北京师范大学燕化附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 (含答案)

2023-2024学年北京师大燕化附属中学高二（下）期中数学试卷
一、选择题共10小题，每题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在等差数列中，若，则（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
2．某人一次掷出两枚骰子，点数和为5的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．甲、乙2人破译1个密码，若他们能独立译出密码的概率分别为和，则他们至少有1人译出密码的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．若是等比数列，，，则（　　）
A．7 B．9 C．25 D．35
5．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知等比数列中，，则“”是 “”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是（　　）
A．四个工人中，D的日生产零件总数最大
B．A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和
C．A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和
D．A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和
9．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知数列满足则（　　）
A．当时，为递增数列，且存在常数M＞0，使得恒成立
B．当时，为递减数列，且存在常数M＞0，使得恒成立
C．当时，存在正整数，当时，
D．当时，对于任意正整数，存在，使得
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知等比数列中，，，则数列的前6项和为 　 　．
12．一个袋子中装有2个红球和3个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，设拿出白球的个数为，则　 　；　 　．
13．已知离散型随机变量X的分布列为
X ﹣1 0 1
P a
设Y＝6X+1，则Y的数学期望E（Y）＝　 　．
14．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 　 　．
15．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16（13分）．在等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的首项和公差d；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．
17（13分）．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．
（Ⅰ）求丙答题正确的概率；
（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．
18（14分）．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，设等差数列的前n项和．是等比数列，_____，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）是否存在k，使得且？若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19（15分）．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30，40），[40，50），…，[90，100]，整理得到如图频率分布直方图．
根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：
满意度的分数 [30，60） [60，100]
满意度的等级 不满意 满意
（Ⅰ）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望．
20（15分）．某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示．
（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；
（Ⅱ）从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长小于纪录影片时长的年数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，，，试比较，，的大小．（只需写出结论）
21（15分）．已知数集（）具有性质M：对任意i，j（），与两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集与是否具有性质M；
（2）求证：；
（3）给定正整数n（n≥5），求证：组成等差数列．
参考答案
一．选择题（共10题）
1-5:ACDCD 6-10:BBDCD
二填空题（共5题）
11．【答案】189． 12．【答案】；． 13．【答案】0．
14．【答案】2n+2． 15．【答案】．
三．解答题（共6小题）
16、【答案】（Ⅰ），d＝2．
（Ⅱ）最小值为﹣12，n＝3或n＝4．
【解答】解：（Ⅰ）∵在等差数列中，，，
∴，解得，d＝2．
（Ⅱ）∵，d＝2，
∴，
当n＝3或n＝4时，Sn取得最小值．
17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设丙答对题的概率为x，乙答对题的概率为，
∵每人回答问题正确与否相互独立，∴事件A，B，C是相互独立事件，
根据相互独立事件概率乘法公式得，
解得，
∴丙答题正确的概率为；
（Ⅱ）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为：
．
18、【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）若选①k＝4，若选②不存在，若选③k＝4．
【解答】解：（Ⅰ）因为在等比数列，，，所以，
所以q＝﹣3，从而，从而，
若选①：由，得，所以，
所以；
若选②：由，且，
所以，所以；
若选③：由，解得，
又，所以，从而；
（Ⅱ）若存在k，使得，即，从而，
同理，若使，即，从而，
若选①：，则，解得，因为k∈N，
所以当时满足，且成立，
即当时满足使得且成立；
若选②：，所以数列为递减数列，
故不存在，且，
即不存在k使得且成立；
若选③：，则，解得，
因为k∈N，所以当k＝4时，能使，成立，
即当k＝4时满足使得且成立．
19、【答案】（Ⅰ）0．6．
（Ⅱ）X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中[60，100]的频率为：（0.030+0.015+0.010+0.005）×10＝0.6，
所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率约为0.6．
（Ⅱ）用频率估计概率，则“满意”的概率为，“不满意”的概率为．
X的所有可能取值为0，1，2．
；
；
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望
4．
20、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年．
记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A，
则．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2．
；
；
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望．
（Ⅲ）科教影片所记录时长波动较大，方差最大，动画影片、纪录影片的时长需计算出方差才能确定．
，
，
，
所以．
3．
21．【答案】（1）不具有性质P，具有性质P；
（2）证明见解析； （3）证明见解析．
【解答】解：（1）由于和2﹣2都不属于集合，所以不具有性质P，
由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都属于集合{0，2，4，6}，
所以A2＝{0，2，4，6}具有性质P；
（2）证明：令j＝n，i＞1，则∵“与两数中至少有一个属于A”，
∴不属于A，∴属于A
令i＝n﹣1，那么是集合A中某项，不行，是0，可以．
如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．
所以令i＝n﹣1可以得到，
同理，令i＝n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到，
∴倒序相加即可得到；
（3）证明：∵具有性质P，，，，
，则，
所以与中至少有一个属于A，
由，有，故，∴，故．
∵，∴，故，∴．
由A具有性质P知，．
又∵，
∴，，…，，，
即．…（1）
由知，，，…，均不属于A，
由A具有性质P，，，…，均属于A，
∴，
∴，，，…，，
即．…（2）
由（1）（2）可知，
即．
故构成等差数列．