课时提升作业(十六)
机械能守恒定律
一、选择题(本题共5小题,每小题7分,共35分。多选题已在题号后标出)
1.(多选)(2014·济南高一检测)下列运动物体,机械能守恒的有( )
A.物体沿斜面匀速下滑
B.物体做自由落体运动
C.跳伞运动员在空中匀速下落
D.沿光滑曲面自由下滑的木块
【解析】选B、D。物体沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下落,都属于物体的动能不变,重力势能减小的情况,因此机械能不守恒,A、C错;物体做自由落体运动,此时它只受重力作用,机械能守恒,木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功,故机械能守恒,所以B、D正确。
【变式训练】物体在平衡力作用下运动的过程中,下列说法正确的是( )
A.机械能一定不变
B.物体的动能保持不变,而势能一定变化
C.若物体的势能变化,则机械能一定变化
D.若物体的势能变化,则机械能不一定变化
【解析】选C。由于物体在平衡力的作用下做 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速直线运动,所以物体的动能不变,而势能可能不变,也可能变化。当物体的势能变化时,机械能一定变化;当物体的势能不变时,机械能一定不变。故C正确,A、B、D错误。
2.(2013·黄浦区高一检测)质量为m的 ( http: / / www.21cnjy.com )小球,以速度v斜向上抛离高为H的桌面。如图,那么经过A点时所具有的机械能是(以桌面为零势面)( )
A.mv2 B.mgH+mv2
C.mv2-mgH D.mgH
【解析】选A。物体的机械能守恒,在任何位置的机械能都相同,且E=mv2,A正确。
3.从高处自由下落的物体,它的重力势能Ep和机械能E随下落高度h的变化图线如图所示,正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】选C。物体的重力势能Ep=Ep0-mgh,其中Ep0是物体在开始下落位置的重力势能,故随下落高度h的增大,物体的重力势能呈线性递减变化,故A、B错误;物体自由下落的过程中,只有重力做功,机械能守恒,故C正确,D错误。
4.如图所示,物体A静止在光滑的水平面上, ( http: / / www.21cnjy.com )A的左边固定有轻质弹簧,与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞,A、B始终沿同一直线运动,则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是( )
A.A开始运动时
B.A的速度等于v时
C.B的速度等于零时
D.A和B的速度相等时
【解析】选D。因系统只有弹 ( http: / / www.21cnjy.com )力做功,系统机械能守恒,故A、B组成的系统动能损失最大时,弹簧弹性势能最大。又因当两物体速度相等时,A、B间弹簧形变量最大,弹性势能最大,故D项正确。
【总结提升】机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法,分三种情况:
①物体只受重力(或系统内的弹力)作用;
②物体同时受重力和其他力,但其他力不做功;
③有系统的内力做功,但是内力做功的代数和为零。
(2)能量转化分析法:若物体只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化,或系统内只有物体间的机械能相互转移,则机械能守恒。
(3)定义判断法:如物体沿水平方向匀速 ( http: / / www.21cnjy.com )运动时,动能和势能之和不变则机械能守恒;物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时,动能不变,势能变化,机械能不守恒。
5.(多选)(2014·温州高一检 ( http: / / www.21cnjy.com )测)如图所示,两个内壁光滑、半径不同的半球形碗,放在不同高度的水平面上,使两碗口处于同一水平面,现将质量相同的两个小球(小球半径远小于碗的半径),分别从两个碗的边缘由静止释放,当两球分别通过碗的最低点时( )
A.两球的动能相等
B.两球的加速度大小相等
C.两球对碗底的压力大小相等
D.两球的角速度大小相等
【解析】选B、C。设小球的质量为m,通过最低点时的速度大小为v,碗的半径为R,则根据动能定理mgR=mv2,由于两碗的半径不同,两球过最低点时的动能不同,A错。a==2g,两球过最低点时的加速度相等,B对。由牛顿第二定律知FN-mg=m,FN=mg+m=3mg,两球过最低点时对碗的压力大小相等,C对。ω===,R不同,ω不相等,D错。
二、非选择题(15分)
6.长为L的均匀链条,放在光滑的水平桌面上,且使其长度的垂在桌边,如图所示,松手后链条从静止开始沿桌边下滑,取桌面为零势能面。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少
(2)刚离开桌面时,整个链条重力势能为多少
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大
【解题指南】解答该题时应注意以下两点:
(1)在运动过程中,链条的机械能守恒;
(2)具体解题时是将链条看作整体,还是分为水平和竖直两段应灵活掌握。
【解析】(1)开始时链条的重力势能
=×(-)=- ①
(2)刚滑离桌面时,链条的重力势能
=mg×(-)=- ②
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v,
根据机械能守恒定律-=mv2 ③
联立①②③得v=
答案:(1)- (2)- (3)
一、选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分。多选题已在题号后标出)
1.(多选)2013年12月6日, ( http: / / www.21cnjy.com )嫦娥三号卫星到达月球附近并绕月球在椭圆轨道上运动,月球在椭圆轨道的一个焦点上,如图所示。已知卫星在运行中是无动力飞行,只受到月球对它的万有引力作用。在卫星从轨道的A点沿箭头方向运行到B点的过程中( )
A.卫星的速度逐渐减小 B.卫星的速度逐渐增大
C.卫星的机械能守恒 D.卫星的机械能逐渐增大
【解析】选A、C。嫦娥三号卫星在椭圆轨道上绕 ( http: / / www.21cnjy.com )月运动时,只受月球的引力作用,机械能守恒,C对,D错。由A点沿箭头方向运行到B点的过程中,卫星距离月球的高度变大,重力势能增大,动能减小,A对,B错。
2.(2013·三门峡高一 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)如图所示,一斜面放在光滑的水平面上,一个小物体从斜面顶端无摩擦地自由滑下,则在下滑的过程中,下列结论正确的是( )
A.斜面对小物体的弹力做的功为零
B.小物体的重力势能完全转化为小物体的动能
C.小物体的机械能守恒
D.小物体、斜面和地球组成的系统机械能守恒
【解题指南】由于水平面光滑,物体沿斜面下滑的同时,斜面也沿着水平面向右运动,故物体所受的支持力与它的运动位移不再垂直。
【解析】选D。物体受到的弹力与其位移的夹角为钝角,弹力做负功,A错。根据动能定理,物体动能的增加量等于重力与弹力做功的代数和,B错。由于斜面对物体的作用力对物体做负功,故物体的机械能不守恒,C错。对物体、斜面和地球组成的系统,只有物体的重力和系统内部之间的弹力做功,故机械能守恒,D对。
3.(多选)(2014· ( http: / / www.21cnjy.com )桂林高一检测)如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段,下列说法中正确的是( )
A.在B位置小球速度最大
B.在C位置小球速度最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少量小于重力做的功
D.从A→D位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【解析】选B、D。小球到达C位置之前, ( http: / / www.21cnjy.com )所受的合外力一直做正功,之后开始做负功,故由动能定理知在C位置,小球的速度最大,A错,B对;到达C位置时,小球重力势能的减少量等于小球重力做的功,C错;到达D位置时,小球的动能仍为零,它的机械能(重力势能)的减少量等于弹簧的机械能(弹性势能)的增加量,D对。
4.(2014·杭州高一检测)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com ),小球a、b的质量分别是2m和m,a从倾角为30°的光滑固定斜面的顶端无初速下滑,b从斜面等高处以初速度v0平抛,比较a、b落地的运动过程有( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.a、b两球同时到达地面
B.a、b落地前的速度相同
C.重力对a、b做的功相同
D.落地前瞬间a、b两球重力做功的瞬时功率相等
【解析】选D。设斜面高度为h,a、b球竖直向下的加速度分别为aa=gsin230°=g,ab=g,由h=at2知b球先到达地面,A错。根据机械能守恒,对a球:2mgh=·2m,va=;对b球:mgh+m=m,vb=,a、b下落高度相同,落地时速度va二、非选择题(本题共2小题,共22分)
