2024年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2024年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3.如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.估计的运算结果应在( )
A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间
5.如果两个相似三角形的周长之比为：，那么这两个三角形的面积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.下列判断不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，，分别为边，的中点，延长至，使，则四边形一定是( )
A. 对角线互相垂直的四边形 B. 菱形
C. 正方形 D. 矩形
9.小丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知点、、在函数位于第二象限的图象上，点、、、在函数位于第一象限的图象上，点、、在轴的正半轴上，若四边形、、都是正方形，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.使函数有意义的的取值范围是______．
12.分解因式： ______．
13.为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是______．
平均数 中位数 众数 方差
14.把图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图，图所示的正方形，则图中菱形的面积为______．
15.如图，，与分别相切于点，，，，则 ______．
16.验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
解不等式组：．
20.本小题分
如图，在中，，点为边上一点，且满足．
求证：．
若，，求的值．
21.本小题分
在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学、科技兴趣、民族体育、艺术鉴赏、劳技实践，每个学生每个学期只参加一个社团活动为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
将条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，传统国学对应扇形的圆心角度数是______；
若该校有名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数；
若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一个社团的概率．
22.本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．
求证：直线是的切线；
若，，求和的长．
23.本小题分
某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上
求点到地面的距离；
求该建筑物的高度．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是原点直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
求这条抛物线的函数表达式．
点是直线上的一个动点，设点的横坐标为，
若的面积为，求关于的函数表达式；
在直线上取，在的左侧，在直线的下方作正方形，求正方形与抛物线有两个交点时的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】
解：沿对称中心旋转度后能与原图重合，是中心对称图形，故A符合题意；
B.沿中心旋转度后不能与原图重合，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.沿中心旋转度后不能与原图重合，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.沿中心旋转度后不能与原图重合，不是中心对称图形，故D不符合题意．
3.【答案】
【解析】解：从正面看，一共有三层，底层是两个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
即的运算结果应在到之间．
故选：．
先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5.【答案】
【解析】解：两个相似三角形的周长之比为：，
两个相似三角形的相似比是：，
这两个三角形的面积之比为：：．
故选：．
相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．
6.【答案】
【解析】解：、若，则，此选项正确；
B、若，则，此选项正确；
C、若，则，没有注明，此选项错误；
D、若，则，此选项正确．
故选：．
利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
此题考查不等式的性质：性质、不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个式，不等号的方向不变．
性质、不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
性质、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变改变．
7.【答案】
【解析】解：、，所以选项不正确；
B、，所以选项不正确；
C、，所以选项不正确；
D、，所以选项正确．
故选：．
根据二次根式的性质得到；对于，先确定符合，再根据二次根式乘法法则得到；、根据二次根式的性质和乘法法得到；对于，先计算根号内的运算得到．
本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算；运用二次根式的性质和乘法法则进行运算．
8.【答案】
【解析】解：是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，分别为边，的中点，
，
，
，
，
四边形是矩形；
故选：．
先证明四边形是平行四边形，再证明即可．
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
．
，
在和中，
，
≌，
，，
、分别为和，
，
，
，
答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的．
故选：．
由直角三角形的性质得出，根据可证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案．
本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：是正方形，
与轴的夹角为，
的解析式为，
联立方程组得：，
解得，．
点的坐标是：，
；
同理可得：正方形的边长；
依此类推，正方形的边长是为．
故选：．
根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
