8．5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
一、 单项选择题
1. (2023宁波北仑中学期中)若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论中正确的有( )
A. OB∥O1B1且方向相同
B. OB∥O1B1，方向可能不同
C. OB与O1B1不平行
D. OB与O1B1不一定平行
2. 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，DA上，且满足CG＝GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为( )
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 梯形
3. (2023江苏高一专题练习)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为AA1，CC1 的中点，则空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( )
A. 不存在 B. 有且只有两条
C. 有且只有三条 D. 有无数条
5. (2022襄阳期中)已知一个角的两边分别与等腰直角三角形的两边平行，则两条相交直线所成的角等于( )
A. 45° B. 90°
C. 45°或135° D. 45°或90°或135°
6. (2022莆田期中)如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点．现将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD达到C′D′的位置(如图2)，G，H分别为AD′，BC′的中点，则四边形EFGH的形状为( )
图1 图2
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 梯形 D. 矩形
二、 多项选择题
7. 如图，在三棱锥A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME＝∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为矩形
8. 下列说法中，正确的是( )
A. 空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面
B. 平行四边形可以确定一个平面
C. 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等
D. 若A∈α，A∈β，且α∩β＝l，则点A在直线l上
三、 填空题
9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1) ∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相同；
(2) ∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相反．
(第9题) (第10题)
10. (2023全国高一专题练习)如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为________.
11. (2023全国高一专题练习)如图，空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________.
12. 给出下列四个说法：
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条直线也相交；
④空间内四条不重合的直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
其中正确的是________．(填序号)
四、 解答题
13. 如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，求平行线EH，FG间的距离．
14. (2023全国高一专题练习)如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1) 证明：AB∥A′B′ ，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2) 求的值．
【答案解析】
8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
1. D 解析：如图，当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行.
2. D 解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF＝AC，EF∥AC.因为＝，＝，所以＝，所以HG∥AC，HG＝AC，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．
3. D 解析：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条．
4. D 解析：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N.当点M取不同的位置时，就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．
5. D 解析：当两条相交直线与等腰直角三角形的两条直角边分别平行时，它们所成的角为90°；当两条相交直线与等腰直角三角形的一条直角边和斜边平行时，它们所成的角为45°或135°.
6. A 解析：因为四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB，且EF＝(AB＋CD)，则AB∥EF∥C′D′.因为G，H分别为AD′，BC′的中点，所以GH∥AB，且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GH∥EF，GH＝EF，所以四边形EFGH为平行四边形．
7. ABC 解析：由题意易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，因为MQ∥BD，ME∥BC且方向相同，所以∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由题意易得∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，没有充分理由证明四边形MNPQ为矩形，故D不正确．故选ABC.
8. BD 解析：对于A，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故A错误；对于B，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故B正确；对于C，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故C错误；对于D，由基本事实3可得，若A∈α，A∈β，α∩β＝l，则A∈l，故D正确．故选BD.
9. (1) ∠D1B1C1 解析：因为B1D1∥BD，B1C1∥BC，并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同．
(2) ∠B1D1A1 解析：因为D1B1∥BD，D1A1∥BC，并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反．
10. 平行 解析：如图，将正方体的表面展开图还原成正方体，分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ.又点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，所以PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.
11. m 解析：连接AM并延长交BC于点E，连接AN并延长交CD于点F，连接MN，EF，所以BE＝EC，CF＝FD，所以EF＝BD＝m.又AM＝AE，AN＝AF，所以MN＝EF＝m.
12. ②④ 解析：在空间中，两条直线不相交，它们不一定平行，也可能异面，故①错误；由基本事实4知②，④正确；对于③，该直线也可能和另一条直线异面，故③错误．
13. 在△BCD中，因为＝＝，
所以GF∥BD，＝.
因为BD＝6 cm，所以FG＝4 cm.
在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，
所以EH＝BD＝3 cm.
设平行线EH，FG间的距离为d cm，
则×(4＋3)d＝28，所以d＝8，
即EH和FG间的距离为8 cm.
14. (1) 因为AA′与BB′相交于点O，
所以AA′与BB′共面．
在△ABO和△A′B′O中，∠AOB＝∠A′OB′，
又＝，所以△ABO∽△A′B′O，
所以＝，∠BAO＝∠B′A′O，
所以AB∥A′B′.
同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2) 因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，
所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
所以△ABC∽△A′B′C′.
又＝＝，
所以＝2＝.8．5.2 直线与平面平行(1)
一、 单项选择题
1. 已知A，B是直线l外的两点，则过点A，B，且和直线l平行的平面的个数是( )
A. 0个 B. 1个
C. 无数个 D. 以上都有可能
2. (2023江苏高一专题练习)在三棱锥D-ABC中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则下列几何图形中与直线MN平行的是( )
A. 直线CD B. 平面ABD
C. 平面ACD D. 平面BCD
3. 已知直线l，m，平面α，m α，那么“l∥α”是“l∥m”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. (2023重庆南开中学高一期末)过四棱锥P-ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有( )
A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条
5. (2022日照期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，且该平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. (2022威海期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC1，BD的中点，则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的平面个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、 多项选择题
7. (2023郑州高一阶段练习)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
8. 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，在此几何体中，则下列结论中正确的有( )
A. 直线AE与直线BF异面 B. 直线AE与直线DF异面
C. 直线EF∥平面PAD D. 直线EF∥平面ABCD
三、 填空题
9. 设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是________．
10. 已知直线a，b和平面α，若a∥b，b α，则a与α的关系为________．
11. (2022沧州期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，过A1B且与AC1平行的平面交直线CC1于点P，则CP＝________．
12. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件_______________时，A1P∥平面BCD.(填一个满足题意的条件即可)
四、 解答题
13. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，DC＝3，点E在棱PC上，且PE＝2EC.求证：BE∥平面PAD.
