第一章 三角函数三角函数
1．1 任意角和弧度制
1．1.1 任 意 角
1．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示方法．
2．了解正角、负角、零角的概念．
3．注意数形结合思想的应用．
一、任意角
1．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的起始位置是角的始边，射线的终止位置是角的终边，射线的端点是角的顶点．
练习1：下列说法正确的是(D)
A．最大角是180° B．最大角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以任意大小
解析：由角的定义，角可以是任意大小的．故选D.
2．正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：
(1)正角——按逆时针方向旋转所形成的角；
(2)零角—射线没有作任何旋转形成的角；
(3)负角——按顺时针方向旋转所形成的角．
练习2：时钟的分针经过15分钟旋转的角为(D)
A．15° B．90° C．－15° D．－90°
解析：时针的分针是按顺时针旋转形成的角，所以为负角．故选D.
1．定义了任意角后，角的范围是怎样的？
解析：由角的定义，角的大小可以是任意的，角的范围不再限于[0°，360°]．
二、象限角和轴线角
1．象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．
练习3：下列哪个角是第三象限角(C)
A．15° B．105° C．215° D．315°
解析：∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角，故选C.
2．轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在坐标轴上，就把这个角叫做轴线角．
2．直角坐标系中角的分类与初中学习的锐角、直角、钝角、平角、周角的分类有何不同？
解析：直角坐标系中角的分类是根据角在坐标系内终边的位置而定义的，而初中学习的角的分类是根据角的范围而定义的，通过定义比较我们可以知道锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角，直角，平角，周角都是轴线角．但要注意反之则不然，也就是说第一象限的角不都是锐角．
三、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
练习4：与角30°终边相同的一个角是(C)
A．150° B．－30°
C．390° D．－300°
解析：∵390°＝360°＋30°，∴390°与30°终边相同，故选C.
3．终边相同的角相等吗？
解析：由终边相同的角的定义可知，相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC的大小为(B)
A．150° B．－150° C．390° D．－390°
解析：∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.故选B.
2．下列各角中与60°角终边相同的角是(D)
A．150° B．－30° C．390° D．－300°
3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(C)
A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α
解析： ∵α是第一象限角，
∴k·360°＋0°<α∴k·360°－90°<－α∴k·360°＋270°<360°－α∴360°－α是第四象限角，故选C.
4．下列命题：
①一个角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；
②1 400°的角是第四象限的角；
③－300°的角与160°的角的终边相同；
④相等的角的终边一定相同；
⑤终边相同的角一定相等．
其中正确命题的序号是①②④．
解析：∵1 400°＝3×360°＋320°，
∴1 400°的角与320°的角的终边相同，而320°＝360°－40°是第四象限的角，∴1 400°的角是第四象限的角．②对．
∵－300°＝－360°＋60°，
∴－300°的角与60°的角的终边相同．③错．又由相关定义知①④正确，⑤不正确．故答案应填①②④.
1．判断正误．
(1)锐角是第一象限角(√)
(2)第一象限角一定是锐角(×)
(3)直角是终边在y轴非负半轴上的角(√)
(4)终边在y轴非负半轴上的角是直角(×)
(5)钝角是第二象限角(√)
(6)第二象限角是钝角(×)
2．设M＝{小于90°的角}，N＝{第一象限的角}，则M∩N＝(D)
A．{锐角} B．{小于90°的角}
C．{第一象限的角} D．以上都不对
3．若α是第二象限角，则90°－α是(D)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z)，∴－k·360°－90°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．∴90°－α为第四象限角．故选D.
4．下列各角中，与角330°的终边相同的是(B)
A．150° B．－390° C．510° D．－150°
解析：∵－390°＝－360°－30°，330°＝360°－30°，∴330°的终边与－390°的终边相同，故选B.
5．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是(C)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
6．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是(D)
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
解析：∵90°∈C，90°?B，90°?A，∴选项A、C错误；
又∵180°∈C，180°∈B，180°?A，选项B错误，故选D.
7．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第______象限角(A)
A．一或三 B．一或二
C．二或四 D．三或四
8．已知α为第三象限角，则所在的象限是(D)
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
解析：∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α∴k·180°＋90°<当k＝2n，n∈Z时，
n·360°＋90°<此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
n·360°＋270°<此时，是第四象限角．
∴是第二或第四象限角．故选D.
9．已知0°<α<90°，0°<β<90°，求α－β的范围是________．
解析：
?
