8.2 立体图形的直观图 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．2　立体图形的直观图
一、 单项选择题
1. 如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y轴，且△ABO的面积为16，过点A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为(　　)
A. 2 B.
C. 16 D. 1
(第1题) (第3题)　　
2. 如果一个水平放置的图形的斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A. B. 2
C. 4 D. 8
3. (2023驻马店高一期末)用斜二测画法画△ABC的直观图如图所示，其中O′B′＝B′C′＝2，A′B′＝A′C′＝，则△ABC中BC边上的中线长为(　　)
A. B. 2
C. 3 D. 1
4. (2023潍坊高一期末)已知水平放置的平面图形ABCD的直观图如图所示，其中A′B′∥D′C′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝3，C′D′＝1，A′D′＝1，则平面图形ABCD的面积为(　　)
A. 6
B. 3
C. 8
D. 4
5. 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　)
A. 正方形
B. 矩形
C. 梯形
D. 菱形
6. (2022广州八校联考)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. △ABC是钝角三角形
B. △ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍
C. 点B的坐标为(0，)
D. △ABC的周长是4＋4
二、 多项选择题
7. 对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列说法中正确的是(　　)
A. 三角形的直观图仍然是一个三角形
B. 90°的角的直观图会变为45°的角
C. 与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D. 由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
8. (2023江苏高一专题练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是(　　)
A. 梯形的直观图仍然是一个梯形
B. 如果△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为
C. △ABC的直观图如图所示，A′B′在x′轴上，A′B′＝2，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝，则△ABC的面积为4
D. 菱形的直观图可以是正方形
三、 填空题
9. 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．
10. 如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，且O′D′＝D′B′，A′D′∥y′轴，则△AOB的面积是________．
11. (2023韶关高一期中)如图，已知矩形A′B′C′D′的长为4 cm，宽为2 cm，O′是A′B′的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为________cm.
12. (2022咸宁期末)在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A(2，0)，B(2，2)，C(0，6).在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形O′A′B′C′的周长为________．
四、 解答题
13. (2023全国高一专题练习)用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图．
　　
14. 已知一个正四棱台的上底面边长为2 cm，下底面边长为6 cm，高为4 cm，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案解析】
8．2　立体图形的直观图
1. A　解析：因为A′B′∥y′轴，所以在△ABO中，AB⊥OB.又△ABO的面积为16，所以AB·OB＝16，所以AB＝8，所以A′B′＝4.因为A′C′⊥x′轴，∠A′B′C′＝45°，所以B′C′＝A′C′，所以A′C′的长为4sin 45°＝2.
2. C　解析：如图，依题意，四边形ABCD是一个底角为45°，上底为1，腰为的等腰梯形，过点C，D分别作CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为F，E，则△ADE和△BCF是斜边长为的等腰直角三角形，所以AE＝DE＝BF＝1.又EF＝CD＝1，所以梯形ABCD的面积S′＝×(1＋3)×1＝2.因为在斜二测画法画直观图时，直观图的面积S′与原图的面积S之比为，即＝，所以S＝×2＝4.
3. D　解析：在直观图中，O′B′＝B′C′＝2，且∠B′O′C′＝45°，则∠O′C′B′＝45°，故B′C′⊥O′B′.又A′B′＝A′C′＝，所以A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，可得A′B′⊥A′C′，故△A′B′C′为等腰直角三角形，所以∠A′B′C′＝45°，故A′B′∥y′轴．依据题意，作出△ABC的原图形如图所示，延长BA至点D，使得BA＝AD，则A为BD的中点．由题意可知，OB＝2，OC＝4，AB＝2，且AB∥OC，所以BD∥OC且BD＝OC，故四边形OBDC为平行四边形，则CD＝OB＝2，取BC的中点E，连接AE.因为A，E分别为BD，BC的中点，所以AE＝CD＝×2＝1.
4. D　解析：根据直观图画法的规则，得直观图中A′D′平行于y′轴．因为A′D′＝1，A′B′在x′轴上，A′B′∥D′C′，A′B′＝3，C′D′＝1，所以原平面图形ABCD中AD平行于y轴，AB在x轴上，AB∥DC，从而有AD⊥AB，且AD＝2A′D′＝2，AB＝3，CD＝1，作出原图形如图所示，所以直角梯形ABCD的面积为S＝×2×(1＋3)＝4.
