云南省部分校2023-2024学年高一下学期月考联考数学试题（含解析）

高一数学月考试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册第六、七、八、九章占70%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设，m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若直线，，且，，则
D.若，m是异面直线，，，且，，则
3.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：
一周内课外阅读时间/小时 0 1 2 3 4 5 ≥6
人数 3 10 20 17 20 23 7
这100名学生的一周内课外阅读时间的70%分位数是（ ）
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
4.在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.1
5.在中，是的中点，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知样本数据的平均数为14，样本数据的平均数为，若样本数据，的平均数为，则（ ）
A.12 B.10 C.2 D.11
7.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.定义为不超过的最大整数，如，，，.已知函数满足：对任意..当时，，则函数在上的零点个数为（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设复数，，下列结论正确的是（ ）
A.若在复平面内对应的点在第二象限，则
B.若，则在复平面内对应的点在第二象限
C.是实数
D.复数的实部大于虚部
10.已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.的最小值是16
C.的最大值是 D.
11.已知三棱锥的所有棱长都是6，D，E分别是三棱锥外接球和内切球上的点，则（ ）
A.三棱锥的体积是 B.三棱锥内切球的半径是
C.长度的取值范围是 D.三棱锥外接球的体积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________.
13.已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为__________.
14.如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数的最小正周期为.
（1）求；
（2）求图象的对称轴方程；
（3）若的一个零点为，求的值.
16.（15分）
已知为幂函数.
（1）求函数的值域；
（2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
17.（15分）
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.
（1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多 并说明理由.
18.（17分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的大小；
（2）若，求的取值范围.
19.（17分）
如图①所示，在中，，D，E分别是，上的点，且，.将沿折起到的位置，使，如图②所示.是线段的中点，是上的点，平面.
（1）求的值.
（2）证明：平面平面.
（3）求点到平面的距离.
高一数学月考试卷参考答案
1.A因为，，所以.
2.D对于A，若，，，则与可能相交，也可能异面，A错误.
对于B，若，，，则与可能相交，也可能异面，B错误.
对于C，没有说，是相交直线，所以不能得到，C错误.
对于D，若，是异面直线，，，且，，可以得到，D正确.
3.A因为3+10+20+17+20=70，所以这100名学生的一周内阅读时间的70%分位数是4.5.
4.B因为，所以，由，得，所以的面积.
5.D因为是的中点，所以.因为，所以，则.
6.B根据题意可得，解得.
7.C延长到，使得，连接，，（图略），则，所以为异面直线与所成的角.设正方体的棱长为2，易知，，，所以.
8.C当时，，
因为对任意，，
所以.
当时，，
，…，
函数的部分图象为如图所示的曲线.
可得当时，，；
当，时，；
当时，；
当且时，，.
如图所示，则的零点为-4，-2，0，1，2，，3，，4，共9个零点.
9.ACD因为在复平面内对应的点在第二象限，所以解得，A正确；
若，则或，所以复数在复平面内对应的点在第二象限或者第四象限，B错误；
因为，所以是实数，C正确；
因为，所以，D正确.
10.BCD对于A，易知A不恒成立，A错误.
对于B，由，
得，
当且仅当时，即，，等号成立，B正确.
对于C，由基本不等式可知，即，当且仅当，时，等号成立，C正确.
对于D，由基本不等式可知，则，当且仅当，时，等号成立，D正确.
11.ACD如图，
取的中点，连接，，作平面.
易证在上，且，则，
从而三棱锥的体积，故A正确.
设三棱锥内切球的半径为，则，
所以，故B错误.
设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，，
即，解得，
所以，
则三棱锥外接球的体积是，长度的取值范围是，故C，D正确.
12.60由分层随机抽样的定义可得，解得.
13.（1，1）设在方向上的投影向量为，则，所以.
14.7连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合，
设点的新位置为，连接，则有，如图所示.
当A，P，三点共线时，的长为的最小值，
因为，，所以.
又，所以是边长为的正三角形，.
又，所以，所以，
由勾股定理可得.
15.解：（1），
因为，，所以.
（2）令.
得图象的对称轴方程为.
（3）由（1）知，则，
由，
得.
16.解：（1）因为为幂函数，所以，解得，
所以，则.
因为，所以，则函数的值域为.
（2）即.
令，则在上单调递增.
因为在上有解，所以，
所以，解得，即的取值范围为.
17.解：（1）由题意可知，解得.
设中位数为，则，解得，所以中位数为74，
平均数为（45+95）×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.3=72.5.
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.
18.解：（1）因为，所以，
即，所以.
因为，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，，所以.
由，得，
所以，
因为，，所以，
所以，即的取值范围为（-3，3）.
19.（1）解：过点P作交于点N，连接，设.
因为，所以，所以点P，N，D，E在同一平面内，
因为平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
故.
（2）证明：在中，，，，所以.
因为是线段的中点，所以，.
因为，所以.
在中，，
所以，.
由题意可得，.
因为，所以.
因为，所以平面，.
因为，所以平面.
由（1）可得，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（3）解：因为，平面，所以平面，
所以点到平面的距离即点到平面的距离.
由（2）得平面，，，.
所以为点到平面的距离，且点到平面的距离为，
所以点P到平面的距离为.