第六章 平面向量及其应用 复习(1)
一、 单项选择题
1. 设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.正确结论的序号是( )
A. ①⑤ B. ②④⑤
C. ③⑤ D. ①③⑤
2. 已知向量a＝(2，t)，b＝(1，2)，当t＝t1时，a∥b；当t＝t2时，a⊥b，则下列结论中正确的是( )
A. t1＝－4，t2＝－1
B. t1＝－4，t2＝1
C. t1＝4，t2＝－1
D. t1＝4，t2＝1
3. (2023高一单元测试)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，则“|a＋2b|＝|2a－b|”是“a⊥b”的( )
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 现将两块直角边长为1的等腰直角三角形按如图所示的方式拼在一起，若＝λ＋k，则λ＋k的值为( )
A. 1＋
B. 2－
C. 2
D. ＋2
5. (2023杭州西湖高级中学高一阶段练习)已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，点D沿A→C→B运动，则·的最小值是( )
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
6. (2023全国高一专题练习)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，M为BC的中点，则下列结论中正确的是( )
A. ＋＝＋3
B. ＋＝－3
C. ＋＝2＋4
D. ＋＝2－4
二、 多项选择题
7. (2023高一单元测试)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中正确的是( )
A. x0∈R，a∥b
B. x∈R，a⊥b
C. x∈R， m∈R，使(ma＋b)⊥a
D. x∈R， m∈R，使(ma＋b)∥a
8. (2023运城高一阶段练习)下列说法中，错误的是( )
A. λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
B. 若a∥b，b∥c，则a∥c
C. 两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a＋b|，则a与b垂直
D. 若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
三、 填空题
9. 已知向量a＝(1，3x)，b＝(－1，9)，若a与b共线，则实数x的值为________．
10. 平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
11. (2023高一单元测试)已知a＝(1，2)，b＝(1，－7)，c＝2a＋b，则c在a方向上的投影向量的模为________．
12. (2022扬州期末适应性考试)在△ABC中，AC＝2BC＝6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝2，若·的最小值为3，则cos ∠ACB＝________．
四、 解答题
13. (2023广西高一期末)已知平面向量a，b，c，且a＝(－2，1).
(1) 若a∥c，且|c|＝25，求向量c；
(2) 若b＝(3，2)，求a在b方向的投影向量．
14. 如图，在四边形OBCD中，＝2，＝2，∠BOD＝，且||＝||＝1.
(1) 用，表示；
(2) 点P在线段AC上，且＝3，求与的夹角θ的余弦值．
【答案解析】
第六章 平面向量及其应用 复习(1)
1. D 解析：因为a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.又b是任一非零向量，所以a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以①③⑤正确．
2. C 解析：因为a＝(2，t)，b＝(1，2)，当t＝t1时，a∥b，所以t1＝4；当t＝t2时，a⊥b，所以2×1＋2t2＝0，解得t2＝－1.
3. A 解析：因为|a|＝|b|≠0，所以|a＋2b|＝|2a－b| |a＋2b|2＝|2a－b|2 a2＋4a·b＋4b2＝4a2－4a·b＋b2 a·b＝0 a⊥b.
4. A 解析：由题意，得＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋－(－)＝＋，所以λ＝，k＝1＋，所以λ＋k＝1＋.
5. A 解析：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，可得BC＝2，当点D在AC上运动时，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(λ－1)，所以·＝·(＋)＝·＋·.又因为∠C＝90°，所以AD⊥BC，所以·＝0，所以·＝·＝λ(λ－1)2＝42－1，所以当λ＝时，·取得最小值－1；当点D在BC上运动时，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(λ－1)，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝λ(λ－1)2＝12－3，所以当λ＝时，·取得最小值－3，综上，·的最小值是－3.
6. D 解析：在如图所示的Rt△ABC中，角B为直角，则垂心H与点B重合，因为O为△ABC的外心，所以OA＝OC，即O为斜边AC的中点．因为M为BC的中点，所以＝2，所以＋＝2＝2(＋)＝2(2＋)＝4＋2＝2－4.
7. BC 解析：若a∥b，则x2＝－9，此时方程无解，所以不存在x0∈R，使得a∥b，故A错误；由a·b＝x×(－3)＋3x＝0，所以a⊥b，故B正确；若(ma＋b)⊥a，则(ma＋b)·a＝ma2＋a·b＝ma2＝0，可得m＝0，故C正确；因为ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，a＝(x，3)，若(ma＋b)∥a，则(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，可得x2＝－9，此时方程无解，故D错误．故选BC.