5. D　解析：如图，在直角坐标系xOy中作出四边形OABC，显然是平行四边形．由题意，得O′D′＝2 cm，所以OD＝2O′D′＝4 cm.又CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝＝6(cm)＝OA，所以四边形OABC是菱形．
6. D　解析：根据题意，将△A′B′C′还原成原图，如图．对于A，在△ABC中，OC＝OA＝OB＝2，AC⊥OB，所以BC＝AB＝2，AC＝4，故△ABC是等腰直角三角形，故A错误；对于B，△ABC的面积是AC·OB＝4，△A′B′C′的高为O′B′×sin 45°＝，所以△A′B′C′的面积为A′C′×＝，△ABC的面积是△A′B′C′的2倍，故B错误；对于C，因为OB＝2，所以点B的坐标为(0，2)，故C错误；对于D，△ABC的周长为BC＋AB＋AC＝4＋4，故D正确．
7. ACD　解析：对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．故选ACD.
8. AC　解析：对于A，根据斜二测画法的特点知平行关系不变，所以梯形的直观图仍然是一个梯形，故A正确；对于B，△ABC的直观图的面积S′＝×4＝，根据直观图的面积S′与原图的面积S之比为，可得＝S，解得S＝2，故B错误；对于C，直观图中S△A′B′C′＝×2×＝，则△ABC的面积S＝＝4，故C正确；对于D，根据斜二测画法的特点知，平行于y轴的线段长度减半，所以菱形的直观图一定是邻边不相等的平行四边形，故D错误．故选AC.
9. 28　解析：因为A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，所以原图形是一个直角梯形，如图所示．又A′D′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
10. 16　解析：由题意，得△AOB的高为8，所以S△AOB＝×4×8＝16.
11. 20　解析：由斜二测画法还原出原图形是如图所示的平行四边形，其中AB＝A′B′＝4 cm，OC＝2O′C′＝2×2＝4(cm)，所以BC＝＝6(cm)，所以原图形的周长为2×(4＋6)＝20(cm).
12. 6＋2　解析：如图，画出直观图，过点A′作A′D⊥O′C′，垂足为D.由题意可得O′C′＝OC＝3，O′A′＝2，∠C′O′A′＝∠B′A′x′＝45°，所以O′C′∥A′B′，O′D＝A′D＝2，C′D＝A′B′＝1，则A′D＝B′C′＝2，故四边形O′A′B′C′的周长为O′A′＋A′B′＋B′C′＋O′C′＝6＋2.
13. ①用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形的直观图，步骤如下：
如图，画出相应的x′轴与y′轴，使∠x′A′y′＝45°；
在等腰梯形ABCD中，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CE⊥x轴，垂足为E；
在x′轴上取A′B′＝AB，A′F′＝AF，A′E′＝AE，
过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC，过点F′作F′D′∥y′轴，使D′F′＝DF；
连接A′D′，D′C′，C′B′，则四边形A′B′C′D′就是等腰梯形的直观图．
　
②用斜二测画法画出正五边形的直观图，步骤如下：
如图，在正五边形ABCDE中，连接AD交OE于点F，画出相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；
在x′轴上取O′C′＝OC，O′B′＝OB，在y′轴上取O′E′＝OE，O′F′＝OF，过点F′作F′D′∥x′轴，且F′D′＝FD，过点F′作F′A′∥x′轴，且F′A′＝AF；
连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，则五边形A′B′C′D′E′就是正五边形的直观图．
　　
14. ①画轴．如图1，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6 cm，在y轴上取线段GH，使得GH＝3 cm，再过点G，H分别作AB∥EF，AB＝EF，CD∥EF，CD＝EF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
③画上底面．在z轴上取线段OO′＝4 cm，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，使∠x′O′y′＝45°，建立坐标系x′O′y′，在x′O′y′中重复②的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.
④成图．连接AA1，BB1，CC1，DD1，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到如图2所示的图形，该图即为所求的正四棱台的直观图．