沪科版八年级数学上册试题第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册试题第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 815.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-06 14:49:07 | ||
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文档简介
第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为（ ）
A．22．下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题的逆命题是真命题的为（ ）．
A．如果，，则 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若，则
4．如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为（ ）
A．0.5cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2
7．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C． D．，
8．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的数学根据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性
9．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
10．下列说法正确的是（ ）
①近似数精确到十分位；
②在，，，中，最小的是；
③如图所示，在数轴上点所表示的数为；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
11．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，则c 的取值范围是______．
12．命题：“如果是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为______，这是一个______命题填“真”或“假”．
13．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，E是BC延长线上一点，∠DBE＝∠ABE，∠DCE＝∠ACE，则∠D的度数为________．
14．如图，在中，点为边上任意一点（点不与点、点重合），点、分别是线段、的中点，连接、．若的面积为，则的面积为______．
三、解答题（本大题共9个小题，共90分；第15-18每小题8分，第19-20每小题10分，第21-22每小题12分，第23小题14分）
15．如图，在四边形中，，平分交于点，连接．
(1)若，求证：．
(2)若，，求的度数．
16．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
17．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
已知： ．结论： ．
理由：
18．如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若，，求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）若，，则______用含、的式子表示
19．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，．求证：．
证明：延长交于点，则
．（ ）
又∵，
∴_______，（等量代换）
∴．（ ）
20．问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
21．如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线．
求证：ABD是“准直角三角形”．
(2)关于“准直角三角形”，下列说法：
①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”；
②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写序号）
(3)如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
22．【概念学习】定义：对于一个三位的自然数，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且，，2为整数；
643不是“好数”，因为，的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为______；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是______命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是_____命题；
【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
23．数学活动课上，老师提出了一个问题：
我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？
（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：
如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.
解：
⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.
答案
一、选择题
1．D
【分析】根据三角形的三边关系可得：，即，解之即可得解．
【详解】解：根据三角形三边关系可得：
，
即，
∴ ，
故选：D．
2．D
【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，根据题中各个选项所给的图形可知只有D选项符合，
故选：D．
3．C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解；A、如果a＞0，b＞0，则a+b＞0；逆命题是：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D、若a=6，则|a|=|6|的逆命题是若|a|=|6|，则a=6，是假命题．
故选：C．
4．A
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在中，，，
∴
，
∵平分，
∴，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．
【详解】在中，为中线,
．
，，
．
故选：B．
6．C
【分析】由点D为BC的中点，根据三角形中线的性质得到S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=S△ADC，则S△EBC=2S△EDC=S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△BCF=S△EBC=S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．
【详解】∵点D为BC的中点，
∴S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，
∵点E为AD的中点，
∴S△EDC=S△ADC，
∴S△EDC=S△ABC，
∴S△EBC=2S△EDC=S△ABC，
∵F点为BE的中点，
∴S△BCF=S△EBC=×S△ABC=×8=2（cm2）．
故选：C．
7．C
【分析】根据能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项不符合；
B、，不满足条件，故B选项不符合；
C、满足条件，不满足结论，故C选项符合；
D、，不满足条件，也不满足结论，故D选项不符合．
故选：C．
8．D
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
9．C
【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.
【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
10．B
【分析】根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．
【详解】①近似数精确到十位，故本小题错误；
②，，，，最小的是，故本小题正确；
③在数轴上点所表示的数为，故本小题错误；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
二、填空题
11．
【分析】根据平方和开算术平方根的非负性求出a和b，再根据三角形三边关系求出c的取值范围．
【详解】解：由原式可知：a-1=0；b-2=0
∴a=1，b=2
∴
∴1故答案为112． 如果是有理数，那么它是整数 假
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题：“如果是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果是有理数，那么它是整数”，这是一个假命题．
故答案为：如果是有理数，那么它是整数；假．
13．24°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，然后整理即可得解．
【详解】由三角形的外角性质得，∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，
∵∠DBE=∠ABE，∠DCE=∠ACE，
∴∠D+∠DBE=（∠A+∠ABE）=∠A+∠ABE，
∴∠D=∠A，
∵∠A=36°，
∴∠D=×36°=24°．
故答案为：24°
14．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：∵点是线段的中点，
∴，，
∴
∵的面积为，
∴，
∵点是线段的中点，
∴．
故答案为：．
三、解答题
15．（1）证明：，，，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，，
．
16．（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE-∠BED=6°②，
联立①②得，
解得：，
∴∠BED=27°．
17．已知：，，
求证：，
理由：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
18．解：，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
；
，BF是角平分线，
，，
；
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为．
19．解：延长交于点，则
．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵，
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
20．（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125°，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35°；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC -∠ABP，∠ACB=∠PCB -∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP -∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
21．（1）证明：如图①中，
∵在RtABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A＝90°，
∴ABD是“准直角三角形”．
（2）解：①∵∠B=70°，∠C=10°，
∴∠B+2∠C=90°，
∴ABC是“准直角三角形”．故①正确．
②∵∠C＞90°，∠A＝60°+2∠B＝100°
∴显然ABC不符合条件，故②错误，
③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，
∴α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故③正确．
故答案为①③．
（3）解：如图②中，
当时，则，
此时+2，符合题意；
同理可求，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”．
22．解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数;
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；
（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【深入思考】设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
23．⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180°.
∠DBC+∠BCE
=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A
=180°+∠A
即∠DBC+∠BCE－∠A=180°.
（2） ∠A+∠F=90°
∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，
∴∠CBF= ∠CBD，∠BCF= ∠BCE.
∴∠CBF+∠BCF= (∠CBD+∠BCE).
∵∠CBF+∠BCF=180°－∠F，∠DBC+∠BCE=180°+∠A.