5.(11分)(2014·济宁高一 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)如图所示,质量m=2kg的小球用长L=1.05m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H=6.05m的O点。现将细绳拉直至水平状态,自A点无初速度释放小球,运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂,接着小球做平抛运动,落至水平地面上C点。不计空气阻力,重力加速度g取10m/s2。求:
(1)细绳能承受的最大拉力;
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间;
(3)小球落地瞬间速度的大小。
【解析】(1)根据机械能守恒mgL=m
由牛顿第二定律得F-mg=m
故最大拉力F=3mg=60N
(2)细绳断裂后,小球做平抛运动,且H-L=gt2
故t==s=1 s
(3)整个过程,小球的机械能不变,故:mgH=m
所以vC==m/s=11 m/s
答案:(1)60 N (2)1 s (3)11 m/s
【变式训练】(多选)如图所示,小球沿水平 ( http: / / www.21cnjy.com )面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P,然后落回水平面,不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A.小球落地点离O点的水平距离为2R
B.小球落地时的动能为
C.小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D.若将半圆弧轨道上部的圆弧截去,其他条件不变,则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
【解析】选A、B、D。由题意知mg=m,故小球经P点时的速度大小v=,C错。由2R=gt2、x=vt得小球落地点离O点的水平距离为2R,A对。根据动能定理-2mgR=mv2-Ek得小球落地时的动能Ek=2mgR+mv2=mgR,B对。由mgh=mgR得小球能达到的最大高度h=2.5R,比P点高0.5R,D对。
6.(11分)如图所示,质量为m的木 ( http: / / www.21cnjy.com )块放在光滑的水平桌面上,用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连,把绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时砝码未落地,木块仍在桌面上,求此时砝码的速度以及轻绳对砝码做的功。
【解析】砝码从静止开始下降h的过程中,两物体组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒定律,系统减少的重力势能等于系统增加的动能,则:
2mgh=mv2+·2mv2,解得:v=,
设轻绳对砝码做的功为W,对砝码由动能定理得:
2mgh+W=·2mv2-0解得:W=-mgh。
答案:gh -mgh
【总结提升】动能定理与机械能守恒定律的选择
(1)一般来讲,能用机械能守恒定律求解的问题用动能定理也能解决,但能用动能定理解决的问题用机械能守恒定律不一定就能解决。
(2)两种方法都能解题时,一般应用动能定理解题较为方便,因为这样可以省去判断机械能是否守恒和选定零势能面的麻烦。
(3)只有重力做功时,动能定理的表达式WG=Ek2-Ek1=Ep1-Ep2,显然该式也是机械能守恒定律的方程式。课时提升作业(十六)
机械能守恒定律
(15分钟·50分)
一、选择题(本题共5小题，每小题8分，共40分。多选题已在题号后标出)
1.(多选)(2015·济南高一检测)关于机械能守恒，下列说法中正确的是( )
A.物体受力平衡，则机械能守恒
B.物体做匀速直线运动，则机械能守恒
C.物体做自由落体运动，则机械能守恒
D.只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒
【解析】选C、D。物体若沿斜面匀速下滑，物体受力平衡，机械能不守恒，A、B错；物体做自由落体运动时只受重力，机械能守恒，C对；只有重力做功时，只有重力势能与动能间的转化，物体的机械能守恒，D对。
2.如图所示，具有一定初速 ( http: / / www.21cnjy.com )度v的物块，在沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为5m/s2，方向沿斜面向下，g取10m/s2，那么在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.物块的机械能一定增加
B.物块的机械能一定减少
C.物块的机械能不变
D.物块的机械能可能增加，也可能减少
【解题指南】对于单个物体，以下情况下机械能守恒：
(1)物体只受重力作用。
(2)物体不只受重力作用，但只有重力做功。
(3)其他力做功，但除重力外其他力做的总功为零。
【解析】选C。以物块为研究对象进行受力分析如图。根据牛顿第二定律得
mgsin30°+Ff-F=ma
代入数据得Ff=F，故此过程中只有重力做功，物块的机械能不变，C正确。
3.(2015·三明高一检测)从同一高度以 ( http: / / www.21cnjy.com )相同的速率分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，则它们从抛出到落地：①运动的时间相等 ②加速度相同 ③落地时的速度相同 ④落地时的动能相等。以上说法正确的是( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【解析】选D。平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，在同一高度自由落体运动的时间小于竖直上抛运动的时间，大于竖直下抛运动的时间。故①错误。竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动仅受重力，加速度都为g。故②正确。根据机械能守恒mgh=m-m，知初动能相等，高度相同，则末动能相等。末速度的大小相等，但方向不同，所以落地速度不同。故③错误，④正确。故D正确。
4.如图所示的滑轮光滑轻质，阻力不计，M1=2kg， M2=1kg，M1离地高度为H=0.5m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3m时的速度为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.m/s B.3 m/s
C.2 m/s D.1 m/s
【解析】选A。对系统运用机械能守恒定律得，(M1-M2)gh=(M1+M2)v2，代入数据解得v=m/s，故A正确，B、C、D错误。
5.(多选)(2015·宁波高一检测)如图为两个半径不同而内壁光滑的固定半圆轨道，质量相等的两个小球分别从与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始自由滑下，它们通过轨道最低点时，下列说法正确的是( )
A.向心加速度相同 B.对轨道的压力相等
C.机械能相等 D.速度相同
【解析】选A、B、C。设小球的质量为m，通过最低点时的速度大小为v，碗的半径为R，则根据机械能守恒定律mgR=mv2，得v=，由于两碗的半径不同，两球过最低点时的速度不同，D错。a==2g，两球过最低点时的加速度相等，A对。由牛顿第二定律知FN-mg=m，FN=mg+m=3mg，两球过最低点时对碗的压力大小相等，B对。两球的机械能都守恒，均等于它们在最高点的机械能，若取最高点所在水平面为参考平面，则两球的机械能都等于零，C对。
二、计算题(10分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
6.(2015·临汾高一检测)如图所示，光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )细圆管轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，C为半圆的最高点。有一质量为m，半径较管道略小的光滑的小球以水平初速度v0射入圆管。
(1)若要小球从C端出来，初速度v0应满足什么条件？
(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种情况，初速度v0各应满足什么条件？
【解析】(1)小球恰好能达到最高点的条件是vC=0，
由机械能守恒定律，此时需要初速度v0满足m=mg2R，得v0=，因此要使小球能从C端出来需满足入射速度v0>。
(2)小球从C端出来瞬间，对管壁作用力可以有三种情况：
①刚好对管壁无作用力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识得mg=m。
由机械能守恒定律，m=mg2R+m，联立解得v0=。
②对下管壁有作用力，此时应有mg>m，
此时相应的入射速度v0应满足③对上管壁有作用力，此时应有mg此时相应的入射速度v0应满足v0>。
答案：(1)v0>
(2)v0=时对管壁无作用力；时对上管壁有作用力
【补偿训练】 (多选)如图所示，小球沿水平面 ( http: / / www.21cnjy.com )通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.小球落地点离O点的水平距离为2R
B.小球落地时的动能为
C.小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D.若将半圆弧轨道上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
