沪科版八年级数学上册试题 第14章 全等三角形 单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册试题 第14章 全等三角形 单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-06 10:51:01 | ||
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文档简介
第14章 《全等三角形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．用两个全等的含60°的直角三角板能拼成几种四边形（ ）.
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）.
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果，那么
3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块即图中标有、、、的四块，你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）.
A．第块 B．第块 C．第块 D．第块
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠=∠AOB的依据是（ ）.
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
5．已知三个全等的三角形纸片如图摆放，则的大小为（ ）.
A．90° B．120° C．135° D．180°
6．如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是（ ）.
A．2 B．3 C．5 D．7
7．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）.
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
8．如图，△ACB≌△，∠BC＝30°，则∠AC的度数为（ ）.
A．20° B．30° C．35° D．40°
9．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（ ）.
A．x＝2，t＝ B．x＝2，t＝ 或x＝，t＝1
C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝，t＝
10．如图，在中，平分，过点作，交于点，交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．
12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片________即可
13．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为___．
14．如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
16．如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
18．如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有_________．
①；②；③；④；⑤平分
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
20．如图，已知，和是对应角，和是对应边，．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
(3)求的长．
21．以的、为边作和，且，，与相交于M，．
(1)如图1，求证：；
(2)在图1中，连接，则_____________，__________；（都用含的代数式表示）
(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．
22．如图，点在同一条直线上，，过分别作，若．
(1)图中有___________对全等三角形；
(2)求证：与互相平分于；
(3)若将的边沿方向移动变为图时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
23．【问题引领】
问题1：如图1，在四边形中，，，．E，F分别是AB，AD上的点．且．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使．连结CG，先证明，再证明．他得出的正确结论是____________．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，，，，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3，在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，若，，求EF的长．
24．如图在和中， ，，．
(1)当点D在AC上时，如图（1），求证： ．
(2)将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
(3)在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由．
25．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
26．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．
（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
答案
一、选择题
1．B
【分析】让长直角边，短直角边，斜边分别重合，得到组合图形的所有情况即可．
【详解】解：可拼出如下4种图形：
故选：B．
2．C
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题，不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
4．B
【分析】利用作法得到，，于是可根据“SSS”判定OCD，然后根据全等三角形的性质得到∠=∠AOB．
【详解】解：由作法，得，，
∴OCD( SSS)，
∴∠=∠AOB．
故选：B．
5．D
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6=180°，
又∵∠5+∠7+∠8=180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°.
故选D.
6．B
【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝7，
∴EF＝BC＝7，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
故选：B．
7．D
【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答．
【详解】解：A．∵AC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC，不符合题意；
B．∠B是AB、BC的夹角，故能唯一画出△ABC，不符合题意；
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC，不符合题意；
D．由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一画出三角形ABC，符合题意．
故选：D．
8．B
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ACB≌△，
∴∠ACB=∠，
∴∠ACB∠CB=∠∠CB，
∴∠AC=∠BC=30°，
故选：B．
9．D
【分析】分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP时AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可
【详解】解：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
可得：5=7－2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
可得：5=xt，2t=7－2t
解得：x=，t=．
故选D．
10．C
【分析】先根据两条角平分线和∠B的度数，得出∠APC的度数，随后即可得出∠PCD的度数，即可判断①正确；
根据角的等量转换得出，然后根据已知可得出∠BAD+∠BCP的度数，即可得出∠AFC+∠DCG的和，即可判断②正确；
由题目中的已知条件无法证明③；
在上截取一点H，使AH=AF，然后根据已知条件，证明和，从而得到，即可得到所求，即④正确；
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质可得PM=PN=PQ，然后即可推出，则⑤正确．
【详解】解析：①∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB，∠B=60°，
∴，
，
∴，故①正确；
②∵CF平分∠ACB，AD平分∠BAC，
∴
∵
∴
，故②正确；
③由题目中的已知条件无法证明BG=AE，故③错误；
