1.1 直线的斜率与倾斜角 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
一、 单项选择题
1 经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k的值为(　　)
A. B. － C. D. －
2 已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围是(　　)
A. (5，8) B. (8，＋∞)
C. D.
3 (2023淄博实验中学期中)若经过点A(1，－2)和B(3，m)的直线的斜率为2，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. 4
4 若将直线l沿 x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是(　　)
A. － B. C. － D.
5 设点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，若直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN的斜率是(　　)
A. k B. －k C. D. －
6 已知点A(1，2)，B(0，1)，C(m，4)，若A，B，C三点共线，则m的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、 多项选择题
7 已知直线l过点P(1，3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(－1，－4)，B(2，－3)，则k的值可以取(　　)
A. －8 B. －5
C. 3 D. 4
8 已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　)
A. (0，2) B. (2，0)
C. (－8，0) D. (0，－8)
三、 填空题
9 若经过点P(－m，3)，Q(1，m)的直线的斜率为3，则实数m的值为________．
10 已知两点M(m＋2，m2)，N(1，1)，若直线MN的斜率为－2m，则m＝________．
11 若P(x，y)为线段x＋y－4＝0(0≤x≤4)上的点，则的最大值是________．
四、 解答题
12 根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线．
(1) P(1，2)，k＝3；
(2) P(2，4)，k＝－；
(3) P(－1，3)，k＝0；
(4) P(－2，0)，斜率不存在．
13 已知点A(－1，1)，B(1，1)，C(2, ＋1).
(1) 求直线AB和AC的斜率；
(2) 若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的取值范围．
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
一、 单项选择题
1 (2023宜宾兴文二中期末)若直线经过A(1，0)，B(2，)两点，则直线AB的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
2 (2023沭阳期中)若直线l经过A(2，m)，B(－m，2m－1)两点，且直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为(　　)
A. B. 2 C. 1 D. －
3 若倾斜角为120°的直线经过点(a＋1，3)和(2a－2，3a)，则a的值为(　　)
A. － B. C. 3 D. －3
4 经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A. [－1，1]
B. (－∞，－1]∪[1，＋∞)
C. [－1，1)
D. (－∞，1)∪[1，＋∞)
5 若直线l的倾斜角的取值范围是(0°，90°)，则斜率的取值范围是(　　)
A. (0，1) B. (0，＋∞)
C. (－∞，0) D. (1，＋∞)
6 若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，1)
B. (－1，＋∞)
C. (－1，1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
二、 多项选择题
7 若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　)
A. α＋45° B. α＋135°
C. α－45° D. 135°－α
8 (2023南阳淅川第一高级中学期中)已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ，且k1A. α<β<γ B. β<γ<α
C. α<γ<β D. γ<α<β
三、 填空题
9 (2023山东普高期中大联考)已知过P(－1，a)，Q(a＋1，4)两点的直线的倾斜角为45°，则实数a的值为________．
10 (2023南阳唐河县鸿唐高级中学月考)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，直线l的斜率的取值范围为，则倾斜角α的取值范围为________．
11 已知直线l过点P(1，5)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为____________．
四、 解答题
12 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
(1) A(0，－1)，B(2，0)；
(2) P(5，－4)，Q(2，3)；
(3) M(3，－4)，N(3，－2).
13 已知两点A(－1，2)，B(m，3).
(1) 求直线AB的斜率k；
(2) 已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
【答案解析】
1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
1. C　经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝＝.
2. D　由题意，得>1，即>0，解得53. C　由题意，得＝2，解得m＝2.
4. C　设A(a，b)为直线l上的任意一点，则平移后得到A′(a＋3，b－2)，所以kl＝kAA′＝＝－.
5. B　设点P的坐标为(0，y0)，M(x1，y1)，则N(－x1，y1).由题意知，k＝，则kPN＝＝－k.
6. A　因为A，B，C三点共线，所以直线AB的斜率和直线BC的斜率相等，即＝，解得m＝3.
7. AD　因为过点P(1，3)且斜率为k的直线与线段AB有公共点，且kPA＝，kPB＝－6，所以由图可知，k∈(－∞，－6]∪，则根据选项，可知A，D符合．故选AD.
8. BD　由于点A的坐标为(3，4)，且直线AB的斜率kAB＝4，故根据选项，得点B的坐标可能为(2，0)或(0，－8).故选BD.
9. －3　由题意，得＝3，解得m＝－3.
10. 　由题意知点M，N的横坐标不相等，则m≠－1.因为直线MN的斜率为－2m＝＝＝m－1，即3m－1＝0，则m＝.
11. 1　如图，线段x＋y－4＝0(0≤x≤4)就是线段AB，表示线段AB上的点P(x，y)与点Q(－4，0)连线的斜率，由图可知当点P与点B重合时，它取得最大值，kQB＝＝1，即的最大值是1.
12. (1) 作图如下：
(2) 作图如下：
(3) 作图如下：
(4) 作图如下：
13. (1) 因为kAB＝＝0，kAC＝＝，所以直线AB的斜率为0，直线AC的斜率为.
(2) 由斜率公式可得kBC＝＝. 设直线CD的斜率为k，结合图形可得当直线CD由CA的位置绕点C按逆时针方向旋转到CB的位置时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，所以≤k≤，所以直线CD的斜率的取值范围为.
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
1. C　由直线经过A(1，0)，B(2，)两点，得直线AB的斜率为＝，设直线AB的倾斜角为θ，则 tan θ＝，又0°≤θ<180°，所以θ＝60°.
2. D　由斜率的定义，得kAB＝tan 45°，即＝1，解得m＝－.
3. B　由题意，得tan 120°＝－＝，解得a＝.
4. A　根据题意画图如下，kPA＝＝－1，kPB＝＝1.因为直线l与线段AB总有公共点，所以kPA≤k≤kPB，即－1≤k≤1.
5. B　因为直线l的倾斜角的取值范围是(0°，90°)，所以斜率的取值范围为(0，＋∞).
6. C　因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k＝>0，所以－17. BC　因为直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°)，当α≥45°时，直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α.故选BC.
8. ABD　因为正切函数y＝tan x在区间上单调递增，在区间上也单调递增，分以下四种情况讨论：①当09. 1　过P(－1，a)，Q(a＋1，4)两点的直线的倾斜角为45°，则kPQ＝＝tan 45°＝1，解得a＝1.
10. 　因为直线l的斜率的取值范围为，即≤tan α≤1，则≤α≤，所以倾斜角α的取值范围为.
11. (－∞，－4]∪[5－，＋∞)　如图，当直线l经过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝5－；当直线l经过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝－4，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[5－，＋∞).
12. (1) 因为A(0，－1)，B(2，0)，所以kAB＝＝＞0，故倾斜角是锐角．
(2) 因为P(5，－4)，Q(2，3)，所以kPQ＝＝－＜0，故倾斜角是钝角．
(3) 因为M(3，－4)，N(3，－2)，所以M，N的横坐标相等，所以直线MN的斜率不存在，倾斜角是直角．
13. (1) 当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；
当m≠－1时，直线AB的斜率k＝＝.
(2) 当m＝－1时，α＝；
当m≠－1时，k＝.
因为m∈，且m≠－1，
所以－≤m＋1≤，且m＋1≠0，
所以≤－或≥，
即tan α≤－或tan α≥，
所以α∈∪.
综上，直线AB的倾斜角α的取值范围是.