【解析】选A、B、D。由题意知mg=m，故小球经P点时的速度大小v=，C错。由2R=gt2、x=vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A对。根据动能定理-2mgR=mv2-Ek得小球落地时的动能Ek=2mgR+mv2=mgR，B对。由mgh=mgR得小球能达到的最大高度h=2.5R，比P点高0.5R，D对。
(25分钟·50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题8分，共32分。多选题已在题号后标出)
1.下列运动过程满足机械能守恒的是( )
A.电梯匀速下降过程
B.起重机吊起重物过程
C.物体做自由落体运动过程
D.考虑阻力条件下滑雪者沿斜面下滑过程
【解析】选C。机械能守恒的条 ( http: / / www.21cnjy.com )件是只有重力或弹簧弹力做功，只发生动能和势能的转化，A中机械能减少，B中机械能增加，C中机械能守恒，D中机械能减少。
2.(2015·天津高考)如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能变化了mgL
C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【解题指南】解答本题时应从以下两点进行分析：
(1)圆环下滑过程中，圆环动能、重力势能与弹簧弹性势能之和不变。
(2)圆环由静止开始下滑到圆环下滑到最大距离过程中，先加速后减速。
【解析】选B。圆环下滑过程中，圆环动能、重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变，故选项A、D错误；圆环从最高点(动能为零)到最低点(动能为零)，重力势能减少了mg=mgL，根据机械能守恒，弹簧弹性势能增加了mgL，故选项B正确；圆环由静止开始下滑到圆环下滑到最大距离过程中，先加速后减速，下滑到最大距离时，所受合力不为零，故选项C错误。
3.(多选)(2015·延安高一检测)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，同一物体沿倾角不同的光滑斜面AB和AC的顶端A点分别由静止开始下滑到底端，斜面固定，则下列说法中正确的是( )
A.两次运动，重力对物体做功相同
B.滑到底端时，两次重力的瞬时功率相同
C.滑到底端时，两次物体的速度相同
D.滑到底端时，两次物体的动能相同
【解析】选A、D。根据重力做功的公式W=mgh，可得两次运动，重力对物体做的功相同，A正确。根据机械能守恒：mgh=mv2，所以滑到底端时，两次物体的动能相同，速度大小相等，但方向不同。故D正确，C错误。根据公式P=
Fvcosα，两次重力瞬时功率不同，故B错误。
【补偿训练】如图所示，小球a、b的质量 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是2m和m，a从倾角为30°的光滑固定斜面的顶端无初速下滑，b从斜面等高处以初速度v0平抛，比较a、b落地的运动过程有( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.a、b两球同时到达地面
B.a、b落地前的速度相同
C.重力对a、b做的功相同
D.落地前瞬间a、b两球重力做功的瞬时功率相等
【解析】选D。设斜面高度为h，a、b球竖直向下的加速度分别为aa=gsin230°=g，ab=g，由h=at2知b球先到达地面，A错。根据机械能守恒，对a球：2mgh=·2m，va=；对b球：mgh+m=m，vb=，a、b下落高度相同，落地时速度va4.(2014·安徽高考)如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2。则( )
A.v1=v2，t1>t2 B.v1t2
C.v1=v2，t1【解题指南】解答本题注意以下两点：
(1)小球在运动过程中机械能守恒，并且v1=v2。
(2)小球沿管道MPN运动到N点与沿管道MQN运动到N点的路程相等。
【解析】选A。小球在运动过程中机械 ( http: / / www.21cnjy.com )能守恒，沿管道MPN运动时，重力势能先增加后减少，则动能先减少后增加；沿管道MQN运动时，重力势能先减少后增加，则动能先增加后减少，并且v1=v2。小球沿管道MPN运动到N点与沿管道MQN运动到N点的路程相等，而沿管道MPN运动比沿管道MQN运动的平均速率小，所以沿管道MPN运动到N点比沿管道MQN运动到N点的时间长，即t1>t2，故选项A正确。
二、计算题(本题共2小题，共18分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
5.(8分)长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为零势能面。
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
【解题指南】解答该题时应注意以下两点：
(1)在运动过程中，链条的机械能守恒。
(2)具体解题时是将链条看作整体，还是分为水平和竖直两段应灵活掌握。
【解析】(1)开始时链条的重力势能
=×(-)=- ①
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
=mg×(-)=- ②
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，
根据机械能守恒定律-=0-mv2 ③
联立①②③得v=
答案：(1)- (2)- (3)
6.(10分) (2015·福建高考)如图，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
(2)若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量m=，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm。
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。
【解析】(1)由于圆弧轨道光滑，滑块下滑过程机械能守恒，有mgR=m
滑块在B点处，对小车的压力最大，由牛顿第二定律有N-mg=m
解得N=3mg
据牛顿第三定律可知N′=3mg
(2)①滑块滑到B处时小车和滑块速度达到最大，由机械能守恒有
mgR=m(2vm)2+M
解得vm=
②设滑块的位移为s1，由于任一时刻滑块水平分速度是小车速度的2倍，
因此有2s=s1
且s+s1=L
解得小车的位移大小s=
答案：(1)3mg (2)① ②
【总结提升】动能定理与机械能守恒定律的选择
(1)一般来讲，能用机械能守恒定律求解的问题用动能定理也能解决，但能用动能定理解决的问题用机械能守恒定律不一定就能解决。
(2)两种方法都能解题时，一般应用动能定理解题较为方便，因为这样可以省去判断机械能是否守恒和选定零势能面的麻烦。
(3)只有重力做功时，动能定理的表达式WG=Ek2-Ek1=Ep1-Ep2，显然该式也是机械能守恒定律的方程式。【世纪金榜】2016版高中物理 7.8机械能守恒定律（精讲优练课型）课时自测 新人教版必修2
1.关于机械能守恒，以下说法中正确的是( )
A.机械能守恒的物体一定只受重力和弹力的作用
B.物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C.物体所受合外力不等于零时，机械能可能守恒
D.合外力做功时，物体的机械能一定不守恒
【解析】选C。物体机械能守恒时还有可能受其他力的作用，但是其他力做功为零，故A错误。物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，例如物体匀速上升，动能不变，重力势能增大，B错误。物体所受合外力不等于零时，机械能可能守恒，例如自由下落的物体，C正确。自由落体运动中，合外力做正功，机械能守恒，D错。
2.(多选)(2015·保定高一检测)一物体在做自由落体运动过程中，重力做了2J的功，则( )
A.该物体重力势能减少2 J
B.该物体重力势能增加2 J
C.该物体动能减少2 J
D.该物体动能增加2 J
【解析】选A、D。在自由下落过程中，重力做了2 J的功，重力势能减少2 J。通过重力做功，重力势能转化为动能，则物体动能增加了2 J，故A、D正确，B、C错误。
3.(2015·漳州高一 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)质量为1kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10m/s2)( )
A.0 J，-5 J B.0 J，-10 J
C.10 J，5 J D.20 J，-10 J
【解析】选A。物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，下滑到斜面中点时的重力势能Ep=-mg·sin30°=-1×10××sin30°J=-5 J。故选项A正确。
4.(2015·泰州高一检测)如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A.物体到海平面时的重力势能为mgh
B.重力对物体做的功为-mgh
C.物体在海平面上的动能为m+mgh
D.物体在海平面上的机械能为m
【解析】选C。物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A错；物体运动过程下落了h高度，重力做功mgh，B错；根据机械能守恒定律mgh+m=mv2，即物体在海平面上的机械能E2=mv2=mgh+m，C对，D错。
【补偿训练】(2015·邯郸高一检测)在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为( )
