7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
一、 单项选择题
1. 若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A. －2 B. 4
C. －3 D. 3
2. 设z1＝x2－i，z2＝－1＋xi，x∈R，若z1＋z2为纯虚数，则实数x的值为( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 1或－1
3. (2023邵阳高一期末)若m>1，则复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知i为虚数单位，复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若z1＋z2为实数，z1－z2为纯虚数，则实数a，b的值分别为( )
A. －3，－4 B. －3，4
C. 3，－4 D. 3，4
5. (2023湖北三模)如图，在正方形OABC中，点A对应的复数是3＋5i，则顶点B对应的复数是( )
A. －2＋8i B. 2－8i
C. －1＋7i D. －2＋7i
6. (2023江苏高一专题练习)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则|z1－z2|等于( )
A. 0 B. 1
C. D.
二、 多项选择题
7. 已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论中正确的是( )
A. 点P1在复平面上的坐标为(2，－2)
B. ＝2＋2i
C. |z1－z2|的最大值为＋1
D. |z1－z2|的最大值为－1
8. (2023荆州高一联考)已知复数z1＝1－i，z2＝2－i，z3＝2＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为原点，则下列结论中正确的是( )
A. z1＋z2的虚部为－2i
B. z2－z3为纯虚数
C. OA⊥OC
D. 以OA，OB，OC为三边长的三角形为钝角三角形
三、 填空题
9. 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝________．
10. 已知复数z＝a＋i(a∈R).若|z|<，则z＋i2在复平面内对应的点位于第________象限．
11. 若复数z满足z－2i＝|4＋3i|，其中i为虚数单位，则z＝________．
12. (2023咸阳高二期中)已知z∈C，|z－2|＝1，则|z＋i|的取值范围为________．
四、 解答题
13. 如图，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) ，所表示的复数；
(2) 对角线所表示的复数；
(3) 点B对应的复数．
14. (2023南昌高一联考)已知复数z满足|z|2＋2z－2i＝0.
(1) 求z；
(2) 比较|z|＋|z＋3i|与|2z＋3i|的大小．
【答案解析】
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
1. B 解析：因为z＋(3－4i)＝1，所以z＝－2＋4i，所以z的虚部是4.
2. A 解析：由z1＝x2－i，z2＝－1＋xi，得z1＋z2＝x2－i＋(－1＋xi)＝x2－1＋(x－1)i.若z1＋z2为纯虚数，则解得x＝－1.
3. A 解析：因为m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，m>1，所以3m－2>0，m－1>0，故该复数在复平面内对应的点位于第一象限．
4. A 解析：因为z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，所以z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，解得b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＋3＝0，且4－b≠0，解得a＝－3，且b≠4，故a＝－3，b＝－4.
5. A 解析：由题意，得＝(3，5)，不妨设点C对应的复数为a＋bi，a<0，b>0，则＝(a，b)，由⊥，||＝||，得解得即点C对应的复数为－5＋3i，由＝＋，得点B对应的复数为(3＋5i)＋(－5＋3i)＝－2＋8i.
6. B 解析：在复平面中，设z1，z2分别与向量，对应，由题意可得||＝||＝1，|＋|＝，因为|＋|2＋|－|2＝2(||2＋||2)，即3＋|－|2＝2×(1＋1)＝4，解得|－|＝1，即|z1－z2|＝1.
7. ABC 解析：复数z1＝2－2i在复平面内对应的点为P1(2，－2)，故A正确；复数z1＝2－2i，所以复数＝2＋2i，故B正确；设z2＝x＋yi(x，y∈R)，则|z2－i|＝|x＋yi－i|＝＝1，即x2＋(y－1)2＝1，所以复数z2在复平面内对应的点P2在圆x2＋(y－1)2＝1上，其圆心为C(0，1)，半径r＝1，|z2－z1|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即P1P2.又P1P2的最大值是P1C＋r＝＋1＝＋1，P1P2的最小值是P1C－r＝－1，所以|z2－z1|的最大值为＋1，最小值为－1，故C正确，D错误．故选ABC.
8. BCD 解析：对于A，因为z1＋z2＝3－2i，所以z1＋z2的虚部为－2，故A错误；对于B，因为z2－z3＝－3i，所以z2－z3为纯虚数，故B正确；对于C，因为＝(1，－1)，＝(2，2)，所以·＝0，所以OA⊥OC，故C正确；对于D，由已知可得OA＝|z1|＝，OB＝|z2|＝，OC＝|z3|＝2，且OA2＋OB2＝7<8＝OC2，所以OA2＋OB2－OC2<0，故D正确．故选BCD.
9. 8i 解析：z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.
10. 二 解析：由题意，得<，解得－1
11. 5＋2i 解析：z－2i＝|4＋3i|＝5，故z＝5＋2i.
12. [－1，＋1] 解析：因为1＝|z－2|＝|(z＋i)－(2＋i)|≥||z＋i|－|2＋i||＝||z＋i|－|，所以－1≤|z＋i|≤＋1，即|z＋i|的取值范围为[－1，＋1].
13. (1) 因为＝－，
所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，
所以所表示的复数为－3－2i.
