8．1 基本立体图形
8．1.1 棱柱、棱锥和棱台
一、 单项选择题
1. (2023高一单元测试)设所有棱柱构成的集合为A，所有直棱柱构成的集合为B，所有长方体构成的集合为C，所有正方体构成的集合为D，则A，B，C，D的关系是( )
A. D?C?A?B B. C?D?B?A
C. D?A?B?C D. D?C?B?A
2. (2023无锡太湖高级中学高一期中)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被一个平面截成两个几何体，其中EH∥B′C′∥FG，这两个几何体分别是( )
A. 三棱柱和四棱柱
B. 三棱柱和五棱柱
C. 三棱台和五棱台
D. 三棱柱和六棱柱
3. (2023上海杨浦高二期末)下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；
③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．
其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4. 若一个棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是的形状为( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 五棱锥 D. 六棱锥
5. 如图，一个封闭的立方体的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图所示三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为( )
A. D，E，F B. F，D，E
C. E，F，D D. E，D，F
6. 下列命题中，正确的个数是( )
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7. (2023福州高一联考)下列说法中，正确的是( )
A. 直四棱柱是长方体
B. 平行六面体的侧面和底面均为平行四边形
C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
D. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
8. 正方体的截面可能的形状是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 菱形 D. 正六边形
三、 填空题
9. 如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
10. 一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
11. 如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(填序号)
12. (2023聊城一中高一期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝2AA1＝4，AB＝AC＝2，P为线段A1B上的一个动点，则PA＋PC的最小值是________．
四、 解答题
13. (2023高一单元测试)根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1) 由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；
(2) 由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰所在直线能相交于一点．
14. (2022黄冈期末)
(1) 如图1所示为某几何体的展开图，沿图中虚线将展开图折起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图；
(2) 需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在(图2)棱长为6 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．
【答案解析】
8．1 基本立体图形
8．1.1 棱柱、棱锥和棱台
1. D 解析：正方体是特殊的长方体，所以D?C，长方体一定是直棱柱，故C?B，而直棱柱是棱柱的一类，所以B?A，故D?C?B?A.
2. B 解析：因为EH∥B′C′∥FG，所以△EFB′≌△HGC′，所以几何体EFB′-HGC′为三棱柱，几何体AA′EFB-DD′HGC为五棱柱．
3. A 解析：是正棱锥必须满足两个条件：(1)底面是正多边形；(2)过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心，即侧面是全等的等腰三角形．对于①，底面是正多边形的棱锥，但侧面不是全等的等腰三角形时不满足条件(2)，故①错误；对于②，比如一个四棱锥满足各侧棱的长都相等，但其底面可以为矩形，此时不满足条件(1)，故②错误；对于③，比如一个四棱锥满足各侧面是全等的等腰三角形，但其底面可以为菱形，此时不满足条件(1)，故③错误．综上，真命题的个数为0.
4. D 解析：若为六棱锥，则侧面顶角为60°，从而顶点在底面上，不能构成棱锥．
5. D 解析：由前2个图知，字母C与字母A，B，D，E相邻，则字母C对面的字母只能是F，同理可推出字母A，B对面的字母分别为E，D.
6. B 解析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确；②中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，故②正确；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，故④不正确．故正确的个数为1.
7. BC 解析：对于A，因为直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误；对于B，平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，故B正确；对于C，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；对于D，棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误．故选BC.
8. CD 解析：如图1，截面为△ABC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2，所以cos ∠CAB＝＝>0，所以∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形，所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，故A，B错误；若截面是四边形，则可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，如图2，截面是菱形，故C正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图3，截面为正六边形，故D正确．故选CD.
9. 解析： 情况一：如图1，连接AM，则AM＝＝(cm).情况二：如图2，连接AM，则AM＝＝(cm).因为<，所以沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
10. 12 解析：由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱.因为棱柱的侧棱长都相等，所以每条侧棱长为60÷5＝12(cm).
11. ①③④ ⑥ ⑤ 解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．
12. 2 解析：将图中的△AA1B和△A1BC放置于同一平面内，如图所示，则PA＋PC≥AC.因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝2AA1＝4，AB＝AC＝2，所以在Rt△A1AB中，∠ABA1＝30°，A1B＝4.同理，在△A1AC中，A1C＝4，所以∠A1BC＝60°，所以在展开图中，∠ABC＝∠ABA1＋∠A1BC＝90°，所以AC2＝AB2＋BC2＝28，即AC＝2.所以PA＋PC的最小值是2.