A.v0+ B.v0-
C. D.
【解析】选C。小球做平抛运动，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，则得：mgh+m=mv2，得小球着地时速度大小为v=。
5.(2015·杭州高一检测)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h=3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦。求：
(1)小球通过P点的速度大小。
(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力。
【解析】(1)根据机械能守恒定律：
mg(h-2R)=m
解得小球通过P点的速度v1=
(2)设小球通过最低点的速度为v2
根据机械能守恒定律mgh=m
根据牛顿第二定律FN-mg=m
解得FN=7mg，故小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下。
答案：(1) (2)7mg，竖直向下
【互动探究】上题中小球从斜面上某点由静止释放后，恰好能够到达P点，求那点的高度。
提示：设那一点的高度为H，根据机械能守恒定律：
mg(H-2R)=mv2
根据牛顿第二定律mg=m
联立以上两式解得H=2.5R
答案：2.5R(共62张PPT)
8
机械能守恒定律
一、动能与势能的相互转化
1.重力势能与动能：
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能_____，
动能_____，_______能转化成了___能；若重力做负功，则___能转
化为_______能。
2.弹性势能与动能：
只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能_____，物体
的动能_____，_______能转化为___能。
减少
增加
重力势
动
动
重力势
减少
增加
弹性势
动
3.机械能：
(1)定义：_________、弹性势能和_____的总称，表达式为E=Ek+Ep。
(2)机械能的改变：通过_____或_____做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
重力势能
动能
重力
弹力
【想一想】毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化。
提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化。
二、机械能守恒定律
1.推导：
物体沿光滑斜面从A滑到B。
(1)由动能定理：WG=______。
(2)由重力做功与重力势能的关系：WG=______。
结论：在只有_____做功时，小球的机械能_________，即
Ek2+Ep2=______。
Ek2-Ek1
Ep1-Ep2
重力
保持不变
Ek1+Ep1
2.内容：在只有_____或_____做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能_________。
3.表达式：Ek2+Ep2=______，即E2=__。
重力
弹力
保持不变
Ek1+Ep1
E1
【判一判】
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。( )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。( )
提示：(1)×。合力为零，并不能说明除了重力、弹力外其他力不做功，故此时物体的机械能不一定守恒。
(2)×。合力做功为零，物体的机械能不一定守恒，如物体沿斜面匀速下滑时，物体的机械能就减少。
(3)√。机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。
一、机械能守恒条件的理解
思考探究：
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。
(1)过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒吗？
提示：(1)下滑时，过山车受重力、摩擦力、支持力和空气阻力。重力做正功，摩擦力和空气阻力做负功，支持力不做功。
(2)过山车下滑时，动能增大，势能减少，由于有内能产生，两种能的和减少。
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时只有重力做功，机械能守恒。
【归纳总结】
(1)从能量特点看，系统内部只发生动能和势能的相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，系统机械能守恒。
(2)从做功角度来看，只有重力做功或系统弹力做功，系统机械能守恒，具体表现为：
做功条件 例 证
只有重力(或弹簧弹力)做功 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒
除重力、弹力外还受其他力，但其他力不做功 如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功
做功条件 例 证
只有重力和系统内的弹力做功 如图，小球在摆动过程中线的拉力
不做功，如不计空气阻力，只有重
力做功，小球的机械能守恒
如图，所有摩擦不计，A自B上自
由下滑过程中，只有重力和A、B
间弹力做功，A、B组成的系统机
械能守恒。但对B来说，A对B的
弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒
做功条件 例 证
只有重力和系统内的弹力做功 如图，不计空气阻力，球在运动
过程中，只有重力和弹簧与球间
的弹力做功，球与弹簧组成的系
统机械能守恒。但对球来说，机
械能不守恒
做功条件 例 证
其他力做功，但做功的代数和为零 如图所示，A、B构成的系统，
忽略绳的质量与滑轮间的摩
擦，在A向下，B向上运动过
程中，FA和FB都做功，但WA+
WB=0，不存在机械能与其他形
式的能的转化，则A、B系统机械能守恒
【典例示范】(2015·杭州高一检测)下列关于机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能也可能不守恒
【解题探究】
(1)机械能守恒的条件是：系统内只有_____或_____做功。
(2)做匀速直线运动的物体的机械能是一定守恒，还是一定不守恒？
提示：做匀速直线运动的物体的动能不变，若势能不变，则机械能守恒，若势能变化，则机械能不守恒。
重力
弹力
【正确解答】选B。做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如，降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误。做变速直线运动的物体机械能可能守恒，比如自由落体运动，故B正确。机械能守恒的条件是只有重力做功，或者除重力(弹力)外其他力对物体做功为零时，故C、D错误。
【规律方法】机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法，分三种情况：
①物体只受重力(或系统内的弹力)作用；
②物体同时受重力和其他力，但其他力不做功；
③有系统的内力做功，但是内力做功的代数和为零。
(2)能量转化分析法：若物体只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化，或系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒。
(3)定义判断法：如物体沿水平方向匀速运动时，动能和势能之和不变则机械能守恒；物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒。
【过关训练】
1.(2015·株洲高一检测)关于机械能守恒定律，正确的说法是( )
A.只有当物体仅受重力作用时，机械能才守恒
B.只有当物体仅受弹簧的作用力时，机械能才守恒
C.只有弹簧的力对物体做功时，物体和地球的机械能守恒
D.若不计空气的阻力，则做平抛运动的物体和地球组成的系统机械能守恒
【解析】选D。机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，并非只受重力或弹力，A、B错；只有弹簧的力对物体做功，物体(和地球)的动能变化，重力势能不变，机械能一定发生变化，C错。平抛运动中，只有物体的重力做功，物体与地球组成的系统机械能守恒，D对。
2.(多选)质量分别为m、2m的两球A、B由轻质细杆连接，杆可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动，杆在从水平位置转到竖直位置的过程中( )
A.B球势能减少，动能增加
B.A球势能增加，动能减少
C.A和B的总机械能守恒
D.A和B各自的机械能守恒
【解析】选A、C。整个过程，对于两球和轻杆组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，C对，D错；杆在竖直位置时，两球的速度最大，故杆在从水平位置转到竖直位置的过程中A球的势能增加，动能增加，B球的势能减少，动能增加。A对，B错。
【补偿训练】1.(多选)下列几种情况，系统的机械能守恒的是( )
