8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平面(1)
一、 单项选择题
1. (2023黔东南高一阶段练习)用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是( )
A. A m，m α B. A m，m∈α
C. A m，m α D. A m，m∈α
2. 下面图形是画两个相交平面，其中画法正确的是( )
3. (2022广东顺德一中月考)下列推理中，错误的是( )
A. A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B. A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C. l α，A∈l A α
D. A∈l，l α A∈α
4. 如图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A. 直线AC
B. 直线BC
C. 直线AB
D. 直线CD
5. 如图，用符号语言可表述为( )
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
6. (2023江苏高一专题练习)已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是( )
A. 等腰三角形 B. 等腰梯形
C. 五边形 D. 正六边形
二、 多项选择题
7. (2022福州期末)如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点D
8. (2023高一课时练习)下列命题中，正确的是( )
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B. 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C. 若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D. 依次首尾相接的四条线段必共面
三、 填空题
9. 如图，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________．
10. 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为________．(填序号)
①M∈a，a∈α；②M∈a，a α；③M a，a α；④M a，a∈α.
11. 设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
12. 一封闭的正方体容器如图所示，M，N分别是AA1与C1D1的中点．由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，则容器中水的上表面的形状是________．
四、 解答题
13. (2022厦门期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，F为棱CC1的三等分点，画出由D1，E，F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线．(保留作图痕迹)
14. 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且四个顶点不在同一平面内的空间图形叫作空间四边形)边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG相交于点P.求证：点B，D，P在同一条直线上．
【答案解析】
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平面(1)
1. A 解析：由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A m，m α.
2. D 解析：对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的虚、实线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确，同理B，C的画法也不正确，D的画法正确．
3. C 解析：由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据基本事实2可得l α，故A正确；由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据基本事实2可得α∩β＝AB，故B正确；由A∈l，l α和基本事实2可得A∈α，故D正确；由l α，A∈l可得A α或A∈α，故C错误．
4. D 解析：由题意知平面ABC与平面β有公共点C，所以这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线．因为两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内．又点D在直线l上，所以它又在平面β内，所以D也是平面ABC与平面β的公共点，故平面ABC与平面β的交线是直线CD.
5. A 解析：根据点、线、面的位置关系的符号表示可得a∩β＝m，n α，m∩n＝A.
6. D 解析：如图1，由图可知，截面ABC为等腰三角形，故A可能；截面ABEF为等腰梯形，故B可能；如图2，截面AMDEN为五边形，故C可能；因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，所以过不在同一底面内的顶点不可能得到正六边形，故D不可能．
7. CD 解析：A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，又C，D∈β，故点C，D在平面γ和β的交线上．故选CD.
8. AC 解析：对于A，假设四个点中，有三个点共线，第四个点不在这条直线上，则根据基本事实的推论：一条直线和直线外一点，确定一个平面，可知这四个点共面，与已知矛盾，故A正确；对于B，如图，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；对于C，因为P∈α，P∈平面ABC，所以点P在平面α与平面ABC的交线上，同理，Q，R也在两平面的交线上，故P，Q，R三点共线，故C正确；对于D，如图，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误．故选AC.
9. ∈ AC
10. ② 解析：因为点M在直线a上，是元素与集合的关系，所以M∈a.因为a在平面α内，是两集合的关系，所以a α.
11. ∈ 解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为 α∩β＝l，所以M∈l.
12. 梯形 解析：使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截面的形状．因为在A1B1上必定存在一点E，使得ME∥DN.又MD与EN不平行，所以四边形MDNE为梯形．
13. 如图，直线IL即为所求.
14. 如图，因为直线EF和直线HG相交于点P，
所以P∈直线EF.
因为EF 平面ABD，
所以P∈平面ABD.
