7．1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、 单项选择题
1. (2022衡阳期末)给出下列说法，其中正确说法的个数是( )
①如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等；
②若a，b∈R且a>b，则ai>bi；
③如果复数x＋yi是实数，那么x＝0，y＝0；
④复数a＋bi不是实数．
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. 若(m2－5m＋6)＋(m2＋3m－10)i＝0(m∈R)，则m的值为( )
A. 2 B. 2或3
C. 2或－5 D. 2或3或－5
3. 若复数＋ilg (2m2－3m－4)为实数，则实数m的值为( )
A. －1 B.
C. －1或 D. 1或－
4. 已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1，3}，i为虚数单位，若M＝N，则实数m的值为( )
A. －1或4或6
B. －1或4
C. －1或6
D. －1
5. (2023安庆高一期末)已知a，b均为实数，复数z＝a2－b＋(b－2a)i，其中i为虚数单位，若z<3，则a的取值范围为( )
A. (－1，3)
B. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)
D. (－3，1)
6. (2023江苏高一专题练习)已知复数z1＝m＋(1－m2)i，m∈R，z2＝cos θ＋(λ＋sin θ)i，λ，θ∈R，且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A. －1≤λ≤1 B. －≤λ≤0
C. 0≤λ≤2 D. －≤λ≤2
二、 多项选择题
7. (2023绥化高一阶段练习)下列关于复数x＋i的说法中，正确的是( )
A. 存在x使得x＋i小于0
B. 存在x使得(x＋i)2 023＝－1
C. x＋i不是实数
D. x＋i的实部和虚部均为1
8. 下列命题中，正确的是( )
A. 方程2x－5＝0在自然数集中无解
B. 方程2x2＋9x－5＝0在整数集中有一解，在有理数集中有两解
C. x＝i是方程x2＋1＝0在复数集中的一个解
D. x4＝1在实数集中有两解，在复数集中也有两解
三、 填空题
9. 若复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，则实数a的值为________．
10. (2022高一课时练习)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(i是虚数单位)，那么实数x，y的值分别为________．
11. (2023河北尚义县第一中学高一阶段练习)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 023＝________．
12. 已知3x－2 021＝(y－3)i(x，y∈R)，则yx＝________．
四、 解答题
13. 已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i，5}，其中m∈R，i为虚数单位，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．
14. (2023抚州资溪县第一中学高一期末)已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π].
(1) 若z1，z2∈R且z1>z2，求t的值；
(2) 若z1＝z2，求θ的值．
【答案解析】
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
1. A 解析：只有①的说法正确，其余都不正确．故选A.
2. A 解析：由题意，得解得m＝2.
3. B 解析：由题意，得解得m＝.
4. D 解析：由题意，得(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，由复数相等的条件可得解得m＝－1.
5. A 解析：由题意，得则a2－2a－3<0，解得－1
6. D 解析：因为z1＝m＋(1－m2)i，z2＝cos θ＋(λ＋sin θ)i，z1＝z2，所以消去m，得1－cos 2θ＝λ＋sin θ，则λ＝sin2θ－sinθ＝－.因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝时，λ取得最小值为－；当sin θ＝－1时，λ取得最大值为2，所以－≤λ≤2.
7. AB 解析：由复数x＋i，取x＝－2－i，x＋i<0，故A正确；当x＝－1－i时，(x＋i)2 023＝－1，故B正确；当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C错误；由于x的取值未知，故D错误．故选AB.
8. ABC 解析：对于A，方程2x－5＝0的根为x＝ N，故方程在自然数集N中无解，故A正确；对于B，方程2x2＋9x－5＝0，即(2x－1)·(x＋5)＝0，故在整数集Z中有一解x＝－5，在有理数集Q中有两解x＝－5和x＝，故B正确；对于C，将x＝i代入方程，x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集中的一个解，故C正确；对于D，x4＝1在R中有两解x＝±1，在复数集C中有四解x＝±1，x＝±i，故D错误．故选ABC.
9. －2 解析：由题意，得解得a＝－2.
10. －1，2 解析：由题意，得解得
11. 0 解析：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 023＝1＋505(i＋i2＋i3＋1)＋i＋i2＋i3＝0.
12. 2 021 解析：因为3x－2 021＝(y－3)i(x，y∈R)，所以解得所以yx＝3log32 021＝2 021.
13. 因为P∩Q＝P∪Q，所以P＝Q，
所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
所以解得m＝2.
14. (1) 因为z1，z2∈R，
所以解得
因为θ∈[0，π]，
所以z2＝sin θ＝＝，
当t＝－1时，z1当t＝1时，满足z1>z2，
综上，t＝1.
(2) 若z1＝z2，则
所以sin2θ－1＝2cosθ＋1，
即－cos 2θ＝2cos θ＋1，
所以cos 2θ＋2cos θ＋1＝0，即(cos θ＋1)2＝0，
解得cos θ＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.7．1.2 复数的几何意义
一、 单项选择题
1. 若复数z1，z2满足z1＝，则z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2( )
A. 关于实轴对称
B. 关于虚轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y＝x对称
2. (2023宁德第一中学高一阶段练习)若z＝(m＋1)＋(m－1)i(i是虚数单位，m∈R)对应的点在复平面内位于第四象限，则m的取值范围为( )
A. m<－1 B. m>1
C. －11
3. 如果z是3＋4i的共轭复数，则z对应的向量的模是( )