A.图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B.图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C.图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连，小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D.图丙中如果小车运动时，木块相对小车有滑动
【解析】选A、C。弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故A对；运动员越跳越高，表明她不断做功，机械能不守恒，故B错；由于是一对静摩擦力，系统中只有弹簧弹力做功，机械能守恒，故C对；滑动摩擦力做功，系统机械能不守恒，故D错。
2.(2015·漳州高一检测)如图小球自a点由静止自由
下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最
短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c
的运动过程中( )
A.小球的机械能守恒
B.小球的重力势能随时间一直减少
C.小球的动能先从0增大，后减小到0，在b点时动能最大
D.到c点时小球重力势能为0，弹簧弹性势能最大
【解析】选B。弹力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A错。整个过程，重力一定做正功，重力势能一直减少，B对。小球动能先增大后减小，在b点下方弹力等于重力的位置，小球的动能最大，C错。在c点，小球重力势能最小，但不一定为零，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，D错。
二、机械能守恒定律的应用
思考探究：
运动员抛出的铅球所受空气的阻力远小于其重力，请思考以下问题：
(1)铅球在空中运动过程中，能否视为机械能守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
提示：(1)铅球在空中运动过程中只受重力作用，它的机械能守恒。
(2)无关。两次抛出时铅球的机械能相等，根据机械能守恒定律，两次落地时铅球的动能相同，速度大小相同。
(3)可以根据机械能守恒定律或动能定理求解铅球落地时的速度大小。
【归纳总结】
1.机械能守恒定律的不同表达式：
表达式 物理意义
从不同
状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=
-ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看 EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=
-ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律的解题步骤：
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
3.机械能守恒定律和动能定理的比较：
规律
内容 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1=E2
ΔEk=-ΔEp
ΔEA=-ΔEB W=ΔEk
应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合外力做功情况
【典例示范】(2015·济宁高一检测)如图所示，质量m=2kg的小球用长L=1.05m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H=6.05m的O点。现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)细绳能承受的最大拉力。
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间。
(3)小球落地瞬间速度的大小。
【解题探究】
(1)小球在由A点到B点过程中机械能守恒吗？由B点到C点呢？
提示：由A点到B点过程中小球受两个力作用，其中只有重力做功，故机械能守恒；由B点到C点，小球只受重力作用，机械能守恒。
(2)题述中小球到达B点时细绳“恰好”断裂，此处隐含什么条件？
提示：“恰好”表明小球到达B点时细绳所受拉力刚好等于它所能承受的最大力。
【正确解答】(1)根据机械能守恒
由牛顿第二定律得
故最大拉力F=3mg=60N
(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且H-L= gt2
故
(3)整个过程，小球的机械能不变，故：
所以
答案：(1)60 N (2)1 s (3)11 m/s
【过关训练】
1.(拓展延伸)若【典例示范】中绳子承受的拉力足够大，且悬点正下方某位置处固定一钉子。小球仍从轻绳水平的位置由静止释放，且轻绳与钉子碰撞后，正好能在竖直面内做圆周运动。求钉子离悬点O的距离。
【解析】设钉子离悬点O的距离为x，则轻绳与钉子碰撞后做圆周运动的半径r=L-x。若小球在圆周最高点的最小速度为v。
根据牛顿第二定律mg=
由机械能守恒定律得mg(2x-L)= mv2
解得x=0.63m。
答案：0.63m
2.(多选)(2015·三门峡高一检测)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A.小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
B.小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin=
C.小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
D.小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
【解析】选A、D。小球经过A点的最小速度为0，由机械能守恒得mg(Hmin-2R)=0，故D点的最小高度Hmin=2R，要使小球能从A点水平抛出，需H>2R，A对，B错；由机械能守恒定律，mg(H-2R)= ，解得vA= 。而2R= gt2，x=vAt，故x= ，C错，D对。
【补偿训练】1.如图所示，在竖直平面内有一半径为2m的 圆弧形光滑导轨AB，A点与其最低点C的高度差为1m，今由A点沿导轨无初速释放一个小球，若g取10m/s2，则( )
A.小球过B点的速度vB=2 m/s
B.小球过B点的速度vB=
C.小球离开B点后做平抛运动
D.小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
【解析】选B。由于cos∠AOE= ∠AOE=60°，故∠BOC=90°-60°=30°，hBC=R-Rcos∠BOC=(2- )m，hAB=hAC-hBC=( -1)m，根据机械能守恒定律得mghAB= ，所以vB=
A错，B对。小球离开B点后做斜上抛运动，C错。到达最高点时，小球具有水平方向的速度，由机械能守恒知，小球离开B点后到达最高点时的高度低于A、D点的高度，D错。
2.如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
【解析】选C。运用机械能守恒定律：当A下落到地面前，对AB整体
有：2mgR-mgR= ×2mv2+ mv2，所以 mv2= mgR，即A落地后B还能
再升高 ，上升的最大高度为 R，故选项C正确，A、B、D错误。
【规律方法】机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp来求解。
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA=-ΔEB来求解。
②若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk=-ΔEp来求解。
【拓展例题】考查内容：机械能守恒定律的综合应用
【典例示范】滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。如图所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7m的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知运动员的质量为50kg，h=1.4m，H=1.8m，不计圆弧轨道上的摩擦。(g取10m/s2)求：
(1)运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？
(2)运动员与BC轨道的动摩擦因数。
【正确解答】以水平轨道为零势能面。
(1)从P点到B点，根据机械能守恒定律有
解得vB=8m/s
从C点到Q点，根据机械能守恒定律有
解得vC=6m/s。
(2)从B到C由动能定理，
-μmglBC=
解得μ=0.2。
答案：(1)8 m/s 6 m/s (2)0.2
整体法与隔离法在系统机械能守恒中的应用
【案例体验】(2015·达州高一检测)如图所示，A物体
用板托着，位于离地h=1.0m处，轻质细绳通过光滑定
滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量
M=1.5kg，B物体质量m=1.0kg，现将板抽走，A将拉动B
