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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.
课前学习任务
复习引入 复习引入 一元二次方程求根公式： 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 解下列方程，并求出两根的和与两根的积： （1）x2+3x-4＝0; (2)x2-5x+6＝0;
课上学习任务
【学习任务一】 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？ 【学习任务二】 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）. 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 即x 所以x1＝，x2＝. 所以x1+x2＝ ，x1x2＝ . 【学习任务三】 例: 下列方程的两根和与两根积各是多少？ (1) x2+3x-5＝0 ； (2) 2x2-3x-5＝0 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 选做题： 2.利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 【综合拓展类作业】 3.已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根 是 ，m = ____. 选做题： 2.求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1. 【综合拓展类作业】 3. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)；（2）
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（华师大版）九年级
上
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程
第22章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
重点：一元二次方程根与系数的关系.
难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间
的关系，并用语言表述.
新知导入
试一试： 填表
方程 x1,, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0
② X2-2x-3=0
③ X2-5x +4=0
问题：你发现这些一元二次方程当二次项系数为1时，x2+px+q=0的两根为x1,, x2与系数
有什么规律？
2,1
3
2
-1,3
2
-3
1,4
5
4
新知讲解
证明：利用公式法求方程的两根
猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1， x2.
x1 =
x2 =
-p
q
新知讲解
一元二次方程的根与系数的关系
如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么
x1+ x2= -p， x1 x2= q
问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则 b2 - 4ac≥0.
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得
新知讲解
新知讲解
证明
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
新知讲解
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
那么
注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
典例精析
例: 下列方程的两根和与两根积各是多少？
(1) x2+3x-5＝0 ； (2) 2x2-3x-5＝0
解：（1）a=1,b=3,c=-5
x1+x2=-3 x1x2=-5
(2)a=2,b=-3,c=-5
x1+x2=-3 x1x2=-5
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
1
-2
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2–6x–15 = 0；
(2) 3x2 + 7x -9 = 0；
x1 + x2 = - ， x1 x2 =
(3) 5x–1 = 4x2.
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
x1 + x2 =–(–6 ) =6， x1 x2 = -15.
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2.
所以 x1·x2 = 2x2 = ，
即 x2 =
由于 x1 + x2 = 2 + = ，
解得 k = -7.
答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
课堂总结
a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
不解方程，求两根的和与积
已知一根，求另一个根及参数的值
韦达定理
公式
注意
应用
x1+ x2= -p， x1 x2= q
不解方程，求含两根的对称式的值
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根
是 ，m = ____.
-3
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1.
解：(x - 2)(x - 3)=0，
x2 - 5x + 6 = 0.
【综合拓展类作业】
作业布置
3. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：由根与系数的关系，得
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =
（2）
Thanks!
2
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分课时教学设计
第6课时《22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.
学习者分析 要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.
教学目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.
教学重点 理解一元二次方程的根与系数的关系.?
教学难点 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 复习巩固 一元二次方程求根公式： 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 解下列方程，并求出两根的和与两根的积： （1）x2+3x-4＝0; (2)x2-5x+6＝0; 【解】（1）x1＝-4，x2＝1，x1+x2＝-3，x1·x2＝-4； （2）x1＝2，x2＝3，x1+x2＝5，x1·x2＝6； 一元二次方程两个根的和与两个根的积与系数有怎样的关系，这就是本节课要学习的内容. 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，理解一元二次方程的根与系数的关系. 环节二：新知探究教师活动2： 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？ 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）. 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 即x 所以x1＝，x2＝. 所以x1+x2＝，x1x2＝. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论． 学生思考 引导学生．活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，体现由具体到抽象的认识过程，探索一元二次方程的根与系数的关系.? .环节三：典例精析教师活动3： 例: 下列方程的两根和与两根积各是多少？ (1) x2+3x-5＝0 ； (2) 2x2-3x-5＝0 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：能说出根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.?
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 选做题： 2.利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 【综合拓展类作业】 3.已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根 是 ，m = ____. 选做题： 2.求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1. 【综合拓展类作业】 3. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)；（2）
教学反思 (学生总结，老师点评) 一元二次方程的根与系数的关系： ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2 ，x1x2＝. 特殊地，x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q .
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
内容分析 本章主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《一元二次方程》这一章是是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力.
单元目标 教学目标1.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数.?2.进一步深化理解一元二次方程的四种解法，能灵活运用四种解法解一元二次方程.?3.进一步理解根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能够运用它们去解决实际问题，综合性问题.?4.进一步加强列方程解应用题的能力，特别是增长率问题、几何图形问题.（二）教学重点、难点教学重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法以及一元二次方程解决实际应用问题.教学难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数 22.1 一元二次方程122.2.1直接开平方法和因式分解法122.2.2 配方法122.2.3用公式法解一元二次方程122.2.4一元二次方程根的判别式122.2.5一元二次方程根与系数的关系 122.3.1 图形的面积问题122.3.2 增长（降低）率问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.?2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.1.进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.2.正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.任务一：情境导入，根据数量关系列方程.任务二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.任务三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动任务四：针对训练，请学生回答问题..22.2.1直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法1.合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.2.理解一元二次方程无实根的解题过程.任务一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务二：探究新知，理解开平方法，配方法.任务3：例题精讲，用开平方法，因式分解法解一元二次方程.22.2.2 配方法1.了解配方法的概念，掌握用配方法解简单的一元二次方程。2.让学生参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发展的过程，培养学生运算技巧和能力，发展数学思维3.通过降次与转化的数学思想的渗透，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极思考，发展学生合作意识.1.让学生用配方法解简单的一元二次方程.2.让学生从特殊的例子中发现规律、归纳方法.任务1：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务2：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程..22.2.3用公式法解一元二次方程1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.3．在推导求根公式过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．1.熟练地用求根公式解一元二次方程．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．任务1：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.任务2：合作学习，一元二次方程求根公式.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.2.4一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．1.根的判别式的正确理解与运用．2.会掌握含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．任务1：利用配方法推导一元二次方程的求根公式．任务2：掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况．任务3：巩固例题，掌握由Δ确定方程根的情况的一般步骤．22.2.5一元二次方程根与系数的关系 1．能说出根与系数的关系；2．会利用根与系数的关系解有关的问题。1.根的判别式和韦达定理的学习．2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯．任务1：经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程任务2：掌握根的判别式和韦达定理任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.3.1 图形的面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理。1.掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.任务1：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型任务2：归纳一元二次方程解应用题的一般步骤.22.3.2 增长（降低）率问题1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.任务1：解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.2. 掌握“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.
《一元二次方程》单元教学设计
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