7.3 复数的三角表示 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

7．3*　复数的三角表示
一、 单项选择题
1. (2022菏泽期末)将复数4[cos ＋isin ]化成代数形式，正确的是(　　)
A. 4 B. －4 C. 4i D. －4i
2. 下列复数是三角形式的是(　　)
A. 2
B. 2
C. －2
D. 2
3. (2022聊城期末)4(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 150°＋isin 150°)等于(　　)
A. 6＋6i
B. 6－6i
C. －6＋6i
D. －6－6i
4. 在复平面内，将与复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　)
A. 3＋2i
B. 3－2i
C. －2i
D. 2i
5. 已知复数 z1＝cos α＋isin α 和复数z2＝cos β＋isin β，则复数z1·z2的实部是(　　)
A. sin (α－β) B. sin (α＋β)
C. cos (α－β) D. cos (α＋β)
6. 在复平面内，复数＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是(　　)
A. －＋i B. －i
C. －＋ D. －
二、 多项选择题
7. 下列各角是复数3－3i的辐角的为(　　)
A. － B.
C. 4π D.
8. (2022济南期末)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法中正确的是(　　)
A. |z2|＝|z|2
B. 当r＝1，θ＝时，z3＝1
C. 当r＝1，θ＝时，＝－i
D. 当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
三、 填空题
9. 已知i为虚数单位，计算(＋i)÷＝________．
10. (2022德州期末)已知＝(1，1)，将按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为________．(化成代数形式)
11. 把复数－2表示成三角形式是__________________．
12. 复数－－i的共轭复数的辐角可以表示为______________．
四、 解答题
13. (2022日照期末)将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值)：
(1) －5i；
(2) －10；
(3) －1＋i；
(4) －i.
14. (2022滨州期末)把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合，且模相等．已知z2＝－1－i，求复数z1的代数表示式和它的辐角主值．
【答案解析】
7．3*　复数的三角表示
1. D　解析：4＝4[0＋i(－1)]＝－4i．
2. D　解析：复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，其中r>0，A，B，C均不是这种形式．对于A，在2中，－isin不满足；对于B，在2中，≠不满足；对于C，在－2(cos ＋isin)中，－2<0，不满足；D选项满足．
3. D　解析：4(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 150°＋isin 150°)＝12[cos (60°＋150°)＋isin (60°＋150°)]＝12(cos 210°＋isin 210°)＝12＝－6－6i．
4. C　解析：因为3－i＝2[cos (－)＋sin (－)·i]，绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为2[cos (－－)＋sin (－－)·i]＝－2i.
5. D　解析：因为z1·z2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β＋icos αsin β＋isin αcos β＋i2sin αsin β＝cos (α＋β)＋isin (α＋β)，所以实部为cos (α＋β).
6. C　解析：||＝|z|＝1，故Z(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝，则Z′对应的复数是－＋.
7. ABD　解析：因为r＝＝6，cos θ＝，sin θ＝－，所以辐角的主值θ＝，故可以作为复数3－3i的辐角的是＋2kπ，k∈Z，所以当k＝－1时，＋
(－2π)＝－；当k＝0时，＋0＝；当k＝2时，＋4π＝.故选ABD.
8. AC　解析：对于A，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，可得|z2|＝|r2(cos 2θ＋isin 2θ)|＝r2，|z|2＝|r(cos θ＋isin θ)|2＝r2，所以|z2|＝|z|2，故A正确；对于B，当r＝1，θ＝时，z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，故B错误；对于C，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，故C正确；对于D，当r＝1，θ＝时，zn＝(cos ＋isin )n＝cos ＋isin ，取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，故D错误．故选AC.
9. －＋i　解析：原式＝÷＝÷＝[cos (＋)＋isin (＋)]＝－＋i.
10. ＋i　解析：由题意，得点P对应的复数为1＋i，由复数乘法的几何意义，得z＝(1＋i)·＝(1＋i)·(＋i)＝＋i.
11. 2　解析：因为－2(cos ＋isin )＝－1－i＝2，所以r＝2，cos θ＝－，sin θ＝－，所以θ可以取，所以所求复数的三角形式为2.
12. ＋2kπ，k∈Z　解析：因为复数－－i的共轭复数为－＋i，所以r＝＝2，cos θ＝－，sin θ＝，所以辐角的主值为，所以复数－＋i的辐角可以表示为＋2kπ，k∈Z.
13. (1) 因为r＝＝5，cos θ＝0，sin θ＝－1，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－5i＝5.
(2) 因为r＝＝10，cos θ＝－1，sin θ＝0，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝π，
所以－10＝10(cos π＋isin π).
(3) 因为r＝＝2，cos θ＝－，sin θ＝，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－1＋i＝2.
(4) 因为r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－i＝2.
14. 根据题意，由复数乘法的几何意义，得z1(cos ＋isin )＝z2，
又z2＝－1－i＝2
故z1＝＝2＝－＋i，z1的辐角主值为.