同理可得P∈平面CBD，
故P是平面ABD和平面CBD的一个公共点，
显然，B，D也是平面ABD和平面CBD的公共点，
由基本事实3知，点B，D，P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B，D，P在同一条直线上．8．4.1 平面(2)
一、 单项选择题
1. (2023全国高三对口高考)给出下列几个命题：①两两相交的三条直线共面；②如果两个平面有公共点，那么公共点有无数个；③一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．其中正确命题的有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 1个
2. (2023潍坊高二期中)下列说法中，错误的是( )
A. 空间中的三点确定一个平面
B. 直线和直线外一点确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面
D. 两条平行直线确定一个平面
3. 在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是( )
4. 三条直线两两相交，经过这三条直线的平面有( )
A. 0个 B. 1个
C. 0或1个 D. 3个
5. (2022镇江期中)下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
6. 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段BC的中点，M是直线BD1上异于点B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的( )
A. A B. C1
C. A1 D. C
二、 多项选择题
7. (2023江苏高一专题练习)下列结论中，正确的是( )
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上
D. 任意两条直线不能确定一个平面
8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，P是线段AC上的一点，且直线PA1交平面AB1D1于点M，则下列结论中正确的是( )
A. 点A，M，O共线
B. 点A，M，O，A1不共面
C. 点A，M，C，O共面
D. 点B，B1，O，M共面
三、 填空题
9. 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定________个平面．
10. 平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
11. (2023全国高三对口高考)一个平面把空间分为________部分；两个平面把空间分为________部分；三个平面把空间分为________部分．
12. 空间五点，其中有四点共面，它们没有任何三点共线，这五个点最多可以确定________个平面．
四、 解答题
13. (2023信阳高一联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1上的点，且A1F＝2FA，BE＝2AE.
(1) 证明：E，C，D1，F四点共面；
(2) 设D1F∩CE＝O，证明：A，O，D三点共线．
14. 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，点G在PD上，且PG＝PD.证明：A，E，F，G四点共面．
【答案解析】
8．4.1 平面(2)
1. B 解析：对于①，三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，故①错误；对于②，若两平面重合，则公共点有无数个．若两平面不重合，则有且仅有一条过该公共点的公共直线，则公共点有无数个，故②正确；对于③，不妨设a∥b，c∩a＝A，c∩b＝B，则a，b唯一确定一个平面α，所以A∈α，B∈α，所以AB α，又A∈c，B∈c，所以c α，故一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面，故③正确；对于④，如图，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形，故顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，故④正确．综上，正确命题有3个．
2. A 解析：对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，由推论1可知经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故B正确；对于C，由推论2可知经过两条相交直线有且只有一个平面，故C正确；对于D，由推论3可知经过两条平行直线有且只有一个平面，故D正确．
3. B 解析：对于A，如图1，点E，F，M，H确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E，F，G，H四点不共面；对于B，如图2，连接底面对角线AC，由中位线定理，得FG∥AC，又EH∥AC，所以EH∥FG，故E，F，G，H四点共面；对于C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E，F，G，H四点不共面；对于D，如图3，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E，G，H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面．
4. C 解析：若三条直线在同一平面内，则可确定一个平面；若三条直线不在同一平面内，则同时经过此三条直线的平面为0个．
5. D 解析：在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
6. C 解析：如图，连接A1D，A1E.因为A1D1∥BE，所以A1，D1，B，E四点共面．设A1E∩BD1＝M，因为平面DEM与平面A1DE重合，所以平面DEM经过点A1.
7. ABC 解析：由基本事实3可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，故A正确；B显然正确；选项C符合基本事实3，故C正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，故D错误．故选ABC.
8. AC 解析：连接A1C1.因为O是B1D1的中点，所以O∈A1C1.因为平面AB1D1与平面AA1C1C有公共点A与O，所以平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AO.对于A，因为M∈PA1，PA1 平面AA1C1C，所以M∈平面AA1C1C.又M∈平面AB1D1，故M∈AO，即A，M，O三点共线，故A正确；对于B，点A，O，A1在平面AA1C1C内，由A知M∈AO，所以点M∈平面AA1C1C，即点A，M，O，A1共面，故B错误；对于C，点A，O，C在平面AA1C1C内，由A知M∈AO，所以M∈平面AA1C1C，即点A，M，C，O共面，故C正确；对于D，连接BD，则点B，B1，O都在平面BB1D1D内，若点M∈平面BB1D1D，则直线OM 平面BB1D1D.又A，M，O共线，所以点A∈平面BB1D1D，显然点A 平面BB1D1D，故D错误．故选AC.