∴180 －∠F = （∠CBD+∠BCE）= (180°+∠A)
∴ ∠A+∠F=90°.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为（ ）
A．2
A． B． C． D．
3．下列命题的逆命题是真命题的为（ ）．
A．如果，，则 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若，则
4．如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为（ ）
A．0.5cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2
7．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C． D．，
8．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的数学根据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性
9．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
10．下列说法正确的是（ ）
①近似数精确到十分位；
②在，，，中，最小的是；
③如图所示，在数轴上点所表示的数为；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
11．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，则c 的取值范围是______．
12．命题：“如果是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为______，这是一个______命题填“真”或“假”．
13．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，E是BC延长线上一点，∠DBE＝∠ABE，∠DCE＝∠ACE，则∠D的度数为________．
14．如图，在中，点为边上任意一点（点不与点、点重合），点、分别是线段、的中点，连接、．若的面积为，则的面积为______．
三、解答题（本大题共9个小题，共90分；第15-18每小题8分，第19-20每小题10分，第21-22每小题12分，第23小题14分）
15．如图，在四边形中，，平分交于点，连接．
(1)若，求证：．
(2)若，，求的度数．
16．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
17．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
已知： ．结论： ．
理由：
18．如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若，，求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）若，，则______用含、的式子表示
19．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，．求证：．
证明：延长交于点，则
．（ ）
又∵，
∴_______，（等量代换）
∴．（ ）
20．问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
21．如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线．
求证：ABD是“准直角三角形”．
(2)关于“准直角三角形”，下列说法：
①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”；
②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写序号）
(3)如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
22．【概念学习】定义：对于一个三位的自然数，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且，，2为整数；
643不是“好数”，因为，的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为______；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是______命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是_____命题；
【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
23．数学活动课上，老师提出了一个问题：
我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？
（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：
如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.
解：
⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.
答案
一、选择题
1．D
【分析】根据三角形的三边关系可得：，即，解之即可得解．
【详解】解：根据三角形三边关系可得：
，
即，
∴ ，
故选：D．
2．D
【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，根据题中各个选项所给的图形可知只有D选项符合，
故选：D．
3．C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解；A、如果a＞0，b＞0，则a+b＞0；逆命题是：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D、若a=6，则|a|=|6|的逆命题是若|a|=|6|，则a=6，是假命题．
故选：C．
4．A
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在中，，，
∴
，
∵平分，
∴，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．
【详解】在中，为中线,
．
，，
．
故选：B．
6．C
【分析】由点D为BC的中点，根据三角形中线的性质得到S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=S△ADC，则S△EBC=2S△EDC=S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△BCF=S△EBC=S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．
【详解】∵点D为BC的中点，
∴S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，
∵点E为AD的中点，
∴S△EDC=S△ADC，
∴S△EDC=S△ABC，
∴S△EBC=2S△EDC=S△ABC，
∵F点为BE的中点，
∴S△BCF=S△EBC=×S△ABC=×8=2（cm2）．
故选：C．
7．C
【分析】根据能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项不符合；
B、，不满足条件，故B选项不符合；
C、满足条件，不满足结论，故C选项符合；
D、，不满足条件，也不满足结论，故D选项不符合．
故选：C．
8．D
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
9．C
【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.
【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
10．B
【分析】根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．
【详解】①近似数精确到十位，故本小题错误；
②，，，，最小的是，故本小题正确；
③在数轴上点所表示的数为，故本小题错误；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
二、填空题
11．
【分析】根据平方和开算术平方根的非负性求出a和b，再根据三角形三边关系求出c的取值范围．
【详解】解：由原式可知：a-1=0；b-2=0
∴a=1，b=2
∴
∴1
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题：“如果是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果是有理数，那么它是整数”，这是一个假命题．
故答案为：如果是有理数，那么它是整数；假．
13．24°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，然后整理即可得解．
【详解】由三角形的外角性质得，∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，
∵∠DBE=∠ABE，∠DCE=∠ACE，
∴∠D+∠DBE=（∠A+∠ABE）=∠A+∠ABE，
∴∠D=∠A，
∵∠A=36°，
∴∠D=×36°=24°．
故答案为：24°
14．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：∵点是线段的中点，
∴，，
∴
∵的面积为，
∴，
∵点是线段的中点，
∴．
故答案为：．
三、解答题
15．（1）证明：，，，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，，
．
16．（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE-∠BED=6°②，
联立①②得，
解得：，
∴∠BED=27°．
17．已知：，，
求证：，
理由：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
18．解：，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
；
，BF是角平分线，
，，
；
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为．
19．解：延长交于点，则
．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵，
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
20．（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125°，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35°；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC -∠ABP，∠ACB=∠PCB -∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP -∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
21．（1）证明：如图①中，
∵在RtABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A＝90°，
∴ABD是“准直角三角形”．
（2）解：①∵∠B=70°，∠C=10°，
∴∠B+2∠C=90°，
∴ABC是“准直角三角形”．故①正确．
②∵∠C＞90°，∠A＝60°+2∠B＝100°
∴显然ABC不符合条件，故②错误，
③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，
∴α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故③正确．
故答案为①③．
（3）解：如图②中，
当时，则，
此时+2，符合题意；
同理可求，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”．
22．解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数;
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；
（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【深入思考】设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
23．⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180°.
∠DBC+∠BCE
=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A
=180°+∠A
即∠DBC+∠BCE－∠A=180°.
（2） ∠A+∠F=90°
∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，
∴∠CBF= ∠CBD，∠BCF= ∠BCE.
∴∠CBF+∠BCF= (∠CBD+∠BCE).
∵∠CBF+∠BCF=180°－∠F，∠DBC+∠BCE=180°+∠A.
∴180 －∠F = （∠CBD+∠BCE）= (180°+∠A)
∴ ∠A+∠F=90°.