A. 1 B.
C. D. 5
4. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A. 4＋8i B. 8＋2i
C. 2＋4i D. 4＋i
5. 已知复数z1＝(m2－1)＋(m2＋2m－3)i，z2＝m＋i，其中i为虚数单位，m∈R，若z1为纯虚数，则下列说法中正确的是( )
A. m＝±1
B. 复数z2在复平面内对应的点位于第一象限
C. |z2|＝2
D. |z1|2＝|z2|2
6. (2023漳州统考模拟)复数z满足|z|＝|z－1|＝|z－i|，则|z|等于( )
A. B. C. D. 2
二、 多项选择题
7. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
A. i＋i2＋i3＋i4＝0
B. 复数z＝3－i的模为
C. 若z＝(1＋2i)2，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 已知复数z满足|z－1|＝|z＋1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
8. 已知a∈R，复数z＝3＋2a＋(2－3a)i，则下列说法中正确的是( )
A. 若复数z为纯虚数，则a＝－
B. 若复数z为实数，则a＝
C. 若复数z的模为，则a＝1
D. 若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则－三、 填空题
9. 若z∈C，且|z|＝1，则|z－3－4i|的最小值为________．
10. 给出下列四个命题：
①任何复数的模都是非负数；
②x轴是复平面内的实轴，y轴是复平面内的虚轴；
③若z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，则这些复数的对应点共圆；
④|cos θ＋isin θ|的最大值为，最小值为0.
其中正确的命题是________．(填序号)
11. (2023安顺高一期末)若复数z＝(a2－a－2)＋(a2＋2a)i(i为虚数单位，a∈R)对应的点在第二象限，则a的取值范围是________．
12. 设复数z＝2＋5i在复平面内对应点A，点A关于实轴对称的点所对应的复数是________，关于虚轴对称的点所对应的复数是________，关于直线y＝x对称的点所对应的复数是________．
四、 解答题
13. (2023玉林高一联考)已知复数z＝m2＋m－2＋(2m2－m－1)i，其中m∈R，i为虚数单位．
(1) 当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
(2) 若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
14. (2023高一课时练习)
(1) 求复数z＝x＋(2x＋1)i(x∈R)的模的最小值；
(2) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若|z|≥1，0【答案解析】
7．1.2 复数的几何意义
1. A 解析：由题意，可得复数z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称．
2. C 解析：复数z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点(m＋1，m－1)在复平面内位于第四象限，则解得－13. D 解析：由题意，得z＝3－4i，所以z对应的向量的坐标为(3，－4)，其模为＝5.
4. C 解析：复数6＋5i对应的点为A(6，5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，故点C对应的复数为2＋4i.
5. C 解析：对于A，因为z1为纯虚数，所以所以m＝－1，故A错误；对于B，当m＝－1时，z1＝－4i，z2＝－1＋i，复数z2在复平面内对应的点在第二象限，故B错误；对于C，|z2|＝＝2，故C正确；对于D，|z1|2＝0＋(－4)2＝16，|z2|2＝4，|z1|2≠|z2|2，故D错误．
6. B 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝|z－1|＝|z－i|，得|a＋bi|＝|(a－1)＋bi|＝|a＋(b－1)i|，所以＝＝，解得a＝b＝，所以|z|＝＝.
7. ABD 解析：对于A，i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正确；对于B，复数z＝3－i的模为＝，故B正确；对于C，z＝(1＋2i)2＝1＋4i2＋4i＝－3＋4i，所以＝－3－4i，对应的点(－3，－4)位于第三象限，故C不正确；对于D，复数z满足|z－1|＝|z＋1|，表示复数z对应的点到点A(1，0)和点B(－1，0)两点的距离相等，所以z在复平面内对应的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选ABD.
8. ABD 解析：由题意，z＝3＋2a＋(2－3a)i，若复数z为纯虚数，则3＋2a＝0，且2－3a≠0，解得a＝－，故A正确；若复数z为实数，则2－3a＝0，解得a＝，故B正确；若复数z的模为，则(3＋2a)2＋(2－3a)2＝13＋13a2＝13，解得a＝0，故C不正确；若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则3＋2a>0，且2－3a>0，解得－9. 4 解析：因为复数z满足|z|＝1，所以对应的点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，所以|z－3－4i|表示点Z与点(3，4)之间的距离．圆心O到点(3，4)的距离d＝＝5，所以|z－3－4i|的最小值为5－1＝4.
10. ①②③ 解析：任何复数的模都大于等于零，故①正确；由复平面的定义，得x轴是复平面内的实轴，y轴是复平面内的虚轴，故②正确；z1，z2，z3，z4对应复平面内的点到原点的距离都为，故③正确；|cos θ＋isin θ|＝＝1，故④错误．
11. (0，2) 解析：由题意，得解得012. 2－5i －2＋5i 5＋2i 解析：复数z＝2＋5i在复平面内的对应点A的坐标为(2，5)，点A关于实轴对称的点的坐标为(2，－5)，对应的复数为2－5i；点A关于虚轴对称的点的坐标为(－2，5)，对应的复数为－2＋5i，点A关于直线y＝x对称的点的坐标(5，2)，对应的复数为5＋2i.
13. (1) 由题意，得
解得m＝－2，
故当实数m＝－2时，复数z是纯虚数．
(2) 由题意，得
解得－2故实数m的取值范围为.
14. (1) 因为z＝x＋(2x＋1)i(x∈R)，
所以|z|＝＝＝≥，当且仅当x＝－时，等号成立，
所以|z|的最小值为.
(2) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面上的对应点的坐标为(a，b)，
因为|z|≥1，0所以a2＋b2≥1，0所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括x，y轴上的点)，
所以复数z对应的点形成的图形的面积S＝2×2－＝4－.