8. AB 解析：对于A，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线，故A错误，对于B，如果b＝0，满足已知条件，但是结论不成立，故B错误；对于C，若|a－b|＝|a＋b|，则(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，所以a与b垂直，故C正确；对于D，若2＋＋3＝0，设＝2，＝3，可得O为△A′BC′的重心，设S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，则S△A′OB＝2x，S△BOC′＝3y，S△A′OC′＝6z，由2x＝3y＝6z，可得S△AOC ∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6，故D正确．故选AB.
9. －3 解析：因为a与b共线，所以9＋3x＝0，解得x＝－3.
10. 2 解析：由题意，得|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以 |a＋2b|＝2.
11. 解析：c＝2a＋b＝(2，4)＋(1，－7)＝(3，－3)，所以c在a方向上的投影向量的模为 ＝＝.
12. 解析：如图，取线段MN的中点P，连接CP，过点C作CO⊥AB于点O，则PM＝MN＝1.依题意，·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1.因为·的最小值为3，所以||的最小值为2，所以CO＝2.在Rt△AOC中，cos ∠OCA＝＝，sin ∠OCA＝.在Rt△BOC中，cos ∠OCB＝＝，sin ∠OCB＝，所以cos ∠ACB＝cos (∠OCA＋∠OCB)＝cos ∠OCA cos ∠OCB－sin ∠OCA sin ∠OCB＝.
13. (1) 设c＝(x，y)，
因为a∥c，a＝(－2，1)，所以x＝－2y.
又|c|＝25，
所以x2＋y2＝625，所以y2＝125，
所以y＝±5，
所以或
所以c＝(－10，5)或(10，－5).
(2) 设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝－6＋2＝－4，
所以|a|cos θ＝＝－＝－，
所以a在b上的投影向量为.
14. (1) 由＝2，得OB∥CD.
由＝2，得A为OD的中点．
由∠BOD＝，得∠CDO＝.
以O为坐标原点，，正方向为x轴，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B(0，2)，C(2，1)，
所以＝(1，0)，＝(0，2)，＝(2，－1).
设＝x＋y，则
解得
所以＝2－.
(2) 由(1)，知＝(1，1).
由＝3，得＝＝，
则P，所以＝.
又＝(2，－1)，所以cos θ＝＝＝.第六章 平面向量及其应用 复习(2)
一、 单项选择题
1. (2023高一单元测试)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝a，且cos B＝，则下列结论中正确的是( )
A. A＝2B B. A＝B
C. A＋B＝90° D. 2A＝B
2. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＋＝1，则角B的大小为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3. 在△ABC中，若AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高h的长度为( )
A. B.
C. D. 3
4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b的值为( )
A. B. 6
C. 7 D. 8
5. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)( )
A. 11.4 km
B. 6.6 km
C. 6.5 km
D. 5.6 km
6. (2023南宁高一期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，其中2λ＋μ＝3，则||的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7. (2023西安高一阶段练习)下列命题中，正确的是( )
A. 在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B. 在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a－c＝，b＝1，＋＝2，则下列结论中正确的是( )
A. ac＝1
B. B＝
C. △ABC的面积为
D. △ABC的周长为＋1
三、 填空题
9. 在△ABC中，已知a＝，A＝60°，则 的值为________．
10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，＝，则sin C＝________．
11. 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则边AC上的中线长为________．
12. (2023徐州第一中学高一阶段练习)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则tan C＋的取值范围为________．
四、 解答题
13. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A－sin C＝(sin B－sin C).
(1) 求角A的大小；
(2) 从两个条件：①a＝3；②△ABC的面积为3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
14. (2023江苏高一专题练习)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b cos C＋c cos B＝2a cos A.
(1) 求角A的大小；
(2) 若点D在线段BC上，且AD平分∠BAC，BD＝2CD，AD＝，求△ABC的面积．
【答案解析】
第六章 平面向量及其应用 复习(2)
1. A 解析：由题意，得cos B＝＝＝＝，所以a＝b，又b＋c＝a，所以c＝b，所以cos A＝＝＝－，cos 2B＝2cos 2B－1＝2×2－1＝－，所以cos A＝cos 2B.因为A，B∈(0，π)，A＋B<π，所以A＝2B，故A正确，B，D错误；sin A＝＝，sin B＝＝，所以cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝－≠0，所以A＋B≠90°，故C错误．
2. B 解析：因为＋＝1，所以＝1，所以c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，所以cb＋c2＋a2＋ab＝ab＋b2＋bc＋ac，所以c2＋a2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝.因为B∈(0°，180°)，所以B＝60°.
