2024届高考数学考前大题冲刺特训：6大题型汇编+闯关训练

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2024届高考数学考前大题冲刺特训：6大题型汇编+闯关训练
6大题型汇编
考点1：数列
考点2：函数与导数
考点3：三角函数
考点4：空间向量与立体几何
考点5：统计与概率
考点6：圆锥曲线的方程
6大题型闯关训练
考点1：数列
1． 正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
2．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
3．数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围；
（3）求数列的前项和.
4．已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数构成等差数列是的前项和，且
（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；
（2）设，对任意，求及的最大值.
考点2：函数与导数
5．设函数，
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围.
6．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”．经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数图象的对称中心．根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数．
（1）当时，试求的对称中心；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值．
7．函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）当时，有恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：，.
8． 若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，．
（1）若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若函数，，且与具有关系，求a的最大值；
（3）若函数，，且与具有关系，求m的取值范围．
考点3：三角函数
9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
10．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 的面积 ，求角 的大小．
11． 如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻单位：时点距离地面的高度是关于的函数其中，，，求函数解析式及时点距离地面的高度；
（2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌．
12． 在中，角、、的对边分别为、、，且，，．
（1）求的面积；
（2）求边的值和的值；
（3）求的值．
考点4：空间向量与立体几何
13．如图，在三棱锥中，为中点.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，，且，求二面角的大小.
14．如图，在三棱柱ABC 中， 平面ABC，D，E，F，G分别为 ，AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC= =2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B CD C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
15． 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的大小．
（3）求直线与平面所成角的正切值．
16．如图，在三棱台中，在边上，平面平面，.
（1）证明：；
（2）若且的面积为，求与平面所成角的正弦值.
考点5：统计与概率
17．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
18． 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
19． 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄 次数
每周0～2次 70 55 36 59
每周3～4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式：．
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20． 近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润y（万元）的统计表．
月份 2023.11 2023.12 2024.01 2024.02 2024.03
月份编号x 1 2 3 4 5
利润y（万元） 27 23 20 17 13
附：参考数据：
相关系数．
（1）根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；
（2）该纺织厂现有甲、乙两条流水线生产同一种产品．为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了4件、2件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X，试求X的分布列与期望．
考点6：圆锥曲线的方程
21．已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）①若，证明：；
②若，探究之间关系．
22．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
23． 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，，记点的坐标为．
（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；
（2）若斜率，求的面积；
（3）若是等腰三角形且，求实数．
24．已知动点到点的距离比到直线的距离小，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于，两点，连接，分别交于，两点．
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】（1）当时，，即，，
所以，同理．
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以当为奇数时，
，
，
同理当为偶数时，．
所以.
2．【答案】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
3．【答案】（1）设，∴，，
即，
∵，∴，
∴，
（2），，
∵，∴，，
∴，∴的取值范围是.
（3），∴
4．【答案】（1）为等差数列，设公差为，.
设从第3行起，每行的公比都是，且，，故是数阵中第10行第5个数，而.
（2）
.
设：（当且仅当时，等号成立）时
5．【答案】（1）解：当时，，则，由，解得或，
所以函数的单调增区间是，.
（2）解：函数，则，因为函数在区间上为减函数，
所以，成立，即，，
显然在上单调递减，即，，则，
所以a的取值范围是.
（3）解：由(2)知，，因函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，即有，解得，且有，
不妨令，则，当或时，；
当时，，则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
而，即，
整理得：，
把代入上述不等式并整理得：，解得，
综上可得，所以实数a的取值范围是.
6．【答案】（1）解：，，，
令，解得，，
故的对称中心为．
（2）解：，令，则，，
当时，，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增；在上，，函数在上单调递减；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增；在上，，函数在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（3），，
令，得，，所以对称中心为，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
；，
要使得有三个解，故，，且，，是方程的根，
由于对称性，为了简化研究，只研究的情况，
，
根据常数项知：，根据含项的系数知：，
且，所以，
故，即，
．
当时，取得最大值，此时．
7．【答案】（1）时，在上单调递减，在上单调递增，
，无极大值.
（2）
（3）由（2）知时，恒成立，即，
∴，令，∴，
∴，.
8．【答案】（1）解：与是否具有关系，理由如下：
时，，故，
，
又在的值域为，
由于，即是的真子集，
故对任意的，存在，使得，
与是否具有关系.
（2）解：时，，
由题意得，任意的，存在，使得，
又，，
故，即，解得，
故的最大值为5；
（3）解：由题意得对任意的，存在，使得，
又，
故的值域，
令，，
令，则，
设，
若对称轴，即时，，
则，解得，与求交集，结果为，
若，即时，，
则，解得，与取交集，结果为，
若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
综上，或
9．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以.
