湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高二下·湖北期中）已知，则（ ）
A．3或9 B．9 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：
因为，
所以或，
得.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的性质列式计算.
2．（2024高二下·湖北期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A项，因是常数，故，即A项错误；
对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，由求导法则易得，故D项正确.
故答案为：D.
【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断.
3．（2024高二下·湖北期中）有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（ ）
A．81 B．64 C．24 D．12
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数.
故答案为：B.
【分析】由分步计数原理求解即可.
4．（2024高二下·湖北期中）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为为等比数列，，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以，
，令，即，
由题意得，是方程的两个相异正根，
则，，符合题意，
故答案为：D．
【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可．
5．（2024高二下·湖北期中）已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：是等差数列，∴，又，所以，公差，
因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，
又，，
所以使得的最大的为11，
故答案为：C．
【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．
6．（2024高二下·湖北期中）已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：展开式中的第项为，
所以前三项的系数依次为，
依题意，有，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
故答案为：C.
【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出的值，由二项式系数的性质求出答案.
7．（2024高二下·湖北期中）已知函数的导函数为，若，设，，．则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由可知，两边除以，，即，
设，则由可得在上单调递增.
因，则有，即，
因为增函数，故有，即，
故.
故答案为：A.
【分析】由题设不等式想到构造函数，知其在上单调递增，再由，可得，最后再利用函数的单调性整理即得.
8．（2024高二下·湖北期中）对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题，令，则所以，令
，则，令，
则，则即在时单调递增，
又，则时时，
所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．
故答案为：C．
【分析】令，把用表示，然后引入新函数，利用导数求得函数的最小值即得．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高二下·湖北期中）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由，选项A是正确的；
由，选项B是错误的；
由，
而，
显然，所以选项C是错误的；
由
而，所以成立，即选项D是正确的；
故答案为：AD.
【分析】用排列数公式和组合数公式，以及组合数恒等式，就能对选项进行化简证明.
10．（2024高二下·湖北期中）已知数列满足，，则（ ）
A．为递增数列
B．的通项公式为
C．为等比数列
D．的前项和
【答案】C,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
，即，故B不正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故A错误；
，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知证明为定值即可判断C；由C选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断A；利用分组求和法即可判断D.
11．（2024高二下·湖北期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上存在极大值
B．函数没有最值
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为
D．若，则的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A项，，设，则，
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增.
故，则在上单调递增，故函数无极大值，即A项错误；
对于B项，，令，则，
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增.
故，则函数在R上单调递增，故函数没有最值，即B项正确；
对于C项，由B项知，函数在R上单调递增，
于是对任意，不等式等价于，
则有，对任意，，
由A项可得，在上单调递增，故，
则，故实数的最大值为，即C项正确；
对于D项，若，则，
即，因，则，
由A项得，在上单调递增，
于是，，故，
令，则，
当时，，则函数在上递增；
当时，，则函数在上递减，
从而，故的最大值为，即D项正确.
故答案为：BCD.
【分析】分别对函数和，利用求导，分析其单调性即得A项错误，B项正确；对于C项，需运用的单调性将不等式化成，再利用参变分离法即可求得参数范围；对于D项，由已知结合同构思想得，再利用导数求得的最小值即得.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·湖北期中）若的展开式中的系数为70，则实数 ．
【答案】2
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的通项公式为，
当时，，当时，，
故的展开式中含的项为，
由题意知，解得．
故答案为：2.
【分析】先得到的通项公式，进而得到的展开式中含的项为，从而得到不等式，求出答案.
13．（2024高二下·湖北期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由得：，
因为在区间上单调递增，所以，
即，又因为，所以，
即，
故答案为：.
【分析】利用导函数值恒大于或等于0来研究原函数单调递增，即可解决问题.
14．（2024高二下·湖北期中）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则 ，数列的前项和为，若不等式．对任意的恒成立，则的最大值为 ．
【答案】4；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为，则，则，
由，所以，解得，所以，
所以，
由，所以，
所以，
即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，所以的最大值为．
故答案为：4；.
【分析】由导函数，可得，再由求出，即可得到，从而求出，又，则，可求出数列的通项公式与前项和为，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质出即可.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·湖北期中）若，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由于若，
展开式的通项为，根据，解得，
由，解得，所以实数的值是1．
（2）解：由（1）知，，当时，．
由题意，当时，，
因此．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】
（1）利用二项展开式的通项公式计算可得答案；
（2）利用赋值法求出，再取可得答案.