3. B 解析：由题意可知cos A＝＝，所以sin A＝.又因为S△ABC＝AB·AC· sin A＝·AC·h，所以h＝.
4. A 解析：因为A＋C＝，所以B＝π－(A＋C)＝.因为a＝3，c＝2，所以由余弦定理，得b＝＝.
5. B 解析：在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝1 000×＝.根据正弦定理，得＝，所以BC＝，所以BC·sin 75°＝×sin (45°＋30°)≈11.4，所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6(km).
6. A 解析：在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°，由正弦定理，得＝，即＝，解得sin ∠OAB＝1.因为0°<∠OAB<180°，所以∠OAB＝90°，所以△OAB为等腰直角三角形．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点A作AM⊥OB于B，则OM＝AM＝，则点A的坐标为，所以＝，＝(，0)，因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以＝λ＋μ(，0)＝，则||＝＝.因为2λ＋μ＝3，所以μ＝3－2λ，代入上式可得||
＝
＝＝，所以当λ＝时，||min＝＝.
7. ABD 解析：对于A，在△ABC中，A>B，则a>b，由正弦定理可得sin A>sin B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈(0，)，A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin (－B)＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B及正弦定理，得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，故A＝B或A＋B＝，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，所以a＝c，又B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故D正确．故选ABD.
8. BC 解析：因为2a－c＝，b＝1，所以＝.由正弦定理，知＝，化简，得2sin A cos B－sin C cos B＝cos C sin B，所以2sin A cos B＝sin C cos B＋cos C sin B＝sin (B＋C)＝sin A．因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos B＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝，故B正确；由＋＝2，可得＝2，所以＝＝＝2，所以＝2sin B＝3.由正弦定理可得 b2＝3ac，即ac＝，故△ABC的面积为ac sin B＝××＝，故A错误，C正确；由余弦定理，知b2＝1＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝2，a＋c＝，故△ABC的周长为＋1，故D错误．故选BC.
9. 2 解析：因为a＝，A＝60°，所以由正弦定理，得＝＝＝＝＝2，所以＝2.
10. 解析：因为∠BAC＝，AD⊥BC，所以∠BAD＝，所以在△ABD中，＝，＝＝，解得tan C＝.又所以sin C＝.
11. 7 解析：由条件知cos A＝＝＝.设中线长为x，由余弦定理知x2＝＋AB2－2··AB cos A＝42＋92－2×4×9×＝49，所以x＝7，所以AC边上的中线长为7.
12. (1＋，＋∞) 解析：因为＝，所以由正弦定理及余弦定理可得＝，所以sin C＝－.因为C为△ABC的一个内角，所以sin C>0，由sin C＝－，知cos B，cos A异号．若cos A<0，cos B>0，则A为钝角，B，C为锐角，则cos B＝－sin C cos A<－cos A＝cos (π－A)，所以B>π－A，所以A＋B>π，不合题意；若cos B<0，cos A>0，则B为钝角，A，C为锐角，因为A＋B＋C＝π，所以cos B＝－cos (A＋C)＝－cos A cos C＋sin A sin C，由sin C＝－，得cos B＋sin C cos A＝0，即－cos A cos C＋sin A sin C＋sin C cos A＝0，因为A，C为锐角，所以cos A≠0，cos C≠0，方程两边同除以cos A cos C，得＝0，则－1＋tan A tan C＋tan C＝0，即tan C＝.因为A为锐角，所以tan A>0，所以tan C∈(0，1)，所以tan C＋的取值范围为(1＋，＋∞).
13. (1) 因为sin A－sin C＝(sin B－sin C)，
所以a－c＝(b－c)，得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 若选①：因为A＝，a＝3，
由正弦定理，得＝＝＝2，
所以b＝2sin B，c＝2sin C，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2sin B＋2sin C＋3＝2sin B＋2sin (－B)＋3＝3sin B＋3cos B＋3＝6sin (B＋)＋3.
因为B∈，
所以
所以△ABC周长的取值范围是(6，9].
若选②：由A＝，S△ABC＝bc sin A＝bc＝3，得bc＝12.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝＋b＋c.
因为b＋c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以l≥＋4＝6，
即△ABC周长的取值范围是[6，＋∞).
14. (1) 由b cos C＋c cos B＝2a cos A，及正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A，即sin (B＋C)＝2sin A cos A，
则sin A＝2sin A cos A.
又0所以cos A＝，故A＝.
(2) 由题可知∠BAD＝∠CAD＝，
设DC＝x，则BD＝2x，
由正弦定理，得＝，＝，
则＝＝2，
由余弦定理，得cos B＝＝，则c2－6x2＋2b2－9＝0.
又c＝2b，故x2＝b2－.
由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝，即＝，
解得b＝，则c＝3，
所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝××3×＝.