八年级数学上册试题 第十四章《全等三角形》单元测试卷-沪科版（含解析）

第十四章《全等三角形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，，，则的对应边是（ ）.
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）.
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等
3．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ）.
A．54° B．56° C．60° D．66°
4．如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（ ）.
A． B． C． D．
5．如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
6．如图，、、、在同一直线上，，，添加下列哪个条件，可以证明（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，若≌≌，则的度数为（ ）.
A． B． C．600 D．
8．罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）.
A．25 B．38 C．70 D．135
9．已知，图中的面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连结，交于D，则的面积为（ ）.
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）.个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
11．已知，如图，点、分别在、边上，，，，则线段的长是_______．
12．如图，，，，，垂足分别为、，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动；点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动，点、点同时出发，当以、、为顶点的三角形与全等时，的值为 __．
13．已知，AD为的平分线，D、E、F…为的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2021个图形中有___________对全等三角形．
14．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接．设与相交于点，若四边形的周长为16，则四边形的面积是_________．
三、解答题（本大题共9个小题，共90分；第15-18每小题8分，第19-20每小题10分，第21-22每小题12分，第23小题14分）
15．如图，已知，，，，，．
(1)求的度数；
(2)求线段的长．
16．如图，一个特大型设备人字梁，工人师傅要检查人字梁的和是否相等但是他没有测量角度的工具，身边只有一个刻度尺（长度远远不够）他是这样操作的①分别在和上取；②在上取；③量出的长为米，的长为米，如果，则说明和是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
17．在中，，，直线经过点，且于，于，
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，猜想、、之间的关系，并请给出证明．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
(1)求、OB的长；
(2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．已知：B O A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．
（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是______，理由是___________．
（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．
（3）D点在公路OB上，O点到D点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．
20．在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，内角均为直角，的三个顶点均在“格点”处．
（1）将平移，使得点B移到点的位置，画出平移后的；
（2）利用正方形网格画出的高；
（3）连接、，利用全等三角形的知识证明．
21．如图，在和△ADE中，，，，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：．
(2)若，请直接写出的度数．
(3)过点A作于点H，求证：．
22．在中，，直线经过点C，且于D，于E，
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，显然有：（不必证明）；
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
23．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
答案
一、选择题
1．A
【分析】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC=DA．
【详解】解：∵ABC≌△CDA，
∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC与∠DCA是对应角，
∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．
故选A．
2．D
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，则A、C选项错误；
边长相等的所有等边三角形是全等，所以B选项错误；
故选：D．
3．D
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，
由三角形内角和定理得，，
∵两个三角形全等，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【详解】解：A、沿直角边所在的直线向右平移得到，则成立，故正确，不符合题意；
B、为直角三角形，则成立，故正确，不符合题意；
C、不能成立，故错误，符合题意；
D、为对应角，正确，不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】∵和全等，，对应
∴
∴AB=DF=4
故选：A．
6．D
【分析】根据题意可求出，再结合三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
A．与所证条件相同，结合题意，只有两条边对应相等，不能证明，不符合题意；
B．，结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“ASS”或“SSA”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意；
C．∵，
∴．
结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“ASS”或“SSA”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意；
D．，结合题意，即三条边对应相等，可利用“SSS”证明，符合题意．
故选D．
7．C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵≌≌，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴∠ABC=180°-90°-30°=60°．
故选：C．
8．B
【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个全等三角形；
第二个图形有个全等三角形；
第三个图形有个全等三角形；
第四个图形有个全等三角形；
第个图形有个全等三角形；
当时，（个．
故选：B．
9．D
【分析】根据题意：将沿方向移到的位置，使与重合，可得：，且；故为的中点；则的面积为的面积的一半．
【详解】解：由平移可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
为的中点，
又∵，
，
故选：D．
10．A
【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
【详解】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】根据三角形全等的性质可知，再根据求出线段的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．2或
【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可．
【详解】解：当时，则，，
，，
，，
，
，
解得；
当时，则，，．
，，
，，
，
解得；
由上可得的值是2或，
故答案为：2或．
13．2043231
【分析】根据题意可得如图1，△ABD≌△ACD，共1=对；如图2，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，共3= 对；△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△BEF≌△CEF，△BDF≌△CDF，△ABF≌△ACF，共6=对；由此发现规律，即可求解．
【详解】解：如图1，
∵AD为的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，共1=对；
同理，如图2，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，
∴BD=CD，BE=CE，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，共3= 对；
同理，如图3，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△BEF≌△CEF，△BDF≌△CDF，△ABF≌△ACF，共6=对；
……，
由此发现，第n个图形，全等三角形有对，
∴第2021个图形中有对全等三角形．
故答案为：2043231
14．
【分析】根据题意可知AE是BF的垂直平分线，可得AB=AF，BE=EF，再根据“AAS”证明△AOF≌△EOB，可得AF=BE，进而根据“四边相等的四边形是菱形”得出四边形ABEF是菱形，可知AF=AB=4，再说明△ABF是等边三角形，可求出BF=4，然后根据勾股定理求出AO，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案即可．
【详解】根据题意可知AE是BF的垂直平分线，
∴AB=AF，BE=EF．
∵∠FAO=∠BEO，∠AOF=∠BOE，BO=FO，
∴△AOF≌△EOB，
∴AF=BE，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AF=AB=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠C=60°，
∴∠BAF=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴BF=4，
∴OF=2．
在Rt△AOF中，，
∴．
∴．
故答案为：．
三、解答题
15．（1）解∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
16．解：合理，理由：
在和中，
，
，
．
17．证明（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在和中，
，
∴（AAS）；
②∵，
∴，，
∴；
（2）关系：；
证明：∵，，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴．
18．（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，；
（2）
解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示：
，，
∴的面积，
∵若的面积不大于3且不等于0，
∴，
解得：；
②当P在线段的延长线上时，如图所示：
∵，，
∴的面积，
∵若的面积不大于3且不等于0，
∴，
解得：；
即t的范围是且；
（3）解：∵，
∴，
分两种情况：①当P在线段上时，如图所示：
∵，
∴；
②当P在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴；
即存在这样的点P，使，t的值是3或9．
19．（1）线段PN为所求．
（2）P→C→Q路径最短，点C即为所求．
（3）如图，△CDP即为所求．
由题意得：
OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，
∴△COP≌△DOP（SAS），
∴CP=DP，
∴△CDP为等腰三角形．
20．（1）如图所示：
即为所求；
（2）如图所示：
即为所求
（3）连接、，如图所示：
由题意可得：，
∴
在和中
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
21．（1）证明：∵．
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴．
故答案为：50°．
（3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J．
∵，
∴，，
∵，．
∴，
∴．
在Rt△AFJ和中，
，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
22．解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．
23．（1）由题意知，
故答案为2；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：
FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，
∠FNK=∠FGH=90°，，
FH=FK，
又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，
，
MK=FN=2cm，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．