13. (1) 因为该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，满足棱柱的定义，所以该几何体是六棱柱．
(2) 因为该几何体上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，所以该几何体是三棱台．
14. (1) 该几何体为有一条侧棱垂直于底面，且底面为正方形的四棱锥，其中垂直于底面的棱长为6 cm，底面正方形的边长为6 cm，如下图所示．
(2) 需要3个(1) 中的几何体，分别为四棱锥A1-CDD1C1，A1-ABCD，A1-BCC1B1（答案不唯一）.8．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
一、 单项选择题
1. (2022怀化期中)下列命题中，正确的是( )
①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
A. ①② B. ②③
C. ②④ D. ③④
2. (2023潍坊高一期末)如图，圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，其中SA＝2，SB＝4，则该圆台的高为( )
A. 1 B.
C. D. 4
3. 在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水面可以呈现出的形状不可能是( )
A. 圆面
B. 矩形面
C. 梯形面
D. 椭圆面或部分椭圆面
4. (2023全国高一专题练习)圆台的上、下底面半径分别为5 cm和12 cm，高为24 cm，则圆台的母线长为( )
A. 25 cm B. 30 cm
C. 35 cm D. 36 cm
5. 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( )
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 球体
D. 圆柱、圆锥、球体的组合体
6. 下列说法中，正确的是( )
A. 圆锥的底面是圆面，侧面是曲面
B. 用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C. 一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱
D. 圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交
二、 多项选择题
7. (2023江苏高一专题练习)下列说法中，正确的是( )
A. 圆柱的侧面展开图是矩形
B. 球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
C. 直角梯形绕着它的一个腰所在的直线旋转一周形成的几何体是圆台
D. 圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
8. 下列说法中，不正确的是( )
A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
三、 填空题
9. (2022泰安期中)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．(填序号)
10. (2022威海期中)一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆半径为________ cm，面积为________ cm2.
11. (2023新乡高二期末)如图，某圆柱与圆锥共底等高，圆柱侧面的展开图恰好为正方形，则圆柱母线与圆锥母线所成角的正切值为________．
12. 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得的圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为________cm.
四、 解答题
13. (2022日照期中)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1) 圆台的高；
(2) 截得此圆台的圆锥的母线长．
14. (2023全国高一专题练习)有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
【答案解析】
8．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1. C 解析：对于①，若上、下底面各取的点的连线平行于轴，则是母线，反之则不是，故①错误；对于②，母线的定义，显然正确；对于③，圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知③错误；对于④，圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，故④正确．只有②④两个命题是正确的．
2. C 解析：因为圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，所以在圆锥SO1中有2π·AO1＝×2×π·SA＝2π，所以AO1＝1.又在圆锥SO中有2π·OB＝×2×π·SB＝4π，所以OB＝2，所以该圆台的高为h＝＝＝
＝.
3. C 解析：将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，圆柱桶内的水面可以呈现出的形状不可能是梯形面．
4. A 解析：如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为5 cm和12 cm，高为24 cm，则该圆台的母线长为AB＝＝25(cm).
5. C 解析：因为各个截面都是圆，几何体中只有球体的任意截面都是圆，所以这个几何体一定是球体．
6. A 解析：A是圆锥的性质，故A正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故D错误．
7. ABD 解析：对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，故A正确；对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，故B正确；对于C，当直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的几何体是圆台，故C错误；对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，故D正确．故选ABD.
8. ABC 解析：圆柱的底面半径可能与母线长相等，故A错误；把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥，故B错误；认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，当底面为梯形时，侧面都是矩形的直四棱柱不是长方体，故C错误；任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故D正确．故选ABC.
9. ①④ 解析：由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为端点不在圆柱两侧的一段弧，此时④符合条件，综上可知截面的图形可能是①④.
10. 3 9π 解析：设截面圆半径为r cm，则r2＋42＝52，所以r＝3，所以截面圆面积为9π cm2.
11. 解析：因为圆柱母线与圆锥旋转轴平行，所以圆柱母线与圆锥母线所成角的大小等于∠BAO.因为圆柱侧面的展开图恰好为正方形，所以2π·BO＝OA，所以tan ∠BAO＝＝.
12. 9 解析：如图，设圆台的母线长为y cm，小圆锥底面的半径与被截圆锥底面的半径分别是x cm，4x cm，则根据相似三角形的性质，得＝，解得y＝9，故圆台的母线长为9 cm.
13. (1) 如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，O1，O分别为AD，BC的中点，作AM⊥BC于点M，连接O1O.
由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，
所以AM＝＝3(cm)，
即圆台的高为3cm.
(2) 如图，延长BA，OO1交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，得＝，即＝，
解得l＝20，
所以截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
14. 因为圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，所以我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示．其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2π，长为圆柱的高3π，则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的最小值，则铁丝的长度最小值为＝5π，即铁丝的最短长度为5π.
