进行.
(2)正确区分( )2( a ≥ 0) ，与 的异同点是计算二次根式的关键.
(3)计算 一般有两步 ：
①去掉根号及被开方的指数，写成绝对值的形式，; ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
感悟新知
知3－练
注意π≠3.14
感悟新知
知3－练
在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；(2)x4－4x2+4.
解题秘方：逆用( )2=a(a ≥ 0)分解因式.
例 5
方法点拨
在实数范围内分解因式的策略：
在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为( )2，以便于使用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.
感悟新知
知3－练
知识点
二次根式的性质
知4－讲
感悟新知
4
1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积，即
特别提醒
公式中的a，b既可以是一个数，也可以是一个式子. 乘积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简.
知4－讲
感悟新知
2. 性质的应用：
(1)积的算术平方根的性质对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用；
(2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因式，把含有a2 形式的a 移到根号外面.
感悟新知
知4－练
[易错题] 化简：
解题秘方：紧扣“积的算术平方根的性质”进行化简.
例6
特别提醒
利用积的算术平方根的性质要注意以下两点：
(1)注意被开方数的范围；
(2)注意被开方数一定是乘积的形式，不要出现
“ ” 这样的错误.
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
知识点
二次根式的性质
知5－讲
感悟新知
5
1. 定义：如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个二次根式叫作最简二次根式：
(1)被开方数中不含开得尽方的
因数(或因式)；
(2)被开方数不含分母.
特别解读
判断一个二次根式是否
是最简二次根式，要紧
扣两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中每个因数(或因式)的指数都小于根指数2，即每个因数(或因式)的指数都是1.
注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
知5－讲
感悟新知
2. 二次根式化简成最简二次根式的步骤：
(1)“一分”，即利用因式分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因数(或因式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－练
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
解题秘方：紧扣最简二次根式的定义进行判断.
例 7
特别警示
判断最简二次根式有两大思维误区：
(1)是被开方数不含分母，而不是式子不含分母，如 有分母但 是最简二次根式；
(2)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式,如
是最简二次根式
感悟新知
知5－练
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母.
(2)是最简二次根式.(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母).(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽方的因数4， =2.(5)不是最简二次根式，因为x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)=x(x+3)2，所以被开方数中含有能开得尽方的因式.(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式.综上，只有(2)是最简二次根式.
课堂小结
二次根式
二次根式
(a≥0)
定义
性质
最简二次根式
a≥0， ≥0
( )2=a，(a≥0)
=|a|
(a≥0，b≥0)
化简