9.2.4 总体离散程度的估计-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

(共35张PPT)
9.2.4 总体离散程度的估计
高一下学期
1、掌握度量数据离散程度的方法；
2、理解方差与标准差的意义；
3、掌握总体与样本的方差、平均差公式；
4、掌握分层随机抽样的方差计算公式；
重点：方差与标准差的意义；总体与样本的方差、平均差公式
难点：度量数据离散程度的方法；分层随机抽样的方差计算公式；
1、如何在频率分布直方图中求样本的平均数、中位数和众数？
(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，也就是50%分位数.
(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.
频率分布直方图损失了些样本数据，得到的是一估计值，且所得估值与数据分组有关，有随机性，
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子.
思考：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这次这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
4 4 5 7 7 7 8 9 9 10
5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.
无差异
追问：接下来又该如何研究呢？
画出统计图：
甲的成绩比较分散，波动较大；
乙的成绩比较集中，比较稳定.
那么，如何度量成绩的这种差异呢？
有差异
一、度量数据离散程度的方法：
1、极差：
根据甲、乙运动员的10次射击成绩可知：甲命中环数的极差：,
乙命中环数的极差：
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
思考：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.
因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
假设有两组数据，其中一组样本量是100，另一组样本量为1000，如果用“总距离”来衡量，两者之间会相差很大，不好比较，而“平均距离”相差不大.
思考：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗
思考：为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗
每个数据与平均数间的距离
到的“距离”：
思考：如何定义“平均距离”？
假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数.
每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，
这组数据到的“平均距离”：
为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即.
一、度量数据离散程度的方法：
假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数.
2、方差：
原式
.
3、标准差：
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，
思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
标准差：
●标准差.
●表示这组数据中的每一个数据到平均数的距离都是0，即这组数据的每个数据是相等的.
二、总体方差、标准差和样本方差、标准差
●如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，
则称为总体方差，为总体标准差.
●如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，
则总体方差为.
●如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.
特征：
●标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度．
●标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．
●在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用_______.
离散
大
小
标准差
思考：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这次这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
可根据标准差来判断，计算可得
由_______可知,___的成绩离散程度大.由此估计,___比___的射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看_______________________
______________如果两人都排在前面，就选______________选手；
否则可以选甲选手.
甲
甲
乙
成绩稳定的乙
他们的平均成绩在所有参赛
选手中的位置
例1：一个小商店从一家公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量(单位:g)如下:
486 495 496 498 499 493 493
498 484 497 504 489 495 503
499 503 509 498 487 500 508
(1)21袋白糖的平均质量是多少 标准差是多少
(2)质量位于与之间有多少袋白糖 所占的百分比是多少
解：(1)，标准差
(2)质量位于与之间有14袋白糖 所占的百分比约为66.67%.
教材P215 T4
1、在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.
你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？
（1）平均说来一队比二队防守技术好；
（2）二队比一队技术水平更稳定；
（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好；
（4）二队很少不失球.
√
√
√
平均数大，标准差小，说明每次失球数接近2
√
教材P216 T3
失球数接近2.1(可能失球1个、2个、3个)
2、样本数均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是(　　)
A．第一组　　　B．第二组 C．第三组 D．第四组
D
解：第一组中，样本数据都为5，标准差为0.
第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为，
第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为，
第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为.
3、不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗
(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；
(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；
(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；
(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.
教材P215 T1
解：
4、四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没出现6点的是（ ）
A.平均数为3，中位数为2； B.中位数为3，众数为2；
C.平均数为2，方差为2.4； D.中位数为3，方差为2.8
C
1，1，2，5，6
2，2，3，5，6
中位数为3，极差为4
2，2，3，5，6
1，2，3，3，6
教材P224 T2
5、已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n个人的年收入(n≥3，n∈N*)，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是(　　)
A．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B
6、(1)若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则2x1－1，2x2－1，…，
2x10－1的平均数为(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
B
(2)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则2x1－1，2x2－1，…，
2x10－1的方差为(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
C
(3)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则2x1－1，2x2－1，…，
2x10－1的标准差为(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
D
解：(1)
(2)
(3)，
数据 平均数 标准差 方差
x1，…，xn
ax1+b，…，axn+b
例2：对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？
解：把男生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；
把女生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；
把总样本数据的平均数记为，方差记为.
分层随机抽样的方差和标准差
总样本方差为
●由得，同理可得，
●又，同理可得，
●由得.
同理可得
分层随机抽样的方差和标准差
因此，
.①
由，可得总样本平均数
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得
我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
分层随机抽样的方差和标准差
分层随机抽样的方差计算：
设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，
两层的平均数分别为，，方差分别为，，
则这个样本的方差为：_____________________________________________.
练习：某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人,有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位:cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗 为什么
(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗
解：(1)不能，因为男生和女生的样本量未知；
(2)总样本的均值：，
总样本的方差：
教材P215 T5
练习：某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人,有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位:cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
(3)如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗 它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗 为什么
教材P215 T5
解：(3)总样本的均值：，
总样本的方差：
用它们作为总体均值和方差的估计不合适，因为男、女身高差异比较大，这个样本的分布与总体的分布相差可能比较大，所以总样本均值和总样本方差作为总体均值和总体方差的估计有偏差.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.
例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数，样本标准差.
，，
，.
如图所示，这100个数据中大部分落在区间内，在区间外的只有7个.
也就是说，绝大多数数据落在内.
假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数.
一、度量数据离散程度的方法：
1、极差
2、方差：
标准差：
数据 平均数 标准差 方差
x1，…，xn
ax1+b，…，axn+b
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，
●标准差越大，数据的离散程度越大；
●标准差越小，数据的离散程度越小.
二、总体方差、标准差和样本方差、标准差
●如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，
则称为总体方差，为总体标准差.
●如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，
则总体方差为.
●如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.
三、分层随机抽样的方差计算：
设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，
两层的平均数分别为，，方差分别为，，
则这个样本的方差为：.
课后练习
1、判断正误.
(1)若两组数据的方差一样大，则说明这两组数据都是相同的. ( )
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0. ( )
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；
标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. ( )
√
×
×
2、为评估一种农作物的种植效果，选了块地做实验田.这块地的亩产量(单位：)分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）.
A.，，…，的平均数 B.，，…，的标准差
C.，，…，的最大值 D.，，…，的中位数
B
3、甲、乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
解：(1)
，
(2)两台机床加工零件的直径的平均值相同，又，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
课后练习
课后练习
4、已知某省二、三、四线城市数量之比为1：3:6，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为_____.
117.98
解：设二线城市的房价的方差为，由题意可知，
，解得，即二线城市的房价的方差为117.98.
5、在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45
小组B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47
（1）选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值.
（2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人土组成的吗？
标准差或方差
由于专业评委给分更符合专业规则，相似程度应该较高，
即评分的标准差(或方差)较小，
故A组更像是专业人士组成的.
教材P224 T7