－90°<α－β<90°，∴α－β的范围为(－90°，90°)．
答案：(－90°，90°)
10．与－1 000°终边相同的最小正角是________．
解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°.
答案：80°
11．若角θ的终边与60°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．
解析：θ＝k·360°＋60°(k∈Z)，∴＝k·120°＋20°(k∈Z)，由0°≤k·120°＋20°<360°，得－≤k<，又k∈Z，∴k＝0或1或2.∴在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角为20°，140°，260°.
12．试写出所有终边在直线y＝－x上的角的集合，并指出上述集合中介于－180°和180°之间的角．
解析：终边在直线y＝－x上的角的集合是：
{α|α＝k·360°＋120°或α＝k·360°＋300°，k∈Z}，
其中介于－180°和180°之间的角为－60°和120°.
1．关于与角α终边相同的角的一般形式k·360°＋α，k∈Z应着重理解以下几点：
(1)k∈Z；
(2)α是任意角；
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；
(4)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
2．判断任意角所在的象限问题的技巧方法：
(1)把任意角化为k·360°＋α，k∈Z，且0°≤α<360°的形式，关键是确定k；
(2)其他范围内符合条件的角必与0°≤α<360°内符合条件的角的终边相同．
课件25张PPT。第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
题型1 角的有关计算例1 钟表经过30分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？
解析：钟表经过30分钟，时针按顺时针方向转了30×＝15°，表示－15°；
分针也按顺时针方向转了30×＝180°，表示－180°.
点评：注意利用任意角概念解题，特别注意区别正角、负角．?跟踪训练
1．若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？
解析：钟表拨慢30分钟，时针按逆时针方向转了30×＝15°，表示15°；
分针也按逆时针方向转了30×＝180°，表示180°.题型2 象限角的确定例2 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0°≤α<360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)730°；(3)－795°；(4)950°18′.
解析：(1)∵－150°＝－360°＋210°，
∴在0°≤α<360°范围内，终边与－150°相同的角是210°，它是第三象限角；
(2)∵730°＝2×360°＋10°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与730°相同的角是10°，它是第一象限角；
(3)∵－795°＝－3×360°＋285°，
∴在0°≤α<360°范围内，终边与－795°相同的角是285°，它是第四象限角；
(4)∵950°18′＝2×360°＋230°18′，
∴在0°≤α<360°范围内，终边与950°18′相同的角是230°18′，它是第三象限角．点评：象限角的判定有两种方法：一是根据图象，二是将角转化到0°≤α<360°范围内．利用图象判断时，依据的还是终边相同角的思想．为什么转化到0°≤α<360°范围内就可以判定呢？那是因为0°≤α<360°范围内的角与坐标系中的射线可以建立一一对应关系，也就是说在直角坐标系内，在0°≤α<360°范围内没有两个角终边是相同的．?跟踪训练
2．指出下列各角是哪个象限的角．
(1)420°；
(2)－75°；
(3)855°；
(4)－510°.解析：(1)∵420°＝360°＋60°，
∴420°与60°终边相同，故为第一象限角．
(2)－75°显然为第四象限角．
(3)∵855°＝2×360°＋135°，
∴855°与135°终边相同，
∴855°为第二象限角．
(4)∵－510°＝－2×360°＋210°，
∴－510°为第三象限角．题型3 终边相同的角的表示
例3 分别写出终边落在以下直线上的角的集合：
(1)终边落在x轴上；
(2)终边落在直线y＝x上．
解析：(1)在0°≤α<360°范围内，终边落在x轴上的角有0°和180°，
与0°角终边相同的角的集合为：
S1＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，与180°角终边相同的角的集合为：
S2＝{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．
故终边在x轴上的角的集合为：
S＝S1∪S2＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}．
(2)在0≤α<360°范围内，终边落在直线y＝x上的角有45°和225°，
与45°角终边相同的角的集合为：
，
与225°角终边相同的角的集合为：
故终边在直线y＝x上的角的集合为：
S＝S3∪S4＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．
点评：终边相同的角具有重要意义，其核心是周期现象．那么如何探求终边相同的角呢？将角转化到0°≤α<360°范围内是有效的．就本题而言，还必须熟练地进行集合的合并．题型4 区间角的表示题型5 等分角的表示点评：对象限角进行和、差、倍、分运算时，要注意运用不等式的性质，结果是哪个象限的角，要分类讨论．还可以通过画图象的方法进行直观的判断．
?跟踪训练
6．已知角α是第二象限角，试问：2α是第几象限角？