上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：
(1)A落地前瞬间的速度大小为多少？
(2)B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？
【解析】(1)A落地时，A、B系统重力势能的减少量ΔEp减=Mgh-mgh，
系统动能的增加量ΔEk增= (M+m)v2
根据系统机械能守恒：Mgh-mgh= (M+m)v2
故A落地时，A、B物体的瞬时速度v=2m/s
(2)A落地后，B物体上升过程机械能守恒，设上升h′后速度变为零，取地面为参考平面
故：mgh+ mv2=mg(h+h′)
所以h′=0.2m
故B物体离地面的最大高度为h+h′=1.2m。
答案：(1)2m/s (2)1.2 m
【方法技巧】应用整体法与隔离法分析机械能守恒定律类问题的思路
(1)如果运动的物体仅为一个物体时，不存在整体法与隔离法的研究手段，只需要判断是否只有重力做功。
(2)当运动的是物体组成的系统时，有三种情况机械能整体守恒、隔离不守恒：
①一个光滑斜面放在一光滑水平面上，另一个物体从斜面上自由滑下时。将斜面与物体视为一个整体时系统的机械能守恒，如果单独研究物体或者斜面时机械能是不守恒的。
②绳连接的两个物体，跨过一个定滑轮，两个物体在重力和绳中拉力作用下运动时，同样有“机械能整体守恒、隔离不守恒”。
③物体与弹簧组成的系统中同样有“机械能整体守恒、隔离不守恒”。
【补偿训练】如图所示，一固定的楔形木块，其
斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上
有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分
别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H。
【解析】解法一：对A、B物块组成的系统，系统重力势能减少量
-ΔEp=4mgssinθ-mgs，
动能增加量ΔEk= (4m+m)v2。
由机械能守恒定律：ΔEk=-ΔEp，故
4mgssinθ-mgs= (4m+m)v2
解得
细线断后，B做竖直上抛运动，取地面为参考平面，由机械能守恒定律：mgH=mgs+ mv2
所以H=1.2s。
解法二：对A、B物块组成的系统，由动能定理得：
4mgssinθ-mgs= (4m+m)v2
解得
细线断后，根据动能定理：-(mgH-mgs)=0- mv2
解得H=1.2s。
答案：1.2s(共66张PPT)
8
机械能守恒定律
学习
目标 1.知道什么是机械能,知道动能和势能是可以相互转化的。
2.会推导机械能守恒定律。
3.掌握机械能守恒定律的内容,理解守恒条件。
4.体会科学探究中的守恒思想,领悟运用机械能守恒定律解决问题的方法。
一、动能与势能的相互转化
1.重力势能与动能:物体自由下落或沿光滑斜面下滑时,重力对
物体做正功,物体的重力势能_____,动能_____,_________转化
成了_____;反之,将物体竖直上抛时,物体的_____向_________
转化。
减少
增加
重力势能
动能
动能
重力势能
2.弹性势能与动能:被压缩的弹簧具有_________,当弹簧恢复
原来形状时,弹力做正功,弹性势能_____,被弹出的物体的动能
_____,_______能转化为___能。
3.机械能:_________、弹性势能和_____的总称。通过重力或
弹力做功,机械能可以从一种形式_____成另一种形式。
弹性势能
减少
增加
弹性势
动
重力势能
动能
转化
【自我思悟】
1.毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成
吉思汗,只识弯弓射大雕”。试分析成
吉思汗在弯弓射雕过程中,涉及机械能
中哪些能量之间的转化。
提示:箭被射出过程中,弹性势能转化为箭的动能;箭上升过程中,动能向重力势能转化;下落过程中,重力势能又向动能转化。
2.动能为正值,机械能也一定为正值吗
提示:由于机械能为重力势能、弹性势能和动能的和,而重力势能、弹性势能都可能为负值,故它们的和,即机械能可能为正值、负值,还有可能为零。
二、机械能守恒定律
1.推导:物体沿光滑斜面从A滑到B。
(1)由动能定理:WG=______。
(2)由重力做功与重力势能的关系:WG=______。
结论:初机械能等于末机械能Ep1+Ek1=______。
Ek2-Ek1
Ep1-Ep2
Ep2+Ek2
2.内容:在只有_____或_____做功的物体系统内,动能与势能可
以相互转化,而总的机械能_________。
3.表达式:______=Ek1+Ep1,即___=E1。
重力
弹力
保持不变
Ek2+Ep2
E2
【自我思悟】
1.任何运动过程中,系统的机械能都恒定不变吗
提示:不是。机械能守恒是有条件的。
2.为何在只有重力做功时,机械能一定守恒
提示:只有重力做功时,只发生重力势能和动能之间的相互转化,故机械能一定保持不变。
一、对机械能守恒定律的理解 深化理解
1.研究对象:
(1)当只有重力做功时,可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象,也可取几个物体构成的系统作为研究对象。
(2)当物体之间有弹力做功时,必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)。
2.表达式及其意义:
表达式 物理意义
从不同
状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=
-ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看 EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=
-ΔEB 系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能
3.机械能守恒条件的理解:
(1)从能量特点看,系统内部只发生动能和势能的相互转化,无其他形式能量(如内能)之间的转化。
(2)从做功角度来看,只有重力做功或系统弹力做功,具体表现为:
做功条件 例 证
只有重力(或弹簧弹力)做功 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力),机械能守恒
除重力、弹力外还受其他力,但其他力不做功 如物体沿光滑的曲面下滑,尽管受到支持力,但支持力不做功
做功条件 例 证
只有重力和系统内的弹力做功 如图中,小球在摆动过程中线的拉
力不做功,如不计空气阻力,只有
重力做功,小球的机械能守恒
如图中,A、B间,B与地面间摩擦
不计,A自B上自由下滑过程中,
只有重力和A、B间弹力做功,
A、B组成的系统机械能守恒,但
对B来说,A对B的弹力做功,但这个力对B来说是外力,B的机械能不守恒
做功条件 例 证
只有重力和系统内的弹力做功 如图中,不计空气阻力,球在运
动过程中,只有重力和弹簧与
球间的弹力做功,球与弹簧组
成的系统机械能守恒,但对球
来说,机械能不守恒
做功条件 例 证
其他力做功,但做功的代数和为零 如图所示,A、B构成的系统,
忽略绳的质量与滑轮间的摩
擦,在A向下,B向上运动过程
中,FA和FB都做功,但WA+WB=0,
不存在机械能与其他形式的
能的转化,则A、B系统机械
能守恒
【微思考】
(1)物体所受的合外力为零,它的机械能一定保持不变吗
提示:不一定。物体所受的合外力为零,表明它的动能保持不变,但若它的势能发生变化,机械能就会变化。
(2)将某物体斜向上抛出,它先上升后下降做抛物线运动,从机械能守恒角度考虑,它的动能怎么变化
提示:物体被抛出后先上升后下降,它的重力势能先增大后减小,而动能与重力势能的和不变,故整个过程物体的动能先减小后增大。
【题组通关】
【示范题】(多选)下列说法正确的是( )
A.如果物体(或系统)所受到的合外力为零,则机械能一定守恒
B.如果合外力对物体(或系统)做功为零,则机械能一定守恒
C.物体沿光滑曲面自由下滑过程中,机械能一定守恒
D.做匀加速运动的物体,其机械能可能守恒
【解题探究】(1)机械能的守恒条件是系统内只有_____或
_____做功;
重力
弹力
(2)做匀加速运动的物体,其机械能是一定守恒 还是一定不守恒
提示:都不一定。做匀加速运动的物体,如自由落体运动,其机械能守恒。而在水平面做匀加速运动的物体,其机械能就不守恒。
【规范解答】选C、D。物体的合外力为零,如物体在斜面上做匀速直线运动,其机械能就不守恒,A错误;上述例子中合外力做功也为零,B错误;物体沿光滑曲面自由下滑过程中,只有重力做功,所以机械能守恒,C正确;做匀加速运动的物体,仅表明其合外力恒定,是否满足机械能守恒条件无从知晓,故D正确。
【通关1+1】
1.(2013·包头高一检测)关于机械能,下列说法正确的是( )
A.物体做竖直面内的圆周运动,机械能一定守恒
B.物体做匀速直线运动,机械能一定守恒
C.物体必须在只受重力的情况下,机械能才守恒
D.只有重力对物体做功时,物体的机械能一定守恒
【解析】选D。物体做竖直面内的匀速圆周运动时,机械能不守恒,A错。物体沿斜面做匀速直线运动,机械能不守恒,B错。只有重力对物体做功时,动能和重力势能相互转化,机械能一定守恒,D对。物体也受其他力,但其他力不做功,或其他力做的总功等于零时,物体的机械能也守恒,C错。
2.(2014·金华高一检测)质量为1kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑,若选初始位置为零势能点,那么,当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10m/s2)( )
