2024年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学模拟试卷（含解析）

2024年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某次数学测试的平均成绩是分，小王得了分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了分．( )
A. B. C. D.
2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“小满”、“大雪”、“立夏”，其中既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.“东临碣石，以观沧海水何澹澹，山岛竦峙”这首诗展现了诗人的壮阔胸襟其中的“海”指的是“渤海”渤海的面积是平方千米，用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.七年级班有名学生，数学老师组织课堂十分钟答题比赛，学生答对的数量统计如下：
答对个数个
学生人数人
为提高学生的积极性，数学老师准备实行“奖励大多数”的措施，决定用答题正确个数的众数来作为奖励标准，则奖励数量为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知下列尺规作图：作一个角的角平分线；作一个角等于已知角；作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是( )
A. B. C. D.
7.在生活中的平移现象的数学讨论课上，小王和小李先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接如图，经测量发现的为，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
8.某校预安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住人，则有人住不下，若每间住人，则有间只住人且空余间宿舍设该校七年级男寄宿生有人，预安排给七年级男寄宿生的宿舍有间，则下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的点出发，沿俯角为的方向先滑行一定距离到达点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的处若，则该运动员滑行的水平距离为米？( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点则下列说法正确的个数为( )
；
；
若，则；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.的算术平方根是______．
12.中国古代的五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，若从这五部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是诗经和春秋的概率是______．
13.若，是关于的方程的两个实数根，则 ______．
14.如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、恰好落在双曲线上，且点在上，交轴于点当平分时，正方形的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算．
17.本小题分
小深在对多项式“化简求值”的过程中，发现只需要知道字母______填或的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于，请将这个多项式先化简，再求值．
18.本小题分
某校开展传统文化知识竞赛活动，名七年级学生和名八年级学生全部参赛老师从两个年级中各随机抽取了名学生的成绩，具体如下：
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
又对这些成绩进行了整理、分析数据不完整；
【整理数据】
分数段分组 七年级人数 人数
【分析数据】
项目 平均数 中位数 满分率
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
请完成条形统计图，并写出，的值．
你估计八年级在本次测试中一共有多少人能取得满分？
你认为哪个年级本次知识竞赛的总体水平更好，请说明理由．
19.本小题分
年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型已知销售店老板购进个“神舟”模型和个“天宫”模型一共需要元；购进个“神舟”模型和个“天宫”模型一共需要元．
求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
该航天模型销售店计划购进两种模型共个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半若每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
20.本小题分
如图，是的外接圆，点在上，，交于点，交延长线于点．
求证：是的切线；
如图，若是直径，动点运动到与点在直径同侧，且求证：．
21.本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替垄与垄之间没有空隙布满整个大棚．
素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量与垄宽有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和．
花生垄个数：______；
木薯垄个数：______；
产量之和：______．
22.本小题分
如图，在矩形中，，，动点、分别从点、点同时以每秒的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，连接，设点运动的时间为．
如图，在点、运动过程中点与点的最短距离为______；当时，求的值；
作，与边相交于点，连接，延长交边于点求的正切值用含的代数式表示；如图，当时，试探究线段、、三者之间的等量关系，并加以证明；如图，连接，若平分，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：某次数学测试的平均成绩是分，小王得了分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了分，
故选：．
根据低于标准记为负，正数和负数表示相反意义的量，可得一个数的表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2.【答案】
【解析】解：图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，即：，
，且，即：，，
，
是等边三角形，
故选：．
将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解，
本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握因式分解．
5.【答案】
【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
决定用答题正确个数的众数来作为奖励标准，则奖励数量为个．
故选：．
根据众数的定义即可得到结论．
本题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由作图可知，作图正确的有，
故选：．
根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】解：根据平移性质，得到四边形是平行四边形，又，，
故AD，
，，
故四边形的周长为．
故选：．
根据平移性质，得到四边形是平行四边形，得到，，计算即可．
本题考查了直角三角形的特征量，勾股定理，平移性质，平行四边形的性质，熟练掌握平移性质，平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意得．
故选：．
根据每间宿舍住人，则有人住不下，若每间住人，则有间只住人且空余间宿舍，列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
9.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，，
，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
