第七章 复数 复习 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

第七章 复数 复 习
一、 单项选择题
1. (2023济南高一阶段练习)已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. (2022 周口高一阶段练习)设复数z满足(3＋2i)＝－i2 021，则复数z等于(　　)
A. B.
C. D.
3. (2023高一单元测试)已知z是复数， 为z的共轭复数.若命题p：|z|＝，命题q：|z·－1|＝1，则p是q成立的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 若＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n的值为(　　)
A. B. 　
C. － D. －
5. 已知复数，z是其共轭复数，若2i·＝1－i，其中i为虚数单位，则|z|的值为(　　)
A. B. 　
C. D. 2
6. (2023上海虹口高二期末)已知i为虚数单位，则下列说法中错误的是(　　)
A. 复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
B. 互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z·
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D. 若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
二、 多项选择题
7. (2023全国高三专题练习)下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝i
C. 复数(i为虚数单位，a为实数)为纯虚数，则a＝－4
D. 若m为实数，i为虚数单位，则“8. 下列结论中，正确的是(　　)
A. 已知向量a＝(3，4)，则与a垂直的单位向量为或
B. 已知单位向量a，b满足|a－b|＝1，则a在b方向上的投影向量为b
C. 已知i为虚数单位，若1－i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p·q＝－4
D. 已知a∈R，i为虚数单位，若复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，则a＝±1
三、 填空题
9. 复数z＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 020的值是________．
10. 关于x的方程x2＋(2a－i)x－ai＋1＝0有实根，则实数a的值为________．
11. 已知复数z在复平面内的对应点是(1，－2)，则＝________．
12. (2022 六安一中高一期中)已知复数z满足1≤|z－2i|≤3，则在复平面内复数z对应的点Z所在区域的面积为________．
四、 解答题
13. (2023云浮高一阶段练习)
(1) 已知复数z＝－1＋3i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值；
(2) 若复数z满足z·＋(z＋)i＝(1＋i)(3－i)，求复数z.
14. 已知复数z同时满足下列两个条件：①z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；②1(1) 复数z；
(2) .
【答案解析】
第七章 复数 复 习
1. D　解析：复数z＝＝＝，则＝，即其在复平面内对应的点为，位于第四象限．
2. A　解析：＝＝＝＝，所以z＝.
3. A　解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，则z·＝a2＋b2，命题p：|z|＝等价于|z|＝＝，即a2＋b2＝2，命题q：|z·－1|＝1等价于|a2＋b2－1|＝1，即a2＋b2－1＝－1或a2＋b2－1＝1，即a2＋b2＝2或a2＋b2＝0，所以p是q成立的充分不必要条件．
4. B　解析：由题意，得＝＝＝－－i，所以m＝－，n＝－，所以m－n＝.
5. B　解析：因为2i·＝1－i，所以＝－－i，所以z＝－＋i，所以|z|＝＝.
6. D　解析：对于A，因为 |z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，则|＋|2＝|－|2，即4·＝0，则⊥，故A正确；对于B，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以|z|＝，||＝＝，z·＝a2－b2i2＝a2＋b2，所以||＝|z|，且||2＝|z|2＝z·，故B正确；对于C，根据复数模的定义可知复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故C正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，若复数z满足|z－i|＝，则|a＋(b－1)i|＝，即a2＋(b－1)2＝5，复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故D错误．
7. ACD　解析：对于A，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi互为共轭复数，则(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，即z1z2为实数，故A正确；对于B，i4n+3＝i3＝－i，故B错误；对于C，＝＝为纯虚数，所以4＋a＝0，即a＝－4，故C正确；对于D，m(3＋i)－(2＋i)＝3m－2＋(m－1)i，所以解得8. BC　解析：对于A，(3，4)·≠0，故A错误；对于B，|a－b|＝1，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝1，a·b＝，所以a在b方向上的投影向量为·＝b，故B正确；对于C，因为1－i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以1＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的另一个根，所以则pq＝－4，故C正确；对于D，复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，则解得a＝1，故D错误．故选BC.
9. 0　解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，in+4＝in，所以z＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 020＝505×(i－1－i＋1)＝0.
10. ±1　解析：设x0为方程的实根，则有x＋(2a－i)x0－ai＋1＝0，所以x＋2ax0＋1－(x0＋a)i＝0，所以所以(－a)2－2a2＋1＝0，得a2＝1，所以a＝±1.
11. 1＋i　解析：依题意，得z＝1－2i，故原式＝＝＝＝1＋i.
12. 8π　解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，因为1≤|z－2i|≤3，所以1≤|x＋(y－2)i|≤3，所以1≤x2＋(y－2)2≤9，所以复平面内复数z对应的点Z所在区域的是以点(0，2)为圆心，半径为1的圆外和以点(0，2)为圆心，半径为3的圆内部分，即圆环面，故所求区域面积S＝(32－12)π＝8π.
13. (1) 由题意，得＝－1－3i也是方程的根，
则－＝z＋＝－2，＝z·＝10，
所以p＝4，q＝20.
(2) 设z＝a＋bi，a，b∈R，
因为z·＋(z＋)i＝(1＋i)(3－i)，
所以a2＋b2＋2ai＝4＋2i，
所以解得或
故z＝1＋i或z＝1－i.
14. (1) 设z＝a＋bi(a，b∈Z，且a>0，b<0)，
则z＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为1所以
因为b<0，所以a2＋b2＝2，
所以1<≤4，即因为a，b∈Z，a>0，b<0，
解得所以z＝1－i.
(2) 由(1)，得＋＝1＋i＋＝1＋i＋－＝＋i，
所以＝＝＝.