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第12章 二次根式 单元测试（达标过关）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．下列各数中，是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，不能与合并的是 （ ）
A． B． C． D．
5．若，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．无论取何值，等式都无意义
6．已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）
A． B． C． D．
7．估计实数的值应在 （ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
8．已知，则 （ ）
A． B．6 C．4 D．12
二、填空题（每题3分，共24分）
9．化简 ．
10．当时，化简的结果是 ．
11．计算的结果是 ．
12．比较大小 （填“”或“”号）
13．计算： ．
14．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
15．已知，，则 ．
16．若，都是实数，且，则的值是 ．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．若，，求的值．
20．已知，．求的值．
21．阅读下列材料，并解决后面的问题．
问题：比较与的大小
解：对两个数求倒数，得；
.
与都是正数，.
(1)请用上述方法比较与的大小；
(2)猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论．
22．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
23．已知长方形的长，宽．
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
24．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)若，求的值．
25．我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用k个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数k有何特点？请叙述你的发现______；
(3)①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为，则m＝______．中小学教育资源及组卷应用平台
第12章 二次根式 单元测试（达标过关）
知识清单
整体难度：较易
细 目 表 分 析
题号 难度系数 详细知识点
一、选择题
1 0.94 求一个数的算术平方根；利用二次根式的性质化简；最简二次根式的判断；分母有理化；
2 0.94 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集；
3 0.94 二次根式的乘法；二次根式的除法；二次根式的加减运算；
4 0.94 化为最简二次根式；同类二次根式；
5 0.85 二次根式有意义的条件；
6 0.65 根据点在数轴的位置判断式子的正负；利用二次根式的性质化简；
7 0.65 无理数的大小估算；二次根式的乘法；
8 0.65 运用平方差公式进行运算；提公因式法分解因式；二次根式的混合运算；
二、填空题
9 0.94 利用二次根式的性质化简；
10 0.94 利用二次根式的性质化简；
11 0.94 分母有理化；
12 0.94 比较二次根式的大小；
13 0.85 二次根式的乘法；
14 0.85 化为最简二次根式；已知最简二次根式求参数；
15 0.85 二次根式的混合运算；已知字母的值，化简求值；
16 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；负整数指数幂；二次根式有意义的条件；
三、解答题
17 0.94 二次根式的乘法；二次根式的加减运算；
18 0.94 二次根式的混合运算；
19 0.94 运用完全平方公式进行运算；已知字母的值，化简求值；
20 0.85 异分母分式加减法；二次根式的混合运算；已知字母的值，化简求值；
21 0.85 实数的大小比较；分母有理化；
22 0.65 利用二次根式的性质化简；
23 0.65 二次根式的应用；
24 0.65 运用平方差公式进行运算；因式分解的应用；二次根式的混合运算；分母有理化；
25 0.40 二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形；根据矩形的性质求线段长；中小学教育资源及组卷应用平台
第12章 二次根式 单元测试（达标过关）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．下列各数中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、二次根式的化简、求算术平方根以及分母有理化，把每个选项依次化简即可得到答案．
【解析】A．，不是最简二次根式，不符合题意；
B． ，不是最简二次根式，不符合题意；
C． ，不是最简二次根式，不符合题意；
D． 是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可．
【解析】根据题意可知，
解得．
故选：B．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据运算法则进行计算即可．
【解析】A、不属于同类项，无法合并相加，因此选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键．
化简至最简二次根式，比较被开方数是否一样即可．
【解析】解：A、，可以与进行合并，故本选项不符合题意；
B、，不可以与进行合并，故本选项符合题意；
C、，可以与进行合并，故本选项不符合题意；
D、，可以与进行合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．无论取何值，等式都无意义
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式组的解集，根据二次根式的性质，得到，求不等式组的解集即可．
【解析】∵有意义，
∴，
解得，
故选A．
6．已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【解析】解：由数轴可得，，且，
∴，，
∴原式
，
，
，
故选：．
7．估计实数的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小、二次根式的乘法运算等知识点，正确得出的取值范围是解题的关键．
直接利用二次根式的乘法运用、无理数的估算等知识点，根据计算的结果的估算取值范围是解题的关键．
【解析】解：，
，
，
．
故选：C．
8．已知，则（ ）
A． B．6 C．4 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是正确提取公因式，掌握平方差公式．
先提取公因式m，再将m的值代入，最后根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：根据题意得：，
∵，
∴，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．化简 ．
【答案】5
【分析】本题考查根据二次根式的性质计算，掌握是解题的关键．
【解析】解：，
故答案为：5．
10．当时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的意义化简即可．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：．
