四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题(含答案)

2024年春期高2023级第三学月考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
第一卷 选择题（58分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若角终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
6．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．若复数，则（ ）
A．的共轭复数 B．
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限
10．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ）
A． B． C． D．
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的侧面积为
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
第二卷 非选择题（92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
13．已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为 ．
14．已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）
设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
16．（15分）
已知函数.
(1)求的最小正周期和单调减区间；
(2)若，求的值.
17．（15分）
记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求角C；
(2)若的周长为20，面积为，求边c．
18．（17分）
如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
(1)证明：平面；
(2)求点到面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
19．（17分）
已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.
2024年春期高2023级第三学月考试
数学试题参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C
9．ABD 10．AC 11．ACD
12． 13． 14．
14题详解：如图取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、，
因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且，
由正四棱柱的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以、、、四点共面，
所以平面平面，
连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点，
所以线段即为点的轨迹，
如图在平面中，过点作，交于点，因为，
所以，所以，所以，
设、，，
依题意，，
所以，
要求动点的轨迹长度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以，所以，即动点的轨迹长度的最小值为.
15．解：（1）由已知，
所以，
所以，
即方向的单位向量为；
（2）由已知，，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
从而，解得.
16．解：（1）函数，
，
，
令，，
，，，
单调减区间，
（2）根据（1）知，，
故，，故，
故
17．解：（1），
由正弦定理，得，
，
，又，得，
所以，即，
由，解得；
（2）由（1），得，则，
由余弦定理，得，即，
得.又，
所以，即，即，解得.
18．解：（1）连接，
在三棱台中，；
，
四边形为等腰梯形且，
设，则.
由余弦定理得：，
，；
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
，平面，平面.
（2）由棱台性质知：延长交于一点，
，，，
；
平面，即平面，
即为三棱锥中，点到平面的距离，
由（1）中所设：，，
为等边三角形，，
，；
，，
，
设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，
，，解得：.
即点到平面的距离为.
（3）平面，平面，平面平面，
平面平面
取中点，在正中，，平面，
又平面，平面平面．
作，平面平面，则平面，
作，连接，则即在平面上的射影，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，即二面角的平面角.
设，
在中，作，
，，又平面，平面，
，解得：，
由（2）知：，，
，，
，，
，，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得：，
，
存在满足题意的点，.
19．解：（1）由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，因为，所以，
所以函数，
令，解得，
可得函数的递减区间为，
再结合，可得函数的减区间为；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域；
（3）由（2）得函数的图象，
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
而，
结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
，
解得，
所以.