第一章 三角函数三角函数
1．1 任意角和弧度制
1．1.2 弧 度 制
1．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化．
2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算．
一、弧度制的概念
1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2．正角、零角、负角的弧度数．
(1)正角的弧度数是一个正数；
(2)零角的弧度数是零；
(3)负角的弧度数是一个负数．
1．一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
解析：由弧度定义，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关．
二、角度制与弧度制的互化
角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2π·r，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，
故得：1°＝rad，1 rad＝°≈57.3°＝57°18′.
附：完成常用角的弧度角度换算表：
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
2．如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系？
解析：在角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角．由于角度制是六十进位制，而弧度制是十进位制，故在弧度制下，研究问题更加方便．
三、弧长公式与扇形面积公式
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：
弧长l＝，扇形的面积S＝．
2．弧度制：半径为R，圆心角为α rad的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：
弧长l＝|α|r，扇形的面积S＝l·r＝|α|·r2．
练习：扇形弧长为π，面积为π，圆的半径是2．
解析：弧长l＝π.∵S扇＝lr＝π，
∴×πr＝π，即r＝2，∴圆的半径为2.
3．根据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，可以知道几个量就可以求出其他的量？
解析：只需知道两个量就可以求出其他量．例如：已知扇形的弧长为π，面积为π，则可求所在圆的半径R和圆心角α.
由l＝|α|·r，得π＝|α|·r?|α|＝，
又由S＝|α|·r2，得π＝|α|·r2，
将|α|＝代入得π＝··r2，解得r＝2.
1．下列说法正确的是(A)
A．1弧度角的大小与圆的半径无关
B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
解析： ∵1 rad＝＝57.3°＝57°18′，其大小与圆的半径无关．
2．某扇形的面积为1 cm2，周长为4 cm，那么该扇形圆心角的弧度数为(B)
A．2° B．2 C．4° D．4
解析： ∵4＝|α|·r＋2r?r＝，
且1＝|α|·r2，
∴1＝|α|·，解得|α|＝2，故选B.
3. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？多少弧度？分针转了多少度？多少弧度？
解析： 钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，为正角．
时针转了30×＝15°，表示15°，弧度；
分针转了30×，表示180°，π弧度．
4．(1)将－300°化为弧度是－π；
(2)将π化为度数是288°．
解析：(1)－300°＝－300×＝－；
(2)π＝×180°＝288°.
1．下列四个命题中，不正确的一个是(D)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2．－π所在的象限是(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：－π＝－2π－π.
∵－π是第四象限角，∴－π是第四象限角．
3．将－1 485°化成2kπ＋α，(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(D)
A．－8π＋ B．－8π－
C．－10π－ D．－10π＋
4．若α＝－2，则α的终边落在(C)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵－π<－2<－，∴α的终边在第三象限．故选C.
5．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为(C)
A.π B.π C.π D.π
6．集合A＝，B＝的关系是(A)
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．以上都不对
解析：B＝∪＝
＝A.故选A.
7．地球赤道的半径是6 370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．
解析：∵1′＝°＝×弧度，
∴l＝α·R＝××6 370≈1.85 km.
答案：1.85
8．把下列角化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．
(1)－；
(2)－1 395°；
(3)－20.
解析：(1)－＝＋(－8)·2π，它是第二象限角．终边相同的角的集合为.
(2)－1 395°＝45°＋(－4)·360°＝＋(－4)·2π，它是第一象限角．终边相同的角的集合为.
(3)－20＝(8π－20)＋(－4)·2π.而＜8π－20＜2π，∴－20是第四象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝(8π－20)＋2kπ，k∈Z}．
9．若α是第二象限角，则－α、π＋α、π－α、＋α分别是第几象限的角？
解析：∵α为第二象限角，
∴－α与α的终边关于x轴对称．
∴－α是第三象限的角．
∵π＋α的终边是由α的终边绕O沿逆时针旋转π弧度得到，∴π＋α是第四象限角．
－α的终边可看成由α的终边关于x轴对称，－α是第三象限，再将－α的终边绕O按逆时针方向旋转180°到第一象限，故π－α是第一象限．易知＋α是第三象限．
10．已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：S＝lr＝×(30－2r)×r＝－r2＋15r＝－＋
当r＝时，Smax＝，此时θ＝＝＝2(rad)．
故半径为 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大，最大面积为 cm2.
11．一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；
(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．
分析：由已知推断圆心角的大小为，然后用公式求解．
解析：(1)半径为r的⊙O中，弦AB＝r，则△OAB为等边三角形，∠AOB＝，则弦AB所对的劣弧长为r.
(2)S△OAB＝AB·OD＝r·r＝，
S扇形OAB＝lr＝··r＝r2，
∴S弓形＝S扇形OAB－S△OAB＝r2－r2＝r2.
1．角度与弧度的互化．
(1)角度与弧度互化时，注意换算公式的应用．设一个角的弧度数为α，角度为n°，则α(rad)＝°，n°＝n·(rad)．
(2)如果角度制n是以“度、分、秒”形式给出的，要先把n化成以“度”为单位的十进制表示．
2．弧长公式、扇形面积公式的应用．
在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，只要知道其中两个量，便可求出其他的量，注意与扇形中其他量的联系．如弦心距、弦的一半与半径构成直角三角形等．
课件19张PPT。第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制
题型1 弧度制的概念例1 下列说法正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
解析：本题考查弧度制下，角的度量单位1弧度的概念．根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即可判断D正确．答案：D
点评：弧度制与角度制的区别与联系：
解析： 根据角度与弧度的定义可知，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错误，故选D.题型2 弧度制与角度制的换算题型3 用弧度制表示角例3 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．题型4 弧长公式与扇形面积公式的应用例4 (1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积；
(3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解析：由l＝|α|·R及S＝l·R单独应用或联立，可做到知二求一．