11．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同时乘，计算即可求解．
【解析】解：，
故答案为：．
12．比较大小 （填“”或“”号）
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质，把跟号外的移到根号内，即可进行比较．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：．
13．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的乘法．利用完全平方公式计算即可求解．
【解析】解：
，
故答案为：．
14．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
15．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式得到，据此代值计算即可．
【解析】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
16．若，都是实数，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件（二次根式的被开方数是非负数），解题的关键是根据二次根式有意义的条件得出，可求出，再求出的值，继而计算即可．也考查求代数式的值及负整数指数幂．
【解析】解：∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
即的值是．
故答案为：．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，二次根式乘法计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可；
（2）根据二次根式乘法计算法则求解即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
18．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解析】（1）解：
；
（2）
．
19．若，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查二次根式，完全平分公式的知识，解题的关键是根据，然后把，的值，代入，即可．
【解析】∵，
∴当，时，．
20．已知，．求的值．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先计算出与的值，再通分和利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：，，
，，
．
21．阅读下列材料，并解决后面的问题．
问题：比较与的大小
解：对两个数求倒数，得；
.
与都是正数，.
(1)请用上述方法比较与的大小；
(2)猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．
（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可；
（2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可．
【解析】（1）解：对两个数求倒数，得， ，
∵ ，
∴，
∵与都是正数，
∴；
（2）
证明：对两个数求倒数，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵与（n为正整数）都是正数，
∴，
22．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)小亮
(2)（或）
(3)；2030
【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）根据二次根式的性质进行回答即可；
（3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【解析】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；
故答案为：小亮
（2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或），
故答案为：（或）
（3）原式，
，
，
原式
．
23．已知长方形的长，宽．
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【答案】(1)
(2)8，长方形周长大
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，理解题意，正确列出式子是解此题的关键．
（1）根据长方形的周长，利用二次根式的性质以及混合运算法则计算即可得出答案；
（2）先求出长方形的面积，从而得出正方形的边长，即可得出正方形的周长，比较即可得出答案．
【解析】（1）解：长方形的周长；
（2）解：长方形的面积，
与长方形等面积的正方形的边长，
与长方形等面积的正方形的周长，
，，，
，
长方形的周长大．
24．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】
本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键．
（1）利用平方差公式分母有理化即可；
（2）利用分母有理化可得，然后计算二次根式即可；
（3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
……
，
，
故答案为：9；
（3）
解：，
，
，即，
．
25．我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用k个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数k有何特点？请叙述你的发现______；
(3)①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为，则m＝______．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或(n为正整数)；
(3)①；②；③2048
【分析】（1）根据“奇异矩形”定义，可知“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应、、、…或需要个基本奇异矩形，
（3）根据规律可知：个基本矩形拼成的奇异矩形，长为，宽为，则对角线为，由此规律即可解答．
【解析】（1）解：①如图3，长为，宽为2，
长：宽；符合奇异矩形的条件；
②图4中，长为4，宽为，
长：宽，符合奇异矩形的条件；
（2）解：根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应、、、…或需要个基本奇异矩形．
故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或(n为正整数)；
（3）解：①若用32个奇异矩形组成奇异矩形，
则长，宽，此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理，，
故答案为：；
②若用256个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长，宽，
此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理：，
故答案为：；
③根据规律可知：个基本矩形拼成的奇异矩形，长为，宽为，则对角线为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2048．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、矩形的性质、二次根式的运算、寻找规律的应用等知识点，较好的动手画图操作能力是解答本题的关键．