A.0 J,-5 J B.0 J,-10 J
C.10 J,5 J D.20 J,-10 J
【解析】选A。物体下滑时机械能守恒,故它下滑到斜面中点时
的机械能等于在初始位置的机械能,下滑到斜面中点时的重力
势能Ep=-mg ·sin30°=-1×10× ×sin30°J=-5 J。故选
项A正确。
【变式训练】1.(多选)下列几种情况,系统的机械能守恒的
是( )
A.图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B.图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C.图丙中小车上放一木块,小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时,木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D.图丙中如果小车运动时,木块相对小车有滑动
【解析】选A、C。弹丸在碗内运动时,只有重力做功,系统机械能守恒,故A对;运动员越跳越高,表明她不断做功,机械能不守恒,故B错;由于是一对静摩擦力,系统中只有弹簧弹力做功,机械能守恒,故C对;滑动摩擦力做功,系统机械能不守恒,故D错。
2.(多选)如图所示,弹簧固定在地面上,一小球从它的正上方A处自由下落,到达B处开始与弹簧接触,到达C处速度为0,不计空气阻力,则在小球从B到C的过程中( )
A.弹簧的弹性势能不断增大
B.弹簧的弹性势能不断减小
C.系统机械能不断减小
D.系统机械能保持不变
【解析】选A、D。从B到C,小球克服弹力做功,弹簧的弹性势能不断增加,A正确,B错误;对小球、弹簧组成的系统,只有重力和系统内弹力做功,系统机械能守恒,C错误,D正确。
【素养升华】
判断机械能是否守恒应注意的三个问题
(1)合外力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合外力为零时,它一定处于匀速运动状态或静止状态,但它的机械能不一定守恒。
(2)合外力做功为零是物体动能守恒的条件。合外力对物体不做功,它的动能一定不变,但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时,物体的机械能一定守恒;只有重力或系统内弹力做功时,系统的机械能一定守恒。
二、机械能守恒定律的应用 规律方法
1.应用机械能守恒定律的解题步骤:
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程,分析研究对象在运动过程中的受力情况,弄清各力的做功情况,判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面,确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式,列方程求解。
2.机械能守恒定律和动能定理的比较:
规律
内容 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1=E2
ΔEk=-ΔEp
ΔEA=-ΔEB W=ΔEk
应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合外力做功情况
【微思考】
(1)应用机械能守恒定律解题时,首先应关注的是什么
提示:机械能守恒定律的成立是有条件的,因此应用该定律解题时,首先应判断涉及问题的机械能是否守恒。
(2)用细绳把铁锁吊在高处,并把铁锁拉到鼻子尖前释放,保持头的位置不动,铁锁摆回来时,会打到鼻子吗 试试看,并解释原因。
提示:不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验,若没有阻力,铁锁刚好能回到初位置,遵循机械能守恒定律。若存在阻力,机械能损失,铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度,铁锁一定不能到达鼻子的位置。
【题组通关】
【示范题】如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A和B连接,A的质量为4m,B的质量为m,开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H。
【解题探究】(1)物块A或B的机械能守恒吗 A、B物块组成的系统机械能守恒吗
提示:细线的拉力对A、B均做功,故物块A或B的机械能都不守恒;对于A、B物块组成的系统,只有它们的重力做功,故系统的机械能守恒。
(2)细线断开后,物块B做什么运动 机械能是否守恒
提示:做竖直上抛运动,由于只受重力作用,故物块B的机械能守恒。
【规范解答】解法一:对A、B物块组成的系统,系统重力势能减少量-ΔEp=4mgssinθ-mgs,
动能增加量ΔEk= (4m+m)v2。
由机械能守恒定律:ΔEk=-ΔEp,故
4mgssinθ-mgs= (4m+m)v2
解得v=
细线断后,B做竖直上抛运动,取地面为参考平面,由机械能守恒定律:
mgH=mgs+ mv2
所以H=1.2s。
解法二:对A、B物块组成的系统,由动能定理得:
4mgssinθ-mgs= (4m+m)v2
解得v=
细线断后,根据动能定理:
-(mgH-mgs)=0- mv2
解得H=1.2s。
答案:1.2s
【通关1+1】
1.(2014·盐城高一检测)如图所示,在竖直平面内有一半径为
2m的 圆弧形光滑导轨AB,A点与其最低点C的高度差为1m,今
由A点沿导轨无初速释放一个小球,若g取10m/s2,则( )
A.小球过B点的速度vB=2 m/s
B.小球过B点的速度vB= m/s
C.小球离开B点后做平抛运动
D.小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
【解析】选B。由于cos∠AOE= ∠AOE=60°,故
∠BOC=90°-60°=30°,hBC=R-Rcos∠BOC=(2- )m, hAB=
hAC-hBC=( -1) m，根据机械能守恒定律得mghAB= mvB2，所
以 A错，B对。小球离开B点后做
斜上抛运动，C错。到达最高点时，小球具有水平方向的速
度，由机械能守恒知，小球离开B点后到达最高点时的高度低
于A、D点的高度，D错。
2.(2013·包头高一检测)如图所示的滑轮光滑轻质,阻力不计,M1=2kg,M2=1kg,M1离地高度为H=0.5m。M1与M2从静止开始释放,M1由静止下落0.3m时的速度为( )
A. m/s B.3 m/s
C.2 m/s D.1 m/s
【解析】选A。对系统运用机械能守恒定律得,(M1-M2)gh=
(M1+M2)v2,代入数据解得v= m/s,故A正确,B、C、D错误。
【变式训练】1.(2012·上海高考)如图,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是( )
【解析】选C。运用机械能守恒定律:当A下落到地面前,对AB整
体有:2mgR-mgR= ×2mv2+ mv2,所以 mv2= mgR,即A落
地后B还能再升高 ,上升的最大高度为 R,故选项C正
确,A、B、D错误。
2.如图所示,一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC,其半径R=0.5m,轨道在C处与水平地面相切,在C处放一小物块,给它一水平向左的初速度v0=5m/s,结果它沿CBA运动,通过A点,最后落在水平地面上的D点,求C、D间的距离x。(重力加速度g取10m/s2)
【解析】解法一:应用机械能守恒定律求解
物块由C到A过程,只有重力做功,机械能守恒,则
ΔEp=-ΔEk,
即2mgR= mv02- mv2 ①
物块从A到D过程做平抛运动,则
竖直方向:2R= gt2 ②
水平方向:x=vt ③
由①②③式并代入数据得:x=1m。
解法二:应用动能定理求解
物块由C到A过程,只有重力做功,由动能定理得
-mg·2R= mv2- mv02 ①
物块从A到D过程做平抛运动,则
竖直方向:2R= gt2 ②
水平方向:x=vt ③
由①②③式并代入数据得:
x=1m。
答案:1m
【素养升华】
机械能守恒定律表达式的灵活选取
(1)当研究对象为单个物体时,可优先考虑应用表达式Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp来求解。
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时:
①若A物体的机械能增加,B物体的机械能减少,可优先考虑用表达式ΔEA=-ΔEB来求解;
②若两个物体的重力势能都在减小(或增加),动能都在增加(或减小),可优先考虑应用表达式ΔEk=-ΔEp来求解。
【资源平台】备选角度:链条类问题
【示范题】如图所示,总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮,开始时底端相齐,当略有扰动时其一端下落,则铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多大
【标准解答】设铁链单位长度的质量为ρ，且选滑轮最高点所
在水平面为参考平面，则初状态机械能
末状态机械能为 由机械能守恒定律E1=E2，
即
答案：
应用机械能守恒定律解题