9. 4 解析：如图，四条线段用实线表示，可补成一个三棱锥，其可确定4个平面．
10. 1或4 解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定1个平面；否则确定4个平面．
11. 2 3或4 4或6或7或8 解析：一个平面把空间分为2部分；两个平行平面将空间分成3部分，两个相交平面可以将空间分成4部分，故两个平面将空间分成3或4部分；当三个平面互相平行时，将空间分成4部分，如图1所示；当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成6部分，如图2所示；当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3所示；当三个平面两两相交，且三条交线互相平行时，将空间分成7部分，如图4所示；当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，即三个平面两两相交于三条直线，且三条交线交于一点时，此时可将空间分成8部分，如图5所示，所以三个平面把空间分为4或6或7或8部分．
12. 7 解析：空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，所以同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线．由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面．
13. (1) 如图，连接EF，A1B，D1C.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1F＝2FA，BE＝2AE，所以EF∥A1B.
又BC∥A1D1，且BC＝A1D1，
所以四边形BCD1A1是平行四边形，
所以A1B∥D1C，
所以EF∥D1C，所以E，C，D1，F四点共面．
(2) 因为D1F∩CE＝O，所以O∈D1F.
又D1F 平面ADD1A1，所以O∈平面ADD1A1，
同理可得O∈平面ABCD.
又平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，
所以O∈AD，即A，O，D三点共线．
14. 在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M.
因为AD∥CE，CE＝AD，
所以在△ADM中，CE是△ADM的中位线，
所以C是DM的中点，
所以CM＝CD.
在平面PCD内，延长GF交DC于点M1.
取GD的中点N，连接CN.
因为PG＝PD，
所以PG＝GN＝ND.
因为F为PC的中点，
所以在△PCN中，FG∥CN，即GM1∥CN，
所以在△GM1D中，CM1＝CD，
所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M，
所以A，E，F，G四点共面．8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、 单项选择题
1. (2023漳州高一联考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1A，A1B1的中点，则平行六面体各个面的对角线中与MN成异面直线的有( )
A. 7条 B. 8条
C. 9条 D. 10条
2. 若直线a∥α，直线b α，则直线a与b的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面
C. 异面或平行 D. 平行
3. (2022聊城期中)下列说法中，正确的是( )
A. 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行
B. 两个平面相交于唯一的公共点
C. 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，那么它们必有无数个公共点
D. 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
4. (2022菏泽期中)两条异面直线在一个平面上的射影是( )
A. 两条相交直线
B. 两条平行直线
C. 一条直线和一个点
D. 以上都有可能
5. 已知直线a，b，平面α，β，γ，则下列判断中正确的是( )
A. b α，a∥b a∥α
B. a∥α，b α a∥b
C. a α，b α，a∥β，b∥β α∥β
D. α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b
6. (2022怀化期中)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n的值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、 多项选择题
7. (2023南通高一阶段练习)一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论，其中正确的是( )
A. 直线AF与直线BQ是异面直线
B. 直线BE与直线MN是异面直线
C. 直线BQ与直线MN共面
D. 直线BE与直线AF是异面直线
8. 下列说法中，正确的是( )
A. 若平面α∥平面β，a α，b β，则a∥b
B. 若平面α∥平面β，a α，b β，则a与b是异面直线
C. 若平面α∥平面β，a α，b β，则a与b一定不相交
D. 若平面α∥平面β，a α，b β，则a与b平行或异面
三、 填空题
9. (2022随州期中)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________．
10. 如图，用符号语言表述为
(1)____________________________；
(2)____________________________.