(2) 因为＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3) 因为＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即点B对应的复数为1＋6i.
14. (1) 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由|z|2＋2z－2i＝0，得a2＋b2＋2(a＋bi)－2i＝0，即a2＋b2＋2a＋(2b－2)i＝0，
所以
解得a＝－1，b＝1，
所以z＝－1＋i.
(2) |z|＋|z＋3i|＝|－1＋i|＋|－1＋4i|＝＋，|2z＋3i|＝|－2＋5i|＝，
因为(＋)2－()2＝19＋2－29＝－10>0，
所以＋>，
所以|z|＋|z＋3i|>|2z＋3i|.7．2.2 复数的乘、除运算
一、 单项选择题
1. (2023河南直辖县级单位高二阶段练习)若复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A. －2 B. 2
C. －2i D. 2i
2. 设z＝＋2i(i为虚数单位)，则z·等于( )
A. 0 B.
C. 1 D. 2
3. 已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋bi，b∈R，若z1z2是纯虚数，则b的值为( )
A. 2 B.
C. － D. －2
4. (2023全国模拟预测)若复数z满足(1＋i)(1－z)＝1，则|z|等于( )
A. B. 1
C. D. 2
5. 若复数z满足z－2i＝(i为虚数单位)，则z的值为( )
A. 1－i B. 1＋i
C. －1＋i D. －1－i
6. 欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”．若复数z＝ei·2 022π－，则|z|等于( )
A. 2 B.
C. D. 1
二、 多项选择题
7. (2023恩施高二阶段练习)在复平面内，复数z对应的点为(－1，2)，则下列结论中正确的是( )
A. z＋＝－2
B. z2＝5
C. z＝5
D. ＝－＋i
8. 复数z的共轭复数记为 ，则下列运算结果中一定是实数的是( )
A. z＋
B. z－
C. z·
D.
三、 填空题
9. (2023西安高二期中)已知i是虚数单位，若复数z满足(2－i)z＝i2 022，则z＝________．
10. 若复数(a－2)＋3i＝2＋bi (a，b∈R)，则＝________．
11. 已知复数z满足z·i11＝1＋2i(i为虚数单位)，则z＝________．
12. 在复平面内，复数z与对应的点关于实轴对称，则z＝________．
四、 解答题
13. (2023延安高二期末)已知复数z＝(m∈R，i是虚数单位).
(1) 若z是纯虚数，求m的值；
(2) 设 是z的共轭复数，若复数－2z在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
14. (2023大连第十二中学高一阶段练习)
(1) 计算：＋2 022＋；
(2) 若复数z＝在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【答案解析】
7．2.2 复数的乘、除运算
1. B 解析：依题意，得z＝＝＝＝－1＋2i，所以z的虚部为2.
2. C 解析：z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以＝－i，所以z·＝－i2＝1.
3. A 解析：因为z1z2＝(2＋i)(1＋bi)＝2＋2bi＋i＋bi2＝(2－b)＋(2b＋1)i，且z1z2是纯虚数，所以解得b＝2.
4. A 解析：1－z＝＝＝－i，故z＝1－＋i＝＋i，所以|z|＝＝.
5. B 解析：因为＝＝＝1－i，所以z－2i＝1－i，所以z＝1＋i.
6. B 解析：由eiθ＝cos θ＋isin θ，得ei·2 022π＝cos 2 022π＋isin 2 022π＝cos 0＋isin 0＝1.＝＝－i，z＝ei·2 022π－＝1＋i，所以|z|＝＝.
7. ACD 解析：由复数z对应的点为(－1，2)，得z＝－1＋2i，所以z＋＝－1＋2i－1－2i＝－2，故A正确；z2＝(－1＋2i)2＝1－4i＋4i2＝－3－4i，故B错误；z＝(－1＋2i)(－1－2i)＝5，故C正确；＝＝－＋i，故D正确．故选ACD.
8. AC 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，故z＋＝2a∈R，z－＝2bi，不一定为实数，z·＝a2＋b2，为实数，＝＝，该数不一定是实数．故选AC.
9. －－i 解析：(2－i)z＝i2 022，则z＝＝＝＝＝－－i.
10. －i 解析：由题意，得解得所以复数＝＝＝＝－i.
11. －2＋i 解析：z·i11＝1＋2i，即z＝＝－2＋i.
12. 2－i 解析：＝＝2＋i，由复数z与对应的点关于实轴对称，可得z＝2－i.
13. (1) z＝＝＝(3＋2m)＋(2m－3)i，
若z是纯虚数，则解得m＝－.
(2) 由z＝(3＋2m)＋(2m－3)i，
得 ＝(3＋2m)－(2m－3)i，
所以 －2z＝(3＋2m)－(2m－3)i－(6＋4m)－(4m－6)i＝(－3－2m)＋(9－6m)i，
则解得－14. (1) 原式＝＋＋＝＋1 011＝i＋(－i)1 011＝i－i252×4+3＝2i.
(2) 复数z＝＝＝＝＋i，
所以复数z在复平面内对应的点为，则
解得－所以实数a的取值范围是(－，).