先提取公因数，然后再运用平方差公式因式分解即可．
本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
【解答】
解：
；
故答案为：．
13.【答案】中位数
【解析】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故答案为：中位数．
根据中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．
14.【答案】
【解析】解：设图中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，
，得，
图中菱形的面积为：，
故答案为．
根据题意和图形，可以先设图中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据图和图可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图中菱形的面积．
本题考查正方形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】
【解析】解：连接，如图，
，分别与相切于点、，
，
，
又，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
先判断出，进而判断出是等边三角形，即可得出结论．
本题主要考查了切线长定理，判断出是等边三角形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了度，
故答案为：．
由已知设，则有图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值及绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：由得：，
由得，，
不等式组的解集为
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20.【答案】证明：在和中，
为公共角，，
∽，
，
即；
解：过点作于点，
所以，
又为公共角，
∽，
，
由知，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
在中，．
【解析】根据两角分别相等的两个三角形相似即可证得；
根据中的结论求出的长，即可求出的长，勾股定理求出的长，再证∽，求出、的长，于是求出的长，最后根据正切的定义计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：抽查总人数为名，
则社团人数为：名，
补全条形统计图如下：
，
故答案为：；
名，
答：该校本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数大约有名；
画树状图为：
由图知，一共有种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个社团的有种结果，所以两人恰好选择同一个社团的概率为．
故答案为：．
先用劳技实践的人数乘以劳技实践所占的百分比求得抽查总人数，再用抽查总人数减去其它社团人数求出社团人数即可；
用乘以传统国学所占的百分比即可求解；
用该校总人数乘以参加艺术鉴赏活动所占的百分比可求解；
画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、画树状图法求概率，理解题意，能从统计图中获取关联信息是解答的关键．
22.【答案】证明：连接．
为的直径，
直径所对的圆周角是直角，
直角三角形的两个锐角互余；
又，，
平分，即；
，
，
，即，
是半径，
为的切线；
解：由知：，，，
，
，
，
过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
．
【解析】连接欲证是的切线，只需证明即可；
根据，，求得，进而求得，过点作于点，则解直角三角形求得，然后由三角形相似知，从而求得的值．
本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及勾股定理．
23.【答案】解：过点作，交的延长线于点，
，
解得，
．
点到地面的距离为．
过点作于点，
则，
设，则，
在中，，
解得，
，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
居民楼的高度为．
【解析】过点作，交的延长线于点，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到；
过点作于点，则，设，则，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24.【答案】解：直线与轴、轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
，，
抛物线经过点，与轴的另一个交点为，
，
解得：
抛物线的函数表达式为；
，，
，
点是直线上的一个动点，点的横坐标为，
，
，
直线经过点，
当时，，
当时，；
；
设直线与抛物线的另一个交点为，
联立：，
解得：或，
，
，，
，，
，，
四边形是正方形，
，，．
当点在轴上时，如图，
则．
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
将代入得：
，
解得：，
，
联立，
解得：或，
直线与抛物线交于点和，
，当时，，
，顶点坐标为，
即：直线经过点和；
当正方形与抛物线有两个交点时，分两段：
点移动到跟点重合时，再向下移动直至点与抛物线的顶点坐标重合之前，如图，
当点与抛物线顶点重合时，此时，
过点作轴，过点作，过点作，延长交轴于点，
则：，，，轴，
四边形是正方形，
，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
，．
，．
，
把代入得：
，
解得：，
，
当时，正方形与抛物线有两个交点；
当点与点重合时，如图，此时正方形与抛物线有三个交点，过点作轴，过点作，如图，
同理可得：，
，轴，
，
，
，
．
当与抛物线只有一个交点时，如图，
，
设直线的解析式为：，
令：，
整理得：，
直线与抛物线只有一个交点，
．
，
．
将沿着方向平移的距离，得到，即先向右移动个单位，再向下平移个单位，
直线的解析式为：．
联立，
解得：，
即：；
当时，正方形与抛物线有两个交点；
综上，正方形与抛物线有两个交点时的取值范围为：或．
【解析】利用待定系数法解答即可；
利用点的坐标表示出线段的长度和的高线，再利用三角形的面积公式和分类讨论的方法解答即可；
利用两个函数的解析式联立求得直线与抛物线的另一个交点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，利用分类讨论的思想方法求得正方形与抛物线的交点的情形，得出对应的值，结合图形确定出的取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的图象的交点的坐标的意义，待定系数法，这发型的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
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