16．（2024高二下·湖北期中）某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（用数字回答）
（1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加；
（2）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．
【答案】（1）解：根据题意，每项限报一人，且每人至多参加一项，
在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可，有种报名方法；
（2）解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法，
若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则一共有种分组方法，
②将分好的四组安排参加4项比赛，有种情况，则有种报名方法．
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可；
（2）先将6人分成4组，再将分好的四组安排参加4项比赛，根据分步乘法及分类加法计数原理计算即可．
17．（2024高二下·湖北期中）已知数列的前项和为，，，
（1）求的值，并求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：在中，令，则，所以，
因为，所以当时，，
两式作差可得，
整理得，
所以，所以，
所以，
当时，符合上式，综上，．
（2）证明：由（1）可知，，
所以，
因为，所以，所以．
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列的递推式可得时，，采用作差的方法可得，结合累乘法即可求得答案；
（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得，从而证明结论.
18．（2024高二下·湖北期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在处有极值为时：
①求的值；
②若的导函数为，讨论方程的零点的个数．
【答案】（1）解：由题知定义域为，，
当时，，
， 切线方程为即
（2）解：①由题意得，解得或，
令，
当时，，符合题意；
当时，，此时恒成立，不符合题意，故即为所求．
②由①得
设
则
令，得或
在和，，单调递增；
在，，单调递减
，
又时，；时，
所以，当时，方程没有零点；
当或时，方程有一个零点；
当或时，方程有两个零点；
当时，方程有三个零点．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将函数求导，求出函数在处的切线斜率，即得切线方程；
（2）①根据函数的极值点和极值定义列出方程组，求出参数值，利用导函数进行验证即得；
②利用（2）的结论，求得，推出，利用求导，判断函数的单调性，求得极值点和极值，判断函数在R上的变化趋势，结合其图象判断与其的交点情况即得.
19．（2024高二下·湖北期中）已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）时，求在上的最大值；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）解：由，得，，
当时，，在上单调递减；
当时，若，，若，，
在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，并且，，
当时，即，此时在上单调递减，此时的最大值为，
即在上的最大值为a；
当时，即时，即 在上单调增，此时的最大值为，
即在上的最大值为ae-2；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时 求在上的最大值可能在x=1与x=e取到；
又，，接下来比较，即可得到最值；
由，得，则当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为．
综上：当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为.
（3）解：由，得，
即恒成立，
令，则．
令，则在上恒成立，
单调递增，而，，则存在，
使得，即．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则．
又恒成立，整数的最大值为4．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求，分和两种情况，判断的符号，即可求解；
（2）通过讨论在上的单调性，即可求最大值；
（3）通过分离参数，得到，令，借助隐零点求出在上的最小值的范围，即可求解.
1 / 1湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高二下·湖北期中）已知，则（ ）
A．3或9 B．9 C．3 D．6
2．（2024高二下·湖北期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·湖北期中）有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（ ）
A．81 B．64 C．24 D．12
4．（2024高二下·湖北期中）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
5．（2024高二下·湖北期中）已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（2024高二下·湖北期中）已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·湖北期中）已知函数的导函数为，若，设，，．则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·湖北期中）对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高二下·湖北期中）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024高二下·湖北期中）已知数列满足，，则（ ）
A．为递增数列
B．的通项公式为
C．为等比数列
D．的前项和
11．（2024高二下·湖北期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上存在极大值
B．函数没有最值
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为
D．若，则的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·湖北期中）若的展开式中的系数为70，则实数 ．
13．（2024高二下·湖北期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
14．（2024高二下·湖北期中）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则 ，数列的前项和为，若不等式．对任意的恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·湖北期中）若，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
16．（2024高二下·湖北期中）某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（用数字回答）
（1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加；
（2）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．
17．（2024高二下·湖北期中）已知数列的前项和为，，，
（1）求的值，并求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
18．（2024高二下·湖北期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在处有极值为时：
①求的值；
②若的导函数为，讨论方程的零点的个数．
19．（2024高二下·湖北期中）已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）时，求在上的最大值；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：
因为，
所以或，
得.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的性质列式计算.
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A项，因是常数，故，即A项错误；
对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，由求导法则易得，故D项正确.
故答案为：D.
【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数.
故答案为：B.
【分析】由分步计数原理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为为等比数列，，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以，
，令，即，
由题意得，是方程的两个相异正根，
则，，符合题意，
故答案为：D．
【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可．
5．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：是等差数列，∴，又，所以，公差，
因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，
又，，
所以使得的最大的为11，
故答案为：C．
【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．
6．【答案】A
【知识点】等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：展开式中的第项为，
所以前三项的系数依次为，
依题意，有，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
故答案为：C.
【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出的值，由二项式系数的性质求出答案.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由可知，两边除以，，即，
设，则由可得在上单调递增.
因，则有，即，
因为增函数，故有，即，
故.
故答案为：A.
【分析】由题设不等式想到构造函数，知其在上单调递增，再由，可得，最后再利用函数的单调性整理即得.
