2023-2024学年四川省成都市嘉祥教育集团高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省嘉祥教育集团高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.设非零向量，满足，则
( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，其中线段的中点在轴上，且的面积为，则可以为( )
A.
B.
C.
D.
7.设的内角，，的对边分别为，，，且满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若与都是单位向量，则
B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C. 若与是平行向量，则
D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
10.已知函数，则( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在上的最大值为
D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称
11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )
A. 是的一个周期 B. 在上有个零点
C. 的最大值为 D. 在上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正方形的边长是，是的中点，则 ______．
13.在凸四边形中，若，，，，，则 ______．
14.已知函数，若对任意，都有，且，则当时，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简：，并指出的取值范围．
16.本小题分
已知向量，，求作向量，使，表示、、的有向线段能构成三角形吗？
17.本小题分
已知复数，，，它们所对应的点分别为、、，在复平面上构成一个正方形的三个顶点．
画出示意图，验证说明；
求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
18.本小题分
已知，在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
已知是内一点，，，动点满足，是的中点．
判断的形状，并求的面积；
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为为纯虚数，
所以，则，
故，
所以．
故选：．
先利用复数的乘法运算化简，然后由纯虚数的定义求出的值，从而得到，再利用模的定义求解即可．
本题考查了复数的运输业，主要考查了复数的乘法运算以及复数的定义、复数模的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题．
由已知得，从而，由此得到．
【解答】
解：非零向量，满足，
，
即，
整理得，
解得，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：由，，
得，，
若，
则，
即．
故选：．
由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解．
本题考查平面向量的坐标加减运算与数乘运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，
画出两个函数的图象，
则当时，，而，且，
则恒成立，故与在上无交点；
当时，单调递减，而单调递增，且，
且，故与在上有且只有一个交点；
当时，由图可知，与均单调递增，
且，故与在上无交点；
当时，因，
故与在上无交点．
综上，与的交点个数为．
故选：．
由题意可得函数的解析式，在同一个坐标系中，画出两个函数的图象，可知两个函数的的交点个数．
本题考查数形结合求函数的交点个数，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，、
则，即，即，即，
故．
故选：．
先结合三角函数的诱导公式，同角公式，将弦化切，再结合正切的两角和公式，即可求解．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由函数的部分图象，且线段的中点在轴上，
所以，，
所以的最小正周期为，所以，
又因为的面积为，所以，
又因为，所以，，，解得，；
所以，．
故选：．
由函数的部分图象，结合题意，求出最小正周期和、、的值，即可写出的解析式．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
可得，
所以，
则．
故选：．
由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而即可求解．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，故，
，当且仅当，即时，等号成立．
故选：．
由，得，将已知三角式弦化切，化简变形得到，再由基本不等式即可得到结果．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：由于若与都是单位向量，则，故A错误；
对于：方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量，故B正确；
对于：若与是平行向量，则，故C错误；
对于：若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合，故D正确．
故选：．
直接利用向量的定义，单位向量，共线向量判断、、、的结论．
本题考查的知识点：向量的定义，单位向量，共线向量，主要考查学生的对基础知识的理解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，
因为，所以A错误；
因为，
所以的图象关于点对称，B正确；
若，则，
因为函数在上单调递增，所以，C正确；
，
则，所以为偶函数，其图象关于轴对称，D正确．
故选：．
先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性，最值求解及函数图象变换检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦函数的对称性，最值的求解，还考查了函数图象变换，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：的周期为，的周期为，的周期为，故A正确；
由，得，得或，
，，，，则在上有个零点，故B正确；
函数的最大值在上取得，
由，可得，当时，单调递减，原函数单调递增，
当时，单调递减，原函数单调递减，则当时，原函数求得最大值为，故C正确；
，，在上不是增函数，故D错误．
故选：．
求出函数与的周期，取最小公倍数求原函数的周期判断；求出函数的零点个数判断；利用导数求最值判断；举例说明D错误．
本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，训练了利用导数求最值，属难题．
12.【答案】
【解析】解：因为正方形的边长是，是的中点，
所以，，
所以，，
所以．
故答案为：．
以为基底向量表示，，再结合数量积的运算律运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，由，，，
可得，即，
又，，则有，
则，即，
在中，由正弦定理，可得，
故，
所以．
故答案为：．
由余弦定理解得，从而得，即，在中，由正弦定理，得，由诱导公式即可求得．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
由于，
故，
所以，
故，
由于，所以，
故函数的最小值为．
故答案为：．
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成余弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：，
原式．
由于的取值满足，，且，
故的取值范围是，且且，．
【解析】直接利用函数的关系式的变换和函数定义域求出结果．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的定义域，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：如图所示，当三个向量中有两个不共线时，
作平行四边形，
使得，，
则，
，
，
，
因此表示，，的有向线段能构成三角形．
当三个向量中有两个共线时，不能构成三角形．
【解析】如图所示，作平行四边形，使得，，可得，由于，可得，即可得出．
本题考查了向量的平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题．
17.【答案】解：设正方形的第四个顶点对应的复数为，，，如图：
，．
于是，
；
因为点与点关于原点对称，所以原点为正方形的中心，
点也是与连线的中点，于是由 ，
，，
故D对应的复数为；
法；
同理．
，
，
，
解得 ，，
故点对应的复数．
【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则，向量的数量积运算即可得出．
本题主要考查复数的概念，复数的几何意义，向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题．
18.【答案】解：中，，
由正弦、余弦定理知，，
所以，解得．
由题意得，
所以，又因为，所以，
所以，解得，所以．
由正弦定理得：，所以 ，；
所以
．
因为，所以，
所以周长的取值范围是
【解析】根据题意，利用正弦、余弦定理化简求解，即可求出的值．
由题意求出，由表示，利用正弦定理求出和，计算的取值范围，即可求出周长的取值范围．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
19.【答案】 解：因为，所以是的外心．
又，所以，所以，即．
同理，可得，，所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，则是的中心．
因为，解得，
所以正三角形的边长为，面积为．
以为原点建立平面直角坐标系，如图，则，，．
由，设点的坐标为，其中，
因为是的中点，所以，则，
所以，
当时，取得最大值．
【解析】根据条件计算可得是正三角形，再由求出的边长，再由正三角形的面积公式计算即可；
建立平面直角坐标系，根据，得到动点的轨迹，并设，，将表示成关于的三角函数，求最值即可．
本题考查平面向量的数量积运算，涉及三角函数的最值求法，属于中档题．
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