湖北省荆州中学2024届高三下学期5月第四次适应性考试数学试卷（含解析）

荆州中学2021级高三下学期5月第四次适应性考试
数 学 试 题
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．函数的最小正周期为
A． B． C． D．
2. 已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为
A．4 B．8 C．10 D．12
已知集合，若，则的取值范围为
A. B． C． D．
已知，则被3除的余数为
A.3 B．2 C．1 D．0
如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形 的对角线相交于点，若，则
B． C． D．
已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分 条件是
A． B． C． D．
根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型 ，求得如右图所示的残差图.模型误差
满足一元线性回归模型的所有假设
不满足一元线性回归模型的的假设
不满足一元线性回归模型的假设
不满足一元线性回归模型的和的假设
任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种 运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角 谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1（简称为 8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到 1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是
可看作一个定义域和值域均为的函数
在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得6分，若有两个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对1个得2分，有选 错的得0分．
已知复数，则下列命题正确的是
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
10. 如图，正八面体棱长为2．下列说法正确的是
A．平面
B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为
C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
11. 已知函数的定义域为，且，，则
A． B. 关于中心对称
C．是周期函数 D．的解析式可能为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为_______．
13. 若实数成等差数列，成等比数列，则=_______.
14. 设，，，若满足条件的与存在且唯一，则_______， _______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：函数的图象位于直线的下方；
16.（15分）
如图在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且.
求证：平面；
，求直线与平面所成角的正弦值.
（15分）
宜昌市是长江三峡 ( https: / / baike. / item / %E9%95%BF%E6%B1%9F%E4%B8%89%E5%B3%A1 / 371964 fromModule=lemma_inlink" \t "https: / / baike. / item / %E5%AE%9C%E6%98%8C%E5%B8%82 / _blank )起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率．
从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
18.（17分）
从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.
求的轨迹方程；
是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
①若，求的值；
②证明：三角形与三角形的面积之比为定值.
19.（17分）
对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有成立,那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期.
判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
设（1）中数列前项和为，试问是否存在,使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在,说明理由.
若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
绝密★启用前
5月适应性考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D D B A D C BD ABD ACD
12. 13.-8 14.
1.【详解】由周期公式得.故选：B
2.【详解】由题意得，，，，所以．故选：D．
3.【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为.故选D.
4.【详解】令，得，令，得，
两式相减，．
因为，
其中被3整除，所以被3除的余数为1，
从而能被3整除．故选D.
5.【详解】延长、交于点，取的中点，连接，
易知为等腰直角三角形，则，，
所以，，，，
故为等腰直角三角形，且，则，
因为、分别为、的中点，则，且，
所以，，故.故选：B.
6.【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1.
因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，
所以圆心到直线的距离，解得.
其必要不充分条件是把的取值范围扩大，
所以选项中只有是的必要不充分条件.故选：A
7．【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上，说明残差与坐标轴变量有二次关系，不满足一元线性回归模型，故选D.
8.【详解】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
由，知不正确，D错误.故选：C
9.【详解】复数的实部为，虚部为，
复数在复平面内对应的点的坐标为，
对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误；
对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确；
对于C：若在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得或，故C错误；
对于D：令，即，不等式组无解，
所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
10.【详解】A选项，连接，由对称性可知，⊥平面，
且相交于点，为和的中点，
又，故四边形为菱形，故，
又平面，平面，
所以平面，A正确；
对于B，将△EBC和△FBC展开至同一平面，
由余弦定理得：，，B正确；
C选项，，其中到平面的距离为，
设菱形的面积为，则，，
若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，C错误.
对于D，易得以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，
故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，以2为边长的正三角形的高为，
可得内切圆半径，，D正确．故选ABD
11.【详解】由，
令，，有，可得,故A正确；
令，则，则，
，令，则，
所以，则，
，
所以，则周期为6，C正确．
由于为偶函数且周期为6，故，关于轴对称，B错误，
函数是偶函数且周期为6，，，故D正确.
12.【详解】因为双曲线C：经过点，
所以，渐近线方程为.
13.【详解】实数成等差数列，则，
成等比数列，则.
由于等比数列奇数项同号，所以，所以.则.故答案为.
14.【详解】由，得，即，由于，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，
所以，所以，经检验符合题意，所以，
则，解得，
所以.
15.【详解】（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；..................................................5分
（2）因为，所以，要证明，只需要证明，即证，
令，则，..................................................8分
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，..................................................11分
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；..................................................13分
16.【详解】（1）过点P作PE∥AD交BD于点E，过点Q作QF∥AD交CD于点F，则PE∥QF，因为是的中点，是的中点，所以，因为，由平行线分线段成比例定理得：，所以PE=QF，所以四边形PEFQ为平行四边形，所以PQ∥EF，又平面BCD，平面BCD，所以平面；
..................................................6分
（2）因为所以又所以
因为，所以,同理,又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面
作交延长线于点则平面且
如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系....................................8分
,
设面的一个法向量为
则所以...........................13分
设直线与平面所成角为
所以直线与平面取成线面角的正弦值为...................................................15分
17.【详解】（1）的可能取值为2,3,4，
,,
所以的分布列如下表所示：
2 3 4
所以..................................................5分
(2)因为这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以，，则
由两式相减得，
所以..................................................10分
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件．
因为，，所以，
即．
因为，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数...................................................15分
18.【详解】（1）设垂线段中点坐标为，抛物线上点坐标为，代入抛物线方程，则，即.................3分
（2）①如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
设，...........4分
则抛物线上过点的切线方程为，
将切线方程与抛物线方程联立，得：
联立，消去，整理得，
所以，从而有，
所以抛物线上过点的切线方程为，................................................5分
同理可得抛物线上过点的切线方程分别为，
两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为
，.................................................7分
则，
同理可得，即，...............................................9分
当时，，故，即，因此......................10分
②易知，则直线的方程为，
化简得即
且，
点到直线的距离为
，
则三角形的面积．.............................................14分
由（2）①知切线的方程为
可知，
点到直线的距离为
，
则外切三角形的面积．
故．因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2．.............17分
19.【详解】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1.
因为，
所以.则，所以
所以数列是周期数列，其周期为6..............................................4分
（2）由（1）可知，是周期为的数列.
计算数列为：
故，.............................................6分
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故
当时，，故
当时，，故
当时，，故
综上所述：存在，且.............................................10分
（3）解：假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，
所以，即
所以，，即
所以，，即，
所以数列是周期为的周期数列，.............................................12分
因为，即，
因为，
所以，，..................15分
所以数列是周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以，不存在非零常数，使得是周期数列..............................................17分