该运动员滑行的水平距离为，
故选：．
过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在中，，
，
平分，平分，
，，
，故正确；
当是的中线时，，
而平分，故错误；
如图，延长至，使，连接，
，
，
，
≌，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故正确；
如图，作的平分线交于点，
由得，
，
，
，
，，
≌，≌，
，，
，故正确；
故选：．
根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
当是的中线时，，进而可以进行判断；
延长至，使，连接，根据，证明≌，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；
作的平分线交于点，可得，证明≌，≌，可得，，进而可以判断．
本题考查了三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度．
11.【答案】
【解析】解：，的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
12.【答案】
【解析】解：把诗经尚书礼记周易春秋分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是诗经和春秋的结果有种，
抽取的两本恰好是诗经和春秋的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是诗经和春秋的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
故答案为：．
利用方程根的定义及根与系数的关系可求得答案．
本题考查了考查方程根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14.【答案】
【解析】解：四边形是的内接四边形，，
，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，作轴，轴，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
作于点，
平分，
，
在中，，
，
轴，轴，
∽，
，
，
，
设，则，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
，，，
．
连接，作轴，轴，可证明≌得到，，作于点，可得，利用∽，得到，设，则，根据点在反比例函数图象上列出，求出值，得到，，，据此计算正方形面积即可．
本题考查了反比例函值几何意义，熟练掌握正方形性质是关键．
16.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
17.【答案】
【解析】解：
，
只要知道的值即可，
当时，上式．
故答案为：，
先计算小括号，合并同类项，再计算除法，可得结论．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
18.【答案】解：由频数统计表中的数据可知，七年级分数段组，即的人数为人，
因此补全条形统计图如图所示：
七年级学生成绩的平均数分，
将样本中八年级名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，
所以八年级名学生的成绩的中位数是，即；
人，
答：估计八年级在本次测试中约有人能取得满分；
八年级的学生成绩较好，
理由：不论是学生成绩的平均数、中位数，还是满分率八年级的学生均比七年级的学生的高，
所以八年级学生成绩较好．
【解析】根据频数分布表中的数据即可补全条形统计图，根据平均数、中位数的计算方法求出样本中七年级名学生成绩的平均数，八年级名学生成绩的中位数即可；
求出样本中八年级学生得分为分的学生所占的百分比，进而估计总体中分学生所占的百分比，利用频率进行计算即可；
从平均数，中位数以及满分率的大小进行判断即可．
本题考查频数分布表，条形统计图，中位数、平均数，掌握平均数、中位数的计算方法以及频率是正确解答的关键．
19.【答案】解：设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元．
由题意得：，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元；
设购进个“神舟”模型，则购进 个“天宫”模型，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，为正整数，
当时，取得最大值，
答：当购进个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是元．
【解析】设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元．根据销售店老板购进个“神舟”模型和个“天宫”模型一共需要元；购进个“神舟”模型和个“天宫”模型一共需要元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进个“神舟”模型，则购进 个“天宫”模型，根据“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．列出一元一次不等式，解得，再设利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
20.【答案】证明：连接，、，、，如图：
，
，
，
是线段的中垂线，
，
又，
，
是半径，
是的切线；
过点作交于点，连接，如图：
是直径，
，
，
，
又，，
，
，
在等腰直角中，，
，，
，
≌，
，
又，
．
【解析】连接，、，、，由，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
过点作交于点，连接，如图：根据圆周角定理得到，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，线段垂直平分线，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：任务：设，把、、代入得，
，
解得，
花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务：当时，，
解得，，
要使，需满足，
，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，
，
，
，，
共种方案：
方案一：花生垄，木薯垄，此时，，，此时花生垄宽，总产量为；
方案二：花生垄，木薯垄，此时，，，此时花生垄宽，总产量为；
方案三：花生垄，木薯垄，此时，，，此时花生垄宽，总产量．
故答案为：，，．
任务：用待定系数法可得花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务：当时，得，，故要使，需满足，即可得花生垄宽范围为大于等于米，小于等于米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务可知，由，，可知有种方案，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解．
22.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，则点与点的最短距离为的长，
在矩形中，，，，
，
，
，
解得：，
即点与点的最短距离为；
故答案为：；
根据题意得：，
，，
，
，
即，
解得：；
如图，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
，
，
；
，证明如下：
如图，连接，
当时，，
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
，
，
在中，，
；
如图，设，交于点，
根据题意得：，，
平分，，，
，
，
≌，
，
垂直平分，
，
在中，，
在中，，
解得：，
，
，
．
过点作于点，则点与点的最短距离为的长，根据勾股定理求出的长，再由，即可求解；
根据平行线分线段成比例，可得关于的方程，即可求解；
过点作于点，在和中，根据锐角三角函数可得，，，即可求解；
连接，当时，，证明≌，可得，，再由，可得，然后根据勾股定理，即可求解；
设，交于点，根据角平分线的性质定理，可得，再证明≌，可得，从而得到垂直平分，进而得到，然后在和中，根据锐角三角函数可得，再由平行线分线段成比例，即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键．
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