④在上截取一点H，使AH=AF
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴
由②知
∴
∴
∴
∴，
∴，故④正确；
⑤作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，
则PM=PN=PQ，
∵S△APF=AF×PM，S△CPG=CG×PQ，S△APC=AC×PN，
∴S△APF+S△CPG=S△APC，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题
11．AB和AC,AD和AE,BD和CE
【分析】根据全等三角形的对应角所对的边为对应边求解即可．
【详解】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角，
∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边，
故答案为：AB与AC，AD与AE，BD与CE．
12．②
【分析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案是：②．
13．55°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据全等的性质求出∠BAC的度数，最后由角的和差即可求解．
【详解】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝80°，
又∠DAC＝25°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝80°﹣25°＝55°．
故答案为：55°．
14．0或2或4或6
【分析】根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，
①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，
②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，
∵，
∴（HL），
∵CP=2tcm，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，
∴，即，
解得：；
④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．
故答案为0或2或4或6．
15．2或或14
【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：①当0≤t＜时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝t，BN＝3t，AC＝7，BC＝11．
当MC＝NC，即7﹣t＝11﹣3t，即t＝2时△MEC≌△CFN．
∵ME⊥l，NF⊥l，∠ACB＝90°，
∴∠MEC＝∠CFN＝∠ACB＝90°．
∴∠MCE＝90°﹣∠FCN＝∠CNF．
在△MEC和△CFN中，
．
∴△MEC≌△CFN（AAS）．
②当≤t≤6时，3t﹣11＝7﹣t
t＝，即t＝△MEC≌△CFN．
③6＜t≤7时，不存在，
④当7＜t＜18时，点N停在点A处，点M在BC上，如图②，
当MC＝NC即t﹣7＝7，也即t＝14时，
同理可得：△MEC≌△CFN．
综上所述：当t等于2或14秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：2或或14．
16．①③④
【分析】①根据已知条件可以证明和全等，即可得∠1=∠2；
②没有条件可以证明，即可判断；
③结合①和已知条件即可得；
④根据，可得，
【详解】解：①在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴①正确；
没有条件可以证明，
∴②错误；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴③正确；
∵，
∴，
∴④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
17．4或6
【分析】设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，分两种情况讨论①当△BPD≌△CQP时，②当△BPD≌△CPQ时，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可．
【详解】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，
∵P点的速度为4，BC=16
∴BP=4t，PC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4．
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6．
综合①②可知速度为4或6．
故答案为：4或6．
18．①②③⑤.
【分析】由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可.
【详解】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形，
∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴AD=EC，故①正确；
∴∠DAB=∠BEC，
又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠EBD=60°，
在△ABM和△EBN中，
∴△ABM≌△EBN（ASA），
∴BM=BN，故②正确；
∴△BMN为等边三角形，
∴∠NMB=∠ABM=60°，
∴MN∥AC，故③正确；
若EM=MB，则AM平分∠EAB，
则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，
故④不正确；
如图作
∵由上可知△ABD≌△EBC，
∴两个三角形对应边的高相等即，
∴是的角平分线，即有平分，故⑤正确.
综上可知：①②③⑤正确.
故答案为：①②③⑤.
三、解答题
19．解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
20．（1）解：和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边．
（2）解：，理由如下：
∵
∴
∴．
（3）解：∵
∴
∵
∴,即,解得．
21．（1）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
如图3，连接，过点A作于P，于N，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．
（3）
连接，
由（1）可得：，，
∵G、H分别是EC、BD的中点，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（1）解：图①中有3对全等三角形，它们是．
证明如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
在和中，
，
∴；
在和中，
∴；
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∵，
∴， 即，
在和中， ，
∴，
∴．
∵，和是对顶角，，
∴
∴，
所以与互相平分于G；
（3）第（2）题中的结论成立， 理由：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴．
∵
∴，
∴， 即第（2）题中的结论仍然成立．
23．解：问题1，如图1，延长FD到点G．使．连接CG，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
故他得到的正确结论是：；
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长FD到点G．使．连接CG，
∵ ，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
即；
问题3．如图3，在DF上取一点G．使．连接CG，
∵ ，，
∴，即 ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴．
即EF的长为6．
24．（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴；
（3）
解：，理由如下：
延长BD交CE于F，如图②：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．
（3）∠AFB=180°﹣α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．
26．（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）图②：．
证明：过点作交于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴，
∵
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
图③：．
证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．用两个全等的含60°的直角三角板能拼成几种四边形（ ）.