【案例剖析】(16分)如图所示,半径为r,质量不计的圆盘盘面
与地面垂直,圆心处有一垂直盘面的①光滑水平固定轴O,在盘
的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点正下方离O点 处
固定一个质量也为m的小球,放开盘让其②自由转动,问:
(1)当A球转到③最低点时,两小球的重力势能之和减少了多少
(2)A球转到最低点时的线速度是多少
(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的④最大角度是多少
【审题】抓准信息,快速推断
关键信息 信息挖掘
题
干 ①光滑 说明小球A、B与圆盘组成的系统机械能守恒
②自由转动 说明开始运动时,小球A、B的初速度均为零
问
题 ③最低点 表明两球的位置,球A到达最低点,B到达O点的高度
④最大角度 表明此时两球的速度又重新变为零
【答题】规范解题·步步得分
(1)当A球转到最低点时,A的重力势能减少mgr, (1分)
B的重力势能增加 mgr。 (1分)
所以两小球的重力势能之和减少为
ΔEp=mgr- mgr= mgr。 (2分)
(2)取圆盘最低处的水平面为零势能面,由机械能守恒定律可得:
mgr+ mgr=mgr+ mvA2+ mvB2 (3分)
其中vA=2vB (2分)
所以vA= (2分)
(3)设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ(如图所示),
则据机械能守恒定律可得:
-mgr·cosθ=0 (3分)
2cosθ=1+sinθ
5sin2θ+2sinθ-3=0
解得sinθ=0.6
所以θ=37° (2分)
答案:(1) mgr (2) (3)37°
【警示】点拨疑难·杜绝失分
(1)求解“两小球的重力势能之和减少”时,审题不清,只求解了A球的重力势能减少量。
(2)求解“A球转到最低点时的线速度”时,想不到利用机械能
守恒定律,以至于无法来求解;不能确定A、B两球的线速度大
小关系,以至于即使想到了方法,也无法来求解。
(3)求解“最大角度”时,不能列出机械能守恒方程mgr·cosθ
- =0,或者即使列出了方程,也不会求解。
【补偿训练】滑板运动是一项惊险刺激的运动,深受青少年的喜爱。如图所示是滑板运动的轨道,AB和CD是一段圆弧形轨道,BC是一段长7m的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6m/s的速度下滑,经BC轨道后冲上CD轨道,到Q点时速度减为零。已知运动员的质量为50kg,h=1.4m,H=1.8m,不计圆弧轨道上的摩擦。(g取10m/s2)求:
(1)运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少
(2)运动员与BC轨道的动摩擦因数。
【解析】以水平轨道为零势能面。
(1)从P点到B点，根据机械能守恒定律有
解得vB=8 m/s
从C点到Q点，根据机械能守恒定律有
mvC2=mgH
解得vC=6 m/s。
(2)从B到C由动能定理，
-μmglBC= mvC2- mvB2
解得μ=0.2。
答案:(1)8 m/s 6 m/s (2)0.2(共26张PPT)
8 机械能守恒定律
蹦极运动中发生了哪些能量的转化呢？转化过程中遵循什么样的规律呢？
1.理解物体的动能和势能可以相互转化，知道什么是
机械能。
2.理解机械能守恒定律及其条件。
3.会判定具体问题中机械能是否守恒，并能运用机械
能守恒定律解决问题。
（重点）
（难点）
一、机械能：我们把重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。
注：机械能具有相对性，其大小与参考平面和参考系的选取有关，机械能是标量。
【探究一:动能与势能怎样相互转化？】
上坡：
重力做负功，重力势能增加，动能减小，动能转化为重力势能
下坡：
重力做正功，重力势能减少，动能增加，重力势能转化为动能
问题1：动能与重力势能是怎样转化的？
阿霍宁在跳台滑雪的过程中能量是怎样变化的？
问题2：动能和弹性势能是怎样互相转化的？
弹簧恢复形变过程中，弹力做正功，弹性势能 ，动能 ；
被压缩过程中，弹力做负功，弹性势能 ，动能 ；
增加
减小
增加
减小
探究结论：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
【对点训练】
物体质量m=2kg在距地面10m高处，以10m/s的水平速度飞行，求它的总机械能为多少？
解题关键：机械能等于物体的动能和势能的总和。
答案：300 J
小球摆到另一侧相同高度说明了什么？
小球的能量转化有定量的关系吗？
情景1：质量为m的物体仅在重力作用下做自由落体运动，试分析物体在A点的机械能E1和在B点的机械能E2的定量关系。
根据动能定理：
由重力做功与重力势能变化的关系：
①
②
由以上两式得：
Ek2+Ep2＝Ek1+Ep1
E2＝E1
也就是
【探究归纳】
【探究二：机械能守恒定律及其条件】
情景2：质量为m的物体沿光滑斜面下滑过程，物体在A点的机械能E1和在B点的机械能E2的定量关系又如何呢？
h1
h2
根据动能定理：
由重力做功与重力势能变化的关系：
由以上两式得：
Ek2+Ep2＝Ek1+Ep1
E2＝E1
也就是
【探究归纳】
情景3：一个物体沿着光滑的曲面滑下，物体在A点的机械能E1和在B点的机械能E2的定量关系也相等吗？
根据动能定理：
由重力做功与重力势能变化的关系：
由以上两式得：
Ek2+Ep2＝Ek1+Ep1
E2＝E1
也就是
【探究归纳】
h1
h2
v1
v2
【探究归纳】对比三种不同情景
h1
h2
除了重力还受到支持力；
只有重力做功；
直线运动；
仅受重力；
只有重力做功；
直线运动；
除了重力还受到支持力；
只有重力做功；
曲线运动；
【探究结论】在只有重力做功的系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
1.内容：在只有重力做功或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2.数学表达式：
①
初状态机械能等于末状态机械能
E2＝E1
②
减少的重力势能等于增加的动能
二、机械能守恒定律
（1）从做功角度看：只有重力做功或弹簧弹力做功
3.机械能守恒条件：
【探究归纳】
（2）从能量转化角度看：只有系统内动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化
【拓展思考】
如何判断一个运动过程中机械能是否守恒呢？
【学以致用】下列实例中哪些情况机械能是守恒的
跳伞员利用降落伞在空中匀速下落
抛出的篮球在空中运动（不计阻力）
光滑水平面上运动的小球，把弹簧压缩后又被弹回来。
v
例题：把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示）。摆长为l，最大偏角为θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低位置时的速度是多大？
解：拉力F不做功，只有重力G做功，小球机械能守恒。以最低点为参考平面。
O
B
A
θ
l
G
FT
最低点O的机械能为
由
解得
最高点A的机械能为
【互动探究】
上述例题能否用机械能守恒的另一种表达方式计算，如 。
解：设小球达到的最低点为参考平面。
则 ， ， ，
由于该运动过程机械能守恒，则
解得
（1）确定研究对象和研究过程;
【规律总结】
应用机械能守恒定律解题的一般步骤：
（2）分析物体的受力，明确各力做功的情况，判断是否符合机械能守恒的条件；
（3）分析物体的运动，恰当地选取参考平面，确定物体初、末状态的机械能（势能和动能）；
（4）根据机械能守恒定律列方程求解。
机械能
概念：机械能是动能、弹性势能和重力势能的统称
表达式：
标矢性：机械能是标量，具有相对性
机械能守恒定律
定律内容：
表达式
条件：只有重力或弹力做功
1.下列关于机械能是否守恒的叙述中，正确的是( )
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有弹力做功，则物体的机械能不一定守恒
B
2.（多选）下列关于功和机械能的说法，正确的是
（ ）
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
BC
3.（多选）两质量相同的小球A、B，分别用线悬在等高
的O1、O2点，A球的悬线比B球的长，把两球的悬线均拉
到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（以悬点
为零势能点，如图所示）（ ）
A.A球的速度大于B球的速度
B.A球的动能大于B球的动能
C.A球的机械能大于B球的机械能
D.A球的机械能等于B球的机械能
ABD
4.如图所示，在竖直平面内有一段四分之一圆弧轨道，半径OA在水平方向，一个小球从顶端A点由静止开始下滑，已知轨道半径R＝10cm，不计摩擦，求小球刚离开轨道底端B点时的速度大小？
解题关键：小球在轨道上做变速圆周运动，支持力始终垂直于小球的运动方向，对小球不做功，全程只有重力作功，整个过程机械能守恒。
5.如图为翻滚过山车示意图，圆轨道的半径为10m，为了安全，则过山车由静止开始向下运动时离地至少多高？（不考虑空气阻力和摩擦阻力）
h
B
A
答案：25m
解题关键：为了安全的含义——车通过B点临界条件：
不是每一粒种子都能发芽，不是每一段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云遮不住太阳的光华。
