河南省周口市项城市第三高级中学2023-2024学年高一下学期第三次考试数学试卷（素普班）（含答案）

项城三高2023-2024学年度下期第三次考试
高一数学试卷（素普）
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则（ ）.
A.1 B. C. D.
2.已知向量，满足，且，则（ ）
A.1 B.2 C. D.4
3.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（ ）
A. B.2 C D.4
4.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A.若，，则； B.若，，，则；
C.若，，则； D.若，，，，则.
6.在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（ ）
A.204 B.200 C.196 D.192
7.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点，F为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数满足，以下说法正确的有（ ）
A.； B.在复平面内对应的点在第二象限；
C.； D.若是方程的一个根，则
10.已知正方体的棱长为1，E是的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A.； B.平面；
C.三棱锥的体积为； D.异面直线与所成的角为45°
11.软木锅垫的正、反面可加置印刷公司logo、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏.如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ）
A.向量在向量上的投影向量为；
B.；
C.；
D.点P是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为-200.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.向量在基底下的坐标为（1，2），则向量在基底下的坐标为_________.
13.已知正方体的外接球的球心为O，则_________.
14.在正方体中，点P是线段上的一个动点，记异面直线与所成角为，则的最小值为_________.
四、解答题：本题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知复数，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若是纯虚数，求的值.
16.（本小题满分15分）平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数m，n.
（2）若满足，且，求的坐标.
17.（本小题满分15分）如图，在平面四边形中，，，的面积为.
（1）求；
（2）若，，求.
18.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，.
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求证：平面.
19（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正弦值.
项城三高2023-2024学年度下期第三次考试
高一数学试卷（素普）（参考答案）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.CD 10.AB 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.；13.；14.
四、解答题：本题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1）2；
（2）或
【详解】（1）∵，，，
∴，
从而，解得，所以的值为2.
（2）依题意得：
，
因为是纯虚数，所以，
解得或.
16.（1），；
（2）或，
【分析】（1）由向量的坐标运算列方程组，解出即可；
（2）设，由向量共线的坐标表示和模长计算解出即可.
【详解】（1）由题意可得，
解得，
（2）设，
由题意可得，
因为，则，①
又，所以，②
由①②解得，或，，
所以的坐标为或.
17.（1）；
（2）.
【分析】（1）由三角形面积公式求出的长，再由余弦定理可求出.
（2）根据已知条件可由正弦定理优先求出，进而可由内角和为，以及诱导、三角恒等变换公式可求出.
【详解】（1）因为，又，，
所以.
在中，由余弦定理得：
，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，即，
解得，又，所以，
所以
，
故.
18.（1）；
（2）证明见解析.
【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，均为矩形.
因为，所以底面，均为直角三角形.
因为，，所以
所以三棱柱的表面积为
.
（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，
所以为的中点.因为为的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
19.（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又，平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.