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）.
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果，那么
3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块即图中标有、、、的四块，你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）.
A．第块 B．第块 C．第块 D．第块
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠=∠AOB的依据是（ ）.
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
5．已知三个全等的三角形纸片如图摆放，则的大小为（ ）.
A．90° B．120° C．135° D．180°
6．如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是（ ）.
A．2 B．3 C．5 D．7
7．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）.
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
8．如图，△ACB≌△，∠BC＝30°，则∠AC的度数为（ ）.
A．20° B．30° C．35° D．40°
9．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（ ）.
A．x＝2，t＝ B．x＝2，t＝ 或x＝，t＝1
C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝，t＝
10．如图，在中，平分，过点作，交于点，交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．
12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片________即可
13．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为___．
14．如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
16．如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
18．如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有_________．
①；②；③；④；⑤平分
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
20．如图，已知，和是对应角，和是对应边，．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
(3)求的长．
21．以的、为边作和，且，，与相交于M，．
(1)如图1，求证：；
(2)在图1中，连接，则_____________，__________；（都用含的代数式表示）
(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．
22．如图，点在同一条直线上，，过分别作，若．
(1)图中有___________对全等三角形；
(2)求证：与互相平分于；
(3)若将的边沿方向移动变为图时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
23．【问题引领】
问题1：如图1，在四边形中，，，．E，F分别是AB，AD上的点．且．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使．连结CG，先证明，再证明．他得出的正确结论是____________．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，，，，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3，在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，若，，求EF的长．
24．如图在和中， ，，．
(1)当点D在AC上时，如图（1），求证： ．
(2)将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
(3)在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由．
25．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
26．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．
（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
答案
一、选择题
1．B
【分析】让长直角边，短直角边，斜边分别重合，得到组合图形的所有情况即可．
【详解】解：可拼出如下4种图形：
故选：B．
2．C
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题，不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
4．B
【分析】利用作法得到，，于是可根据“SSS”判定OCD，然后根据全等三角形的性质得到∠=∠AOB．
【详解】解：由作法，得，，
∴OCD( SSS)，
∴∠=∠AOB．
故选：B．
5．D
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6=180°，
又∵∠5+∠7+∠8=180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°.
故选D.
6．B
【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝7，
∴EF＝BC＝7，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
故选：B．
7．D
【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答．
【详解】解：A．∵AC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC，不符合题意；
B．∠B是AB、BC的夹角，故能唯一画出△ABC，不符合题意；
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC，不符合题意；
D．由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一画出三角形ABC，符合题意．
故选：D．
8．B
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ACB≌△，
∴∠ACB=∠，
∴∠ACB∠CB=∠∠CB，
∴∠AC=∠BC=30°，
故选：B．
9．D
【分析】分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP时AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可
【详解】解：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
可得：5=7－2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
可得：5=xt，2t=7－2t
解得：x=，t=．
故选D．
10．C
【分析】先根据两条角平分线和∠B的度数，得出∠APC的度数，随后即可得出∠PCD的度数，即可判断①正确；
根据角的等量转换得出，然后根据已知可得出∠BAD+∠BCP的度数，即可得出∠AFC+∠DCG的和，即可判断②正确；
由题目中的已知条件无法证明③；
在上截取一点H，使AH=AF，然后根据已知条件，证明和，从而得到，即可得到所求，即④正确；
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质可得PM=PN=PQ，然后即可推出，则⑤正确．
【详解】解析：①∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB，∠B=60°，
∴，
，
∴，故①正确；
②∵CF平分∠ACB，AD平分∠BAC，
∴
∵
∴
，故②正确；
③由题目中的已知条件无法证明BG=AE，故③错误；
④在上截取一点H，使AH=AF
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴
由②知
∴
∴
∴
∴，
∴，故④正确；
⑤作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，
