八年级数学上册试题 第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷-沪科版（含解析）

第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）.
A． B． C．D．
2．内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离．下列尺规作图正确的是（ ）.
A． B． C．D．
3．如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（ ）.
A． B． C． D．
4．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于直线m：x＝1对称，M，N分别是这两个三角形中的对应点．如果点M的横坐标是a，那么点N的横坐标是（ ）.
A．－a B．－a＋1 C．a＋2 D．2－a
6．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）.
A． B． C． D．
8．如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）.个
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）.
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于________（用含α、β表示）．
12．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是___三角形，△ABC的周长＝___cm.
13．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选____点（C或D）．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为_____．
15．在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则__________．
16．直线，点是，之间（不在直线，上）的一个动点．
图1 图2
（1）若与都是锐角，如图1，__________（填“>”，“<”或“=”）；
（2）若把一块三角尺（，）按如图2方式放置，点，，是三角尺的边与平行线的交点，若，__________°．
三、解答题（本大题共8小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-21每小题8分，第22小题10分，第23小题12分，第24小题14分）
17．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
18．如图所示，在平面直角坐标系．各顶点的坐标分别为：，，
(1)在图中作，使和关于x轴对称；
(2)写出点的坐标______；
(3)求的面积．
19．如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
20．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
(1)在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
(2)写出点A′，B′，C′的坐标．
21．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
(1)求证：AE＝BD；
(2)求证：MNAB．
(3)设AE和DB的交点为F，连FC，求证：FC平分∠AFB．
22．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
23．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF
(1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；
(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
24．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．
(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．
(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．
答案
一、选择题
1．A
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此对各选项一一判断即可．
【详解】解：B、C、D均是轴对称图形，A不是轴对称图形．
故选：A．
2．C
【分析】根据P到A、C两点的距离相等，可知P在AC的垂直平分线上，根据P到C和A到C的距离相等，可知A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上，由此判定即可.
【详解】解：∵P到A、C两点的距离相等
∴P在AC的垂直平分线上
又∵P到C和A到C的距离相等
∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上
故选C.
3．C
【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解．
【详解】如图，
由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠θ=∠4，
∴∠θ=60°，
故选C．
4．B
【分析】设∠ABD=∠CBD=x°，则∠ABC=2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF=CF，推出∠FCB=∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD= ∠CBD，
设∠ABD=∠CBD=x°，则∠ABC=2x°，
∵ EF是BC的垂直平分线，
∴BF= CF，
∴∠FCB=∠CBD= x°，
∵∠A= 60°，∠ACF= 45°，
∴60° +45° +x°+ 2x°= 180°，
解得： x= 25，
∴∠ABC= 2x°= 50°
故选：B．
5.D
【分析】根据对应点的中点在对称轴上，可得点N与M点的关系，根据解方程，可得答案
【详解】解：设N点的横坐标为b，
由△ABC与△DEF关于直线m=1对称，点M、N分别是这两个三角形中的对应点，得，
解得．
故选：D．
6.C
【分析】由题意易得，然后可判定①，进而可证，最后可求解问题．
【详解】解：∵平分，，，
∴，，
∴，故①正确；
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，故②正确；
∴垂直平分，故③正确；
由已知及①②③的结论无法得出垂直平分，故④错误；
∴正确的个数有3个；
故选C．
7.A
【分析】因为，所以当AE+EF最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接CE并延长，作点A关于射线CE的对称点M，连接AM，CM，连接FM交CE延长线于点N，连接AN，如下图：
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=
即
(SAS)
∴∠ABD=∠ACE
∵
∴,且BF平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=
∴∠BCE=
即点E在射线CE上运动
∵点A和点M关于射线CE对称
∴，CE⊥AM
∴
又∵
∴是等边三角形
∴AM=AC
∵BF⊥AC
∴FM=BF=2b
又∵
∴当AE+EF最小时，周长取得最小值
即AE+EF=MN+FN时，周长取得最小值
∴
故选：A
8.C
【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，则根据“SAS”可证明△APC≌△BPD，则可对①进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC＝150°，再利用PB＝PC和三角形内角和可计算出∠PBC＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，则可判断△ABD与△BCA不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判定方法可对⑤进行判断；延长CP交AB于H，计算出∠CHB＝90°，则可对⑥进行判断．
【详解】解：∵△ABP和△CDP是两个等边三角形，△APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴∠APC＝∠BPD＝150°，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正确；
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的中垂线上，所以③正确；
∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，
∴∠BPC＝150°，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝15°，所以④正确；
∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，
∴∠ABC≠∠BAD，
∴△ABD与△BCA不全等，所以②错误；
∵∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，