8．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题，令，则所以，令
，则，令，
则，则即在时单调递增，
又，则时时，
所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．
故答案为：C．
【分析】令，把用表示，然后引入新函数，利用导数求得函数的最小值即得．
9．【答案】A,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由，选项A是正确的；
由，选项B是错误的；
由，
而，
显然，所以选项C是错误的；
由
而，所以成立，即选项D是正确的；
故答案为：AD.
【分析】用排列数公式和组合数公式，以及组合数恒等式，就能对选项进行化简证明.
10．【答案】C,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
，即，故B不正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故A错误；
，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知证明为定值即可判断C；由C选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断A；利用分组求和法即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A项，，设，则，
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增.
故，则在上单调递增，故函数无极大值，即A项错误；
对于B项，，令，则，
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增.
故，则函数在R上单调递增，故函数没有最值，即B项正确；
对于C项，由B项知，函数在R上单调递增，
于是对任意，不等式等价于，
则有，对任意，，
由A项可得，在上单调递增，故，
则，故实数的最大值为，即C项正确；
对于D项，若，则，
即，因，则，
由A项得，在上单调递增，
于是，，故，
令，则，
当时，，则函数在上递增；
当时，，则函数在上递减，
从而，故的最大值为，即D项正确.
故答案为：BCD.
【分析】分别对函数和，利用求导，分析其单调性即得A项错误，B项正确；对于C项，需运用的单调性将不等式化成，再利用参变分离法即可求得参数范围；对于D项，由已知结合同构思想得，再利用导数求得的最小值即得.
12．【答案】2
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的通项公式为，
当时，，当时，，
故的展开式中含的项为，
由题意知，解得．
故答案为：2.
【分析】先得到的通项公式，进而得到的展开式中含的项为，从而得到不等式，求出答案.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由得：，
因为在区间上单调递增，所以，
即，又因为，所以，
即，
故答案为：.
【分析】利用导函数值恒大于或等于0来研究原函数单调递增，即可解决问题.
14．【答案】4；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为，则，则，
由，所以，解得，所以，
所以，
由，所以，
所以，
即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，所以的最大值为．
故答案为：4；.
【分析】由导函数，可得，再由求出，即可得到，从而求出，又，则，可求出数列的通项公式与前项和为，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质出即可.
15．【答案】（1）解：由于若，
展开式的通项为，根据，解得，
由，解得，所以实数的值是1．
（2）解：由（1）知，，当时，．
由题意，当时，，
因此．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】
（1）利用二项展开式的通项公式计算可得答案；
（2）利用赋值法求出，再取可得答案.
16．【答案】（1）解：根据题意，每项限报一人，且每人至多参加一项，
在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可，有种报名方法；
（2）解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法，
若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则一共有种分组方法，
②将分好的四组安排参加4项比赛，有种情况，则有种报名方法．
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可；
（2）先将6人分成4组，再将分好的四组安排参加4项比赛，根据分步乘法及分类加法计数原理计算即可．
17．【答案】（1）解：在中，令，则，所以，
因为，所以当时，，
两式作差可得，
整理得，
所以，所以，
所以，
当时，符合上式，综上，．
（2）证明：由（1）可知，，
所以，
因为，所以，所以．
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列的递推式可得时，，采用作差的方法可得，结合累乘法即可求得答案；
（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得，从而证明结论.
18．【答案】（1）解：由题知定义域为，，
当时，，
， 切线方程为即
（2）解：①由题意得，解得或，
令，
当时，，符合题意；
当时，，此时恒成立，不符合题意，故即为所求．
②由①得
设
则
令，得或
在和，，单调递增；
在，，单调递减
，
又时，；时，
所以，当时，方程没有零点；
当或时，方程有一个零点；
当或时，方程有两个零点；
当时，方程有三个零点．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将函数求导，求出函数在处的切线斜率，即得切线方程；
（2）①根据函数的极值点和极值定义列出方程组，求出参数值，利用导函数进行验证即得；
②利用（2）的结论，求得，推出，利用求导，判断函数的单调性，求得极值点和极值，判断函数在R上的变化趋势，结合其图象判断与其的交点情况即得.
19．【答案】（1）解：由，得，，
当时，，在上单调递减；
当时，若，，若，，
在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，并且，，
当时，即，此时在上单调递减，此时的最大值为，
即在上的最大值为a；
当时，即时，即 在上单调增，此时的最大值为，
即在上的最大值为ae-2；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时 求在上的最大值可能在x=1与x=e取到；
又，，接下来比较，即可得到最值；
由，得，则当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为．
综上：当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为.
（3）解：由，得，
即恒成立，
令，则．
令，则在上恒成立，
单调递增，而，，则存在，
使得，即．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则．
又恒成立，整数的最大值为4．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求，分和两种情况，判断的符号，即可求解；
（2）通过讨论在上的单调性，即可求最大值；
（3）通过分离参数，得到，令，借助隐零点求出在上的最小值的范围，即可求解.
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