2023-2024学年浙江省绍兴市会稽联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省绍兴市会稽联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位若复数为纯虚数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角( )
A. B. C. D.
5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为( )
A. B. C. D.
8.已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，下列命题正确的有( )
A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数为
C. D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10.给出下列四个命题，其中正确的是( )
A. 在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为
B. 在中，若，则为等腰直角三角形
C. 在中，若，，，则在方向上的投影向量的模为
D. 在中，若，则点为的重心
11.已知在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若的面积为，，则( )
A.
B. 边的取值范围是
C. 面积取值范围是
D. 周长取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是菱形，且，，则原四边形的面积是______．
13.已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______．
14.已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在长方体中，，，，为棱的中点．
Ⅰ求三棱锥的表面积；
Ⅱ求四棱锥的体积．
16.本小题分
如图，已知等腰梯形，，，，点满足，点在上，满足交于，设，．
Ⅰ用，表示，并求的模；
Ⅱ求的长．
17.本小题分
已知复数，，其中为虚数单位若．
Ⅰ若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标；
Ⅱ若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
18.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点．
Ⅰ若为的中点，，，求边；
Ⅱ若平分，，，求的面积．
19.本小题分
如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记．
Ⅰ若，求的长；
Ⅱ求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
对于，，故不成立，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，
，即，故C正确，D错误．
故选：．
根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为复数为纯虚数，
则，，
．
故选：．
由已知结合复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，是平面内的一组基底，
若向量与共线，则存在实数使得，，
所以，所以，．
故选：．
由已知结合向量共线定理即可求解．
本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：若，则，
整理得，，
由余弦定理得，，
因为为三角形内角，
故A．
故选：．
由已知结合正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设，圆台的高为，圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则，，
解得，，
所以圆台的表面积，
解得，
所以圆台的高．
故选：．
设，圆台的高为，圆台的上底面半径为，下底面半径为，由弧长公式可得，，再利用圆台的表面积公式求出的值，进而求出圆台的高．
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的表面积公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，点满足，点为的外心，
则．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，考查了转化与化归思想及运算能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：作出图形，如下图：
由题意可知，，
因为圆锥的底面积为，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
设截面的顶角为，则，
因为，
所以截面三角形面积，
所以当时，取得最大值．
故选：．
根据题意求出圆锥的轴截面三角形的顶角为，设截面的顶角为，则，所以截面三角形面积，再结合正弦函数的性质求解．
本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设外接圆的半径为，
因为，，
由余弦定理可得，，
所以，
由正弦定理可得，，即，
因为直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，球的体积为，
即球的半径，
由直三棱柱和球的性质可知，，
即，
所以，
故该三棱柱的体积．
故选：．
先结合余弦定理求出，然后结合正弦定理求出外接圆的半径，再结合三棱柱及球的体积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，还考查了球及三棱锥体积公式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为复数，所以的虚部为，选项A错误；
由共轭复数的定义知，的共轭复数为，选项B正确；
由复数模长计算公式知，，选项C正确；
由复数的几何意义知，在复平面内对应的点为，在第一象限，选项D正确．
故选：．
根据复数的定义与运算公式，化简，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，若角为钝角，则有且与不共线，
故且，解得且，故A错误；
选项B，由，可得，
即，两边平方可得，即，
即为直角三角形，故B错误；
选项C，由余弦定理可得，
所以在方向上的投影向量的模为，故C正确；
选项D，设的中点为，若，
可得，所以点为的重心，故D正确．
故选：．
由向量数量积运算及共线向量的坐标关系，求得的范围可判定；由向量的线性运算及数量积运算可判定；由投影向量的概念可判定；由重心定义可判定．
本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：设的面积为，则，
又由题意可得，
所以，即，
因为，
所以，故A正确；
由余弦定理可得，
由锐角，结合余弦定理可得，，，
即为，，，
解得，故B正确；
由面积，故C正确；
周长为，
由于和在递增，可得在递增，
即有周长的取值范围是，故D错误．
故选：．
由三角形的余弦定理和面积公式、锐角三角形的定义和函数的单调性，对各个选项分析，可得结论．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，直观图是菱形，且，，
则直观图的面积，
故原图的面积．
故答案为：．
根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图的关系，分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
设，则，
设，，，
所以，
所以
．
故答案为：．
由已知结合复数的三角表示及复数的几何意义即可求解．
本题主要考查了复数的三角表示，复数几何意义的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
整理得，，
所以，，
因为，
因为，解得，，
所以，
由正弦定理得，，
因为，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值．
故答案为：．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，然后结合正弦定理，和差角公式，二倍角公式表示，，代入到中进行化简，再由余弦函数及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦定理和差角公式，二倍角公式在三角化简求中的应用，还考查了二次函数及余弦函数的性质，属于中档题．
15.【答案】解：因为在长方体中，，，，为棱的中点，
所以，
；
．
【解析】分别求出各个面的面积即可求解；
根据即可求解．
本题考查几何体表面积与体积的计算，属于中档题．
16.【答案】解：等腰梯形，，，，，
，
，
为的中点，且，
则，
由已知可得，，，，
，
；
，
在中，．
【解析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的定义及性质即可求解；
Ⅱ结合向量的夹角公式及数量积的定义即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的定义及性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，，，
，，则在复平面内对应的点的坐标；
是关于的方程的一个根，
，得，
，解得．
【解析】Ⅰ利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出复数，从而可求出在复平面内对应的点的坐标；
Ⅱ利用复数相等的条件即可求出实数，的值．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
18.【答案】解：，
则，
由为三角形的内角得，，
为的中点，
，
平方得：，
又，
由余弦定理得：，
；
设，
若平分，，
，
又，得，，
平分，
，
即，
则，，
在中，，
，
所以．
【解析】由已知结合辅助角公式进行化简可求，然后结合向量的线性运算及向量数量积的性质及余弦定理即可求解；
Ⅱ结合角平分线性质可求，，然后结合余弦定理及同角基本关系可先求出，然后结合三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，由题意为锐角，
所以；
易知此时为直角三角形，则为中点，与重合，
所以；
在中，由正弦定理可得：；
在中，由正弦定理可得：，
因为，
令，则，
所以，
当且仅当时取等号．
的最小值为．
【解析】Ⅰ由题意可得的大小，进而在可得的大小；
Ⅱ由正弦定理可得的表达式，在中，由正弦定理可得的表达式，进而可得的表达式，换元，由角的范围及基本不等式可得的最小值．
本题考查正弦定理及两角和正弦公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
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