则PM=PN=PQ，
∵S△APF=AF×PM，S△CPG=CG×PQ，S△APC=AC×PN，
∴S△APF+S△CPG=S△APC，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题
11．AB和AC,AD和AE,BD和CE
【分析】根据全等三角形的对应角所对的边为对应边求解即可．
【详解】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角，
∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边，
故答案为：AB与AC，AD与AE，BD与CE．
12．②
【分析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案是：②．
13．55°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据全等的性质求出∠BAC的度数，最后由角的和差即可求解．
【详解】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝80°，
又∠DAC＝25°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝80°﹣25°＝55°．
故答案为：55°．
14．0或2或4或6
【分析】根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，
①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，
②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，
∵，
∴（HL），
∵CP=2tcm，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，
∴，即，
解得：；
④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．
故答案为0或2或4或6．
15．2或或14
【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：①当0≤t＜时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝t，BN＝3t，AC＝7，BC＝11．
当MC＝NC，即7﹣t＝11﹣3t，即t＝2时△MEC≌△CFN．
∵ME⊥l，NF⊥l，∠ACB＝90°，
∴∠MEC＝∠CFN＝∠ACB＝90°．
∴∠MCE＝90°﹣∠FCN＝∠CNF．
在△MEC和△CFN中，
．
∴△MEC≌△CFN（AAS）．
②当≤t≤6时，3t﹣11＝7﹣t
t＝，即t＝△MEC≌△CFN．
③6＜t≤7时，不存在，
④当7＜t＜18时，点N停在点A处，点M在BC上，如图②，
当MC＝NC即t﹣7＝7，也即t＝14时，
同理可得：△MEC≌△CFN．
综上所述：当t等于2或14秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：2或或14．
16．①③④
【分析】①根据已知条件可以证明和全等，即可得∠1=∠2；
②没有条件可以证明，即可判断；
③结合①和已知条件即可得；
④根据，可得，
【详解】解：①在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴①正确；
没有条件可以证明，
∴②错误；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴③正确；
∵，
∴，
∴④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
17．4或6
【分析】设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，分两种情况讨论①当△BPD≌△CQP时，②当△BPD≌△CPQ时，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可．
【详解】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，
∵P点的速度为4，BC=16
∴BP=4t，PC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4．
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6．
综合①②可知速度为4或6．
故答案为：4或6．
18．①②③⑤.
【分析】由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可.
【详解】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形，
∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴AD=EC，故①正确；
∴∠DAB=∠BEC，
又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠EBD=60°，
在△ABM和△EBN中，
∴△ABM≌△EBN（ASA），
∴BM=BN，故②正确；
∴△BMN为等边三角形，
∴∠NMB=∠ABM=60°，
∴MN∥AC，故③正确；
若EM=MB，则AM平分∠EAB，
则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，
故④不正确；
如图作
∵由上可知△ABD≌△EBC，
∴两个三角形对应边的高相等即，
∴是的角平分线，即有平分，故⑤正确.
综上可知：①②③⑤正确.
故答案为：①②③⑤.
三、解答题
19．解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
20．（1）解：和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边．
（2）解：，理由如下：
∵
∴
∴．
（3）解：∵
∴
∵
∴,即,解得．
21．（1）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
如图3，连接，过点A作于P，于N，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．
（3）
连接，
由（1）可得：，，
∵G、H分别是EC、BD的中点，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（1）解：图①中有3对全等三角形，它们是．
证明如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
在和中，
，
∴；
在和中，
∴；
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∵，
∴， 即，
在和中， ，
∴，
∴．
∵，和是对顶角，，
∴
∴，
所以与互相平分于G；
（3）第（2）题中的结论成立， 理由：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴．
∵
∴，
∴， 即第（2）题中的结论仍然成立．
23．解：问题1，如图1，延长FD到点G．使．连接CG，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
故他得到的正确结论是：；
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长FD到点G．使．连接CG，
∵ ，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
即；
问题3．如图3，在DF上取一点G．使．连接CG，
∵ ，，
∴，即 ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴．
即EF的长为6．
24．（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴；
（3）
解：，理由如下：
延长BD交CE于F，如图②：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．
（3）∠AFB=180°﹣α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．
26．（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）图②：．
证明：过点作交于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴，
∵
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
图③：．
证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．