沪科版八年级数学上册试题 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 （含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册试题 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 744.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-06 10:49:15 | ||
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文档简介
第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知一个三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
2．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，CE是的外角的平分线，若，，则的度数为（ ）．
A．95° B．90° C．85° D．80°
4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ）．
A．如果a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a=b，则|a|=|b|
6．具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．：：：：
7．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是__________，逆命题是__________命题（填“真”或“假”）
12．现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________．
13．BM是ABC中AC边上的中线，AB=7cm，BC=4cm，那么ABM与BCM的周长之差为_________________cm．
14．用一组整数a，b，c的值说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的，这组值可以是a＝__，b＝__，c＝__．
15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为4．则△BEF的面积为_________．
16．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
三、解答题（本大题共8小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-21每小题8分，第22小题10分，第23小题12分，第24小题14分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝25°，求证：．
18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
19．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：
问题：（1）若，求的值．
（2）已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．
(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
21．用反证法证明：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1 l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数；
（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数 ．
23．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
24.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
答案
一、选择题
1．B
【分析】组成三角形的三边的大小关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求出答案．
【详解】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系得，
∴，
即．
故选：．
2．C
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】解：A、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
B、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
C、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；
D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．
故选C．
3．B
【分析】根据角平分线的定义，可求出∠ACD=2∠ACE，再根据三角形的外角定理即可求出．
【详解】∵CE是的外角的平分线，，
∴∠ACD=2∠ACE=130°，
∵，
∴∠A=130°-40°=90°，
故选：B．
4．B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．
【详解】解：A.如果，则不一定是，，选项错误，不符合题意；
B.如果角相等，但不一定是直角，选项错误，不符合题意；
C.同位角相等，两直线平行，选项正确，符合题意；
D.如果，可得或，选项错误，不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．
【详解】解：根据三角形的内角和为180°，可知，据此逐项判断：
A、由，可以推出，本选项不符合题意；
B、由，可以推出，本选项不符合题意；
C、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意；
D、由，可以推出，本选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．
【详解】解：∵CE∥DF，
∴
∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
，
故选A．
8．D
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤
1、假设在中，
2、由，得，即
3、，这与三角形内角和为矛盾
4、因此假设不成立．
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②
故选：D
9．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
10．D
【分析】根据角平分线的性质、三角形的高线性质和三角形内角和定理判断即可；
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
，
，
∵，
∴，
由①得，，
∴，故②正确；
∵BE平分，
∴，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④；
故选：D．
二、填空题
11． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 真
【分析】根据逆命题的要求写出逆命题，再判断即可．
【详解】解：命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．
12．
【分析】由直尺可得，由直角三角板可知，再利用三角形外角定理和平行线性质推角，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题可知
∴
∵，
∴
又∵
∴
故答案为：．
13．3
【分析】根据中线的定义可得，ABM与BCM的周长之差=ABBC，据此即可求解．
【详解】解：∵BM是ABC的中线，
∴MA=MC，
∴=AB+BM+MABCCMBM
=ABBC
=74
=3(cm)．
答：ABM与BCM的周长是差是3 cm．
故答案是：3．
14． -2 -3 -4
【分析】根据题意选择a、b、c的值，即可得出答案，答案不唯一．
【详解】解：当a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4），
∴命题若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的；
故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．
15．1
【分析】根据点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，可以推出，进而推出，即可得到答案．
【详解】解：∵点D是BC的中点
∴
∵点E是AD的中点
∴
∴
又∵点F是CE的中点
∴
又∵
∴
故答案为：1．
16．
【分析】利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
【详解】解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
三、解答题
17.（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=90°，
∵∠CBE=65°，
∴∠BEC=90°－65°=25°，
∵∠F＝25°，
∴∠F=∠BEC，
∴．
18.（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
19.解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中最长的边，
∴，即．
20.（1）解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=50°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；
②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=80°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；
故答案为：①30°；②30°；
（2）解：嘉嘉说得对．
理由如下：
∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD
∵∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC)
又∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A
∴∠E的大小与∠B的度数无关．
21.已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：
证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．
22.（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCE，
∴AD∥BC；
（2）解：设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，
则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝2∠CAE＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x＋y，∠ACD＝∠BAC＝y，
△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，
△ACG中，x＋2x＋y＋z＝180°，
即3x＋y＋z＝180°，
∴6x＋2y＋2z＝360°②，
②﹣①得：5x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠CAE＝36°；
（3）解：设∠CAE＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，
则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝3∠CAE＝3x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x＋y，∠ACD＝∠BAC＝y，
△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，
△ACG中，x＋3x＋y＋z＝180°，
∴4x＋y＋z＝180°，
∴8x＋2y＋2z＝360°②，
②﹣①得：7x＝180°，
解得：x＝，
∴∠CAE＝；
故答案为：．
23.（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，
△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个；
以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4个；
②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，
△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，
∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，
∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，
∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，
∴∠C+∠B=2∠P，
∴120°+100°=2∠P，
∴∠P=110°；
③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，
∴∠CAM=∠CAB，∠PAN=∠CAB，∠BDN=∠BDC，∠PDM=∠BDC，
△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，
∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB，
3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，
△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，
∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB，
（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB，
∴3（∠C-∠P）=（∠P-∠B），
2∠C-2∠P=∠P-∠B，