∴AD∥BC，所以⑤正确；
延长CP交AB于H，如图，
∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，
∴∠ABC＋∠PCB＝90°，
∴∠CHB＝90°，
∴PC⊥AB，所以⑥正确．
正确的有5个，
故选：C．
9.B
【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．
【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°
∴∠APB=135°，故①正确
∴∠BPD=45°
又∵PF⊥AD
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF
在△APH和△FPD中
∴△APH≌△FPD（ASA）
∴PH=PD
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD
∵∠HPD=90°
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP
∴S△EPH=S△EPD
∴S△APH=S△AED，故⑤正确
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH
∵DH∥BE
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE
∴∠CDE=∠ABC
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误
故选B．
10．B
【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DM=DE，AD=AD，AD是△ABC的角平分线，
∴△ADE≌△ADM，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∴MN=GN，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
∴△DFE≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMD=50﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】根据翻转变换的性质得到，，根据三角形的外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴由折叠的性质可知，，，
设，
∵，
∴，
解得：，
∴，
，
故答案为：．
12． 等边， 24
【详解】分析：根据轴对称图形的性质得出∠BAC=60°，AB=AC，BC=8cm，从而得出△ABC的性质以及△ABC的周长．
详解：∵AD是△ABC的对称轴∴AB=AC，∠DAC=30°， ∴∠BAC=2∠DAC=60°， ∴△ABC为等边三角形，
∵DC=4cm， ∴BC=2DC=8cm， ∴△ABC的周长=8×3=24cm．
13．C
【分析】先作出其中一点关于直线a的对称点，对称点与另一点的连线与直线a的交点就是所要找的点．首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
【详解】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故答案为C．
14．
【分析】作于，根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理列式求出，根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】解：作于，
，，，
，
由基本作图可知，是的平分线，
在和中，
，
（），
，，
，，
在中，，即，
解得，，
的面积.
故答案为：.
15．4
【分析】根据∠DEC的度数以及角平分线的定义算出∠A+∠ABC=230°，再结合AD∥BF，得出∠CBF=50°，利用算出∠BFC=90°，最后根据和算出结果.
【详解】解：∵，
∴∠EDC+∠ECD=180°-115°=65°，
又∵与的角平分线交于点，
∴∠ADC+∠BCD=65°×2=130°，
∴∠A+∠ABC=360°-130°=230°，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠CBF=230°-180°=50°，
∵，
∴∠BCE=40°，
∴∠BFC=90°，
∵，BF＞0，
∴，
解得：x=2，
即CE=2×2=4.
故答案为：4.
16． = 60
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作，由（1）可得，进而可得，证明是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图，过点作，
由（1）可得，
∵，
∴,
，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：60．
三、解答题
17．（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=EC，
∵BC=8，
∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）∵∠BAC=118°，
∴∠B+∠C=62°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠BAD+∠EAC=62°，
∠DAE=
18．（1）解：点关于x轴对称点的坐标，
点关于x轴对称点的坐标，
点关于x轴对称点的坐标，
依次连接，和，如图所示：即为所求，
（2）由题意得：点关于x轴对称点的坐标，
故答案为：．
（3）由图可得：
．
19．解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
故答案为（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示见解析；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由见解析.
20．（1）解：△A′B′C′如图，
（2）
点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．
21．（1）∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在与中，
∴（SAS），
∴；
（2）
∵由（1）得，，
∴，
∵，而A、C、B三点共线，
∴，
在与中，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵A、C、B三点共线，
∴．
（3）
作CP⊥AE，交AE于P点，作CQ⊥DB，交BD于点Q，如图，
∵△ACE≌△DCB，
∴，
∴，
∴PC＝CQ，
∴FC平分∠AFB，
得证．
22．（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF
∴
∵BC=AC、CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝AE+BE
∴AF＝AE+AD；
（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G
∵∠BAC＝∠EDF，
∴∠AED＝∠MFD，
∵AE=MF，ED=DF
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，
∵AC=DM
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF．
即AF＝AE+BC．
23．（1）AE+BF＝AB，如图1，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°．
∴∠ACD＝∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD＝BF
同理：△CBD≌△CAE（SAS）
∴BD＝AE
∴AE+BF＝BD+AD＝AB；
（2）
BF﹣AE＝AB，如图2，
同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD＝BF，BD＝AE，
∴BF﹣AE＝AD﹣BD＝AB；
（3）AE﹣BF＝AB，如图3，
同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD＝BF，BD＝AE，
∴AE﹣BF＝BD﹣AD＝AB．
24．（1）解：，
证明过程如下：由题意可知，
∵D为AB的中点，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
解：，
理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示，
∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
由题意知，
∴，
∴．
即．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴DE与DC之间的数量关系是．
（3）
如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示，
∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
由题意知，
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵ED⊥DC，
∴为等腰直角三角形，
∴．