(2)
11. 如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．
(第11题) (第12题)
12. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1BA∩平面A1B1C1D1＝________，平面A1C1CA∩平面ABCD＝________．
四、 解答题
13. (2023高一课时练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？
(1) AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；
(2) CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3) AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4) 平面ABCD与平面CDD1C1的位置关系．
14. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M，N分别是A1B1，B1C1 的中点．
(1) AM和CN是否是异面直线？请说明理由；
(2) D1B和CC1 是否是异面直线？请说明理由．
【答案解析】
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1. C 解析：如图，因为M，N分别是A1A，A1B1的中点，所以MN∥AB1.又因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D为平行四边形，所以AB1∥C1D，所以MN∥C1D，所以在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与MN平行的面对角线有AB1，C1D，与MN相交的面对角线为A1B，与MN异面的面对角线为A1C1，B1D1，AC，BD，CD1，BC1，B1C，AD1，A1D，共9条．
2. C 解析：因为直线a∥α，直线b α，所以直线a，b一定没有公共点，故两直线的位置关系是异面或平行．
3. C 解析：在A中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故A错误；在B中，两个平面相交于一条直线，故B错误；在C中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，那么这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故C正确；在D中，当平面外的一条直线与平面相交时，平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故D错误．
4. D 解析：两条异面直线在一个平面上的射影可以是：两条相交直线；两条平行直线；一条直线和一个点．
5. D 解析：如图，作长方体ABCD-A1B1C1D1，连接左右侧面的对角线．对于A，设a＝AB，b＝CD，α＝平面ABCD，显然b α，a∥b，但a α，故A错误；对于B，设a＝AB，b＝A1D1，α＝平面A1B1C1D1，显然a∥α，b α，但a⊥b，故B错误；对于C，当且仅当a，b α，a∥β，b∥β，a与b相交，此时α∥β，故C错误；对于D，根据面面平行的性质定理，故D正确．
6. A 解析：直线CE与上底所在的平面平行，在下底所在的平面内与其他四个平面相交，直线EF与左右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m＝4，n＝4，故m＋n＝8.
7. BCD 解析：根据展开图，复原几何体如图所示．对于A，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，所以FN∥CD，又AB∥CD，所以FN∥AB，故F，N，A，B四点共面，故直线AF与直线BQ是共面直线，故A错误；对于B，点E在过F，N，A，B四点的平面外，点B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线MN是异面直线，故B正确；对于C，N，Q两点重合，故直线BQ与直线MN共面，故C正确；对于D，点E在过F，N，A，B四点的平面外，点B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线AF是异面直线，故D正确．故选BCD.
8. CD 解析：分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面，故A，B错误，C，D正确．故选CD.
9. 平行或这条直线在这个平面内 解析：若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是平行或这条直线在这个平面内．
10. (1) a∥α，a∩b＝P，b∩α＝A
(2) α∩β＝l，a∥α，a∩β＝A
11. 3 解析：画出展开图复原的几何体，所以点C与点G重合，点F与点B重合，所以四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．
12. A1B1 AC
13. (1) 因为AM 平面ABB1A1，N∈平面ABB1A1，C 平面ABB1A1，且N 直线AM，所以直线AM与CN为异面直线．
(2) 因为C∈平面ABCD，N 平面ABCD，
所以CN与平面ABCD相交于点C，
即直线CN∩平面ABCD＝C，即直线CN与平面ABCD相交．
(3) 在正方体ABCDA1B1C1D1中，可得平面ABB1A1∥平面CDD1C1.
因为AM 平面ABB1A1，
所以AM∥平面CDD1C1.
(4) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得平面ABCD∩平面CDD1C1＝CD，即两平面相交．
14. (1) AM和CN不是异面直线．理由如下：
连接A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1 的中点，
所以MN∥A1C1.
因为A1A∥C1C，A1A＝C1C，
所以四边形A1ACC1 为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以点A，M，N，C在同一个平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2) D1B和CC1是异面直线，理由如下：
假设D1B与CC1 在同一个平面CC1D1D内，则B∈平面CC1D1D，C∈平面CC1D1D，
所以BC 平面CC1D1D，
这与几何体ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，
所以假设不成立，
故D1B与CC1 是异面直线．