3∠P=∠B+2∠C；
24.（1）如图①中，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，
∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，
∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知一个三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
2．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，CE是的外角的平分线，若，，则的度数为（ ）．
A．95° B．90° C．85° D．80°
4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ）．
A．如果a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a=b，则|a|=|b|
6．具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．：：：：
7．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是__________，逆命题是__________命题（填“真”或“假”）
12．现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________．
13．BM是ABC中AC边上的中线，AB=7cm，BC=4cm，那么ABM与BCM的周长之差为_________________cm．
14．用一组整数a，b，c的值说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的，这组值可以是a＝__，b＝__，c＝__．
15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为4．则△BEF的面积为_________．
16．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
三、解答题（本大题共8小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-21每小题8分，第22小题10分，第23小题12分，第24小题14分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝25°，求证：．
18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
19．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：
问题：（1）若，求的值．
（2）已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．
(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
21．用反证法证明：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1 l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数；
（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数 ．
23．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
24.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
答案
一、选择题
1．B
【分析】组成三角形的三边的大小关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求出答案．
【详解】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系得，
∴，
即．
故选：．
2．C
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】解：A、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
B、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
C、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；
D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．
故选C．
3．B
【分析】根据角平分线的定义，可求出∠ACD=2∠ACE，再根据三角形的外角定理即可求出．
【详解】∵CE是的外角的平分线，，
∴∠ACD=2∠ACE=130°，
∵，
∴∠A=130°-40°=90°，
故选：B．
4．B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．
【详解】解：A.如果，则不一定是，，选项错误，不符合题意；
B.如果角相等，但不一定是直角，选项错误，不符合题意；
C.同位角相等，两直线平行，选项正确，符合题意；
D.如果，可得或，选项错误，不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．
【详解】解：根据三角形的内角和为180°，可知，据此逐项判断：
A、由，可以推出，本选项不符合题意；
B、由，可以推出，本选项不符合题意；
C、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意；
D、由，可以推出，本选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．
【详解】解：∵CE∥DF，
∴
∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
，
故选A．
8．D
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤
1、假设在中，
2、由，得，即
3、，这与三角形内角和为矛盾
4、因此假设不成立．
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②
故选：D
9．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
10．D
【分析】根据角平分线的性质、三角形的高线性质和三角形内角和定理判断即可；
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
，
，
∵，
∴，
由①得，，
∴，故②正确；
∵BE平分，
∴，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④；
故选：D．
二、填空题
11． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 真
【分析】根据逆命题的要求写出逆命题，再判断即可．
【详解】解：命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．
12．
【分析】由直尺可得，由直角三角板可知，再利用三角形外角定理和平行线性质推角，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题可知
∴
∵，
∴
又∵
∴
故答案为：．
13．3
【分析】根据中线的定义可得，ABM与BCM的周长之差=ABBC，据此即可求解．
【详解】解：∵BM是ABC的中线，
∴MA=MC，
∴=AB+BM+MABCCMBM
=ABBC
=74
=3(cm)．
答：ABM与BCM的周长是差是3 cm．
故答案是：3．
14． -2 -3 -4
【分析】根据题意选择a、b、c的值，即可得出答案，答案不唯一．
【详解】解：当a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4），
∴命题若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的；
故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．
15．1
【分析】根据点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，可以推出，进而推出，即可得到答案．
【详解】解：∵点D是BC的中点
∴
∵点E是AD的中点
∴
∴
又∵点F是CE的中点
∴
又∵
∴
故答案为：1．
16．
【分析】利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
【详解】解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
三、解答题
17.（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=90°，
∵∠CBE=65°，
∴∠BEC=90°－65°=25°，
∵∠F＝25°，
∴∠F=∠BEC，
∴．
18.（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
19.解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中最长的边，
∴，即．
20.（1）解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=50°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；
②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=80°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；
故答案为：①30°；②30°；
（2）解：嘉嘉说得对．
理由如下：
∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD
∵∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC)
又∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A
∴∠E的大小与∠B的度数无关．
21.已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：
证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．
22.（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCE，
∴AD∥BC；
（2）解：设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，
则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝2∠CAE＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x＋y，∠ACD＝∠BAC＝y，
△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，
△ACG中，x＋2x＋y＋z＝180°，
即3x＋y＋z＝180°，
∴6x＋2y＋2z＝360°②，
②﹣①得：5x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠CAE＝36°；
（3）解：设∠CAE＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，
则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝3∠CAE＝3x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x＋y，∠ACD＝∠BAC＝y，
△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，
△ACG中，x＋3x＋y＋z＝180°，
∴4x＋y＋z＝180°，
∴8x＋2y＋2z＝360°②，
②﹣①得：7x＝180°，
解得：x＝，
∴∠CAE＝；
故答案为：．
23.（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，
△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个；
以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4个；
②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，
△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，
∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，
∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，
∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，
∴∠C+∠B=2∠P，
∴120°+100°=2∠P，
∴∠P=110°；
③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，
∴∠CAM=∠CAB，∠PAN=∠CAB，∠BDN=∠BDC，∠PDM=∠BDC，
△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，
∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB，
3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，
△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，
∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB，
（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB，
∴3（∠C-∠P）=（∠P-∠B），
2∠C-2∠P=∠P-∠B，
3∠P=∠B+2∠C；
24.（1）如图①中，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，
∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，
∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．