（2）解：延长AF交BC于，延长BF交AC于如图所示：
根据题意可得．因为，所以，
设，且，则
同理可得，
则，
因为，所以，
又，
所以，故的取值范围是
10．【答案】（1）解：由正弦定理得 ，故 ，于是 ．
又 ，故 ，所以 或 ，因此 （舍去）或 ，所以
（2）解：由 得 ，故有 ，因 ，得 ．又 ，所以 ．当 时， ；当 时， ．
综上， 或
11．【答案】（1）由题意知，，，，
所以，又，所以，
即，
又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，
所以，
即，又，所以，
所以，
当时，，
所以时点距离地面的高度为．
（2）因为从最低处开始到达高度为刚好能看到全貌，经过最高点再下降至时又能看到全貌，
由知，
得，即，
解得，，
所以在每个周期内，，，
又，
所以游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌．
12．【答案】（1）在中，，，则，
所以的面积.
（2）由余弦定理有，，则，
由（1）知，，由正弦定理，得.
（3）由（2）知，，而，则是锐角，，
又，，
所以．
13．【答案】（1）证明：因为，且为中点，所以
因为，且为中点，所以，
因为，且为中点，所以，
因为，所以，所以，
，所以平面.
（2）解：因为，且为中点，所以，从而两两垂直，
如图，建立以为原点，以分别为轴的空间直角坐标系，
易知，
设，由，即，可求得，
所以，
不妨设平面的一个法向量为，则，
即，
令，则，所以，
取平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的大小为.
14．【答案】（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF．
∵AB=BC．
∴AC⊥BE，
∴AC⊥平面BEF
（2）解：由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
∵BE 平面ABC，∴EF⊥BE．
如图建立空间直角坐称系E-xyz．
由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．
∴ ，
设平面BCD的法向量为 ，
∴ ，∴ ，
令a=2，则b=-1，c=-4，
∴平面BCD的法向量 ，
又∵平面CDC1的法向量为 ，
∴ ．
由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为
（3）证明：平面BCD的法向量为 ，∵G（0，2，1），F（0，0，2），
∴ ，∴ ，∴ 与 不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
15．【答案】（1）证明：连接交于点，
∵，分别为，的中点，∴．
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）解：∵且，
∴与所成角的大小等于．
∵，
∴，即与所成角的大小为．
（3）解：连接，过作于点．
∵平面，且平面，
∴，又且，
∴平面．
∵平面，
∴，又，且，
∴平面，
∴直线与平面所成角的大小等于．
∵正方体的边长为1，∴，，
∴．
16．【答案】（1）在中，，
由余弦定理得，
解得，
又，即，得，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
而平面，则，
又平面平面，
所以平面，
而平面，则，
因为，所以；
（2）在Rt中，，
所以，所以，
又，所以，
则，
由（1）知，平面，
所以可以为原点，为轴，为轴，建系如图所示
，
，
设平面法向量为，则，即，
取，则，得平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值.
17．【答案】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
（3）由（2），.
18．【答案】（1）由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是，
∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为．
所以甲组20名同学成绩的中位数为119， 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.
（2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：
．
（3）甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、．
记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个，
∴．
所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为.
19．【答案】（1）解：零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）解：由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）解：记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
则，
所以小明星期天选择跑步的概率为.
20．【答案】（1），，
，
又，
所以可以判断与具有较强的线性相关关系.
（2）的可能取值有，
因为，，，
其分布列为：
1 2 3
期望.
21．【答案】（1）解：由题意得：，
因此，椭圆C的标准方程为；
（2）解：①由(1)知，，
，
，
即，
又，
即，
，即；
②设（令），
，消去x得：，
，，
，，
，
设，（令），
，消去x得：，
，，
，，
，
．
22．【答案】（1）解：依题意，，焦半径，
由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；
（2）解：显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），
则直线的方程为，得，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
23．【答案】（1）抛物线焦点为，准线方程为.
由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和，则，，
∴.
（2）若斜率，则直线的方程为，
由消去，整理得，，
∵，，∴，，
由抛物线的定义，.
到直线即的距离为，
∴的面积.
（3）直线方程为，（易知）
由消去，整理得，，
∵，，∴，，
∴中点，
其中，，∴，
∵是等腰三角形且，∴，
∴，解得.
∴实数的值为或.
24．【答案】（1）解：因为点到点的距离与到的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
则曲线的轨迹方程为；
（2）解：不妨设，
易知直线斜率不为如图所示：
不妨设得方程为，
联系，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
联立，消去并整理得，
可得，是方程的两根，且，
所以，
解得，
同理得，
所以，
因为，
所以，
则；
②由知直线的方程为，
整理得，
即，
令，
所以直线过定点，
则
，
当且仅当时，面积取得最小值，最小值为．
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