14. (2022漳州期末)如图，在圆锥SO中，S为顶点，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．
(1) 求证：SA∥平面PCD；
(2) 求圆锥的表面积和体积．
【答案解析】
8．5.2 直线与平面平行(1)
1. D 解析：若直线AB与直线l相交，则过点A，B，且和直线l平行的平面有0个；若直线AB与直线l异面，则过点A，B且和直线l平行的平面有1个；若直线AB与直线l平行，则过点A，B且和直线l平行的平面有无数个．
2. B 解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE.由点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，可得＝，＝，则＝＝，所以MN∥AB.因为CD与AB不平行，所以MN与CD不平行，故A错误；因为MN∥AB，且MN 平面ABD，AB 平面ABD，所以MN∥平面ABD，故B正确；因为M∈平面ACD，N 平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故C错误；因为N∈平面BCD，M 平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故D错误．
3. D 解析：因为由l∥α可得l∥m或l与m异面；由l∥m可得l∥α或l α，所以“l∥α”是“l∥m”的既不充分也不必要条件．
4. C 解析：如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点，则NE∥PB，且NE 平面PBD，PB 平面PBD，所以NE∥平面PBD，同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行．由图可知其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条．
5. C 解析：连接PM.因为M，P分别为AB，CD的中点，所以PM∥AD且PM＝AD，由题意知AD∥A1D1且AD＝A1D1，所以PM∥A1D1且PM＝A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P，故①正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故②错误；由①知A1M∥D1P，因为D1P 平面DCC1D1，D1P 平面D1PQB1，A1M 平面DCC1D1，A1M 平面D1PQB1，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故③④正确．综上，正确的个数为3.
6. D 解析：连接C1D，AB1.因为E，F分别是BC1，BD的中点，所以EF∥C1D∥AB1，则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的有平面CC1D1D，平面ABB1A1，平面A1C1D，平面ADC1B1，平面AB1D1，共5个．
7. AD 解析：对于A，在正方体中，易得AC∥MN，又AC 平面MNP，MN 平面MNP，所以AC∥平面MNP，同理可证BC∥平面MNP，又因为AC∩BC＝C且都在平面ACB内，所以平面ACB∥平面MNP，又因为AB 平面ACB，所以AB∥平面MNP，故A正确；对于B，如图1，连接BE，CD交于点O，易得AB∥NO，又AB 平面NCD，ON 平面NCD，所以AB∥平面NCD，又平面NCD与平面NMP相交，所以直线AB与平面NMP不平行，故B错误；对于C，因为 BM∥NP，所以平面NMP即为平面BNPM，显然直线AB与平面BNPM相交，故C错误；对于D，如图2，易得AB∥CD，CD∥NP，所以AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面MNP，所以AB∥平面MNP，故D正确．故选AD.
8. ACD 解析：由题可知，该几何体为四棱锥．对于A，可假设AE与BF共面，由图可知，点F不在平面ABE中，矛盾，故A正确；对于B，因为E，F分别为BP，CP的中点，所以EF∥BC.又四边形ABCD为正方形，所以AD∥BC，故EF∥AD，所以A，D，E，F四点共面，故B错误；对于C，由B的证明可知，EF∥AD，因为AD 平面PAD，EF 平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确；对于D，同理由B的证明可知，EF∥BC，又BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，故直线EF∥平面ABCD，故D正确．故选ACD.
9. 平行 解析：设线段AB，BC，CD的中点分别为E，F，G，则EF∥AC.又AC 平面EFG，EF 平面EFG，所以AC∥平面EFG.
10. a∥α或a α 解析：因为a∥b，b α，则a∥α或a α.
11. 6 解析：延长CC1至点P，使得C1P＝CC1，连接A1P，则四边形AA1PC1是平行四边形，所以A1P∥AC1.连接PB，因为A1P 平面A1BP，AC1 平面A1BP，所以AC1∥平面A1BP，则平面A1BP即为所求，此时CP＝2AA1＝6.
12. P是CC1的中点（答案不唯一） 解析：取CC1的中点P，连接A1P，易知A1D∥PC，A1D＝PC，所以四边形A1DCP为平行四边形，所以A1P∥DC.又A1P 平面BCD，DC 平面BCD，所以A1P∥平面BCD.
13. 作EF∥DC交PD于点F，连接AF.
因为点E在棱PC上，且PE＝2EC，
所以FE＝DC＝2.
因为AB∥DC，AB＝2，
所以AB∥FE，且AB＝FE，
所以四边形ABEF为平行四边形，则AF∥BE.
因为BE 平面PAD，AF 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
14. (1) 连接PO.
因为P，O分别为SB，AB的中点，所以PO∥SA.
又PO 平面PCD，SA 平面PCD，
所以SA∥平面PCD.
(2) 因为SO＝2，OB＝2，SO为圆锥的高，OB为圆锥底面圆的半径，
所以圆锥的体积V＝π×22×2＝.
因为SB＝＝2，
所以圆锥的表面积S＝π×2×（2＋2）＝（4＋4）π.8．5.2 直线与平面平行(2)
一、 单项选择题
1. (2023渭南象山中学期中)已知直线a，b和平面α，则下列说法中正确的是( )
A. 若a∥b，b∥α，则a∥α
B. 若a∥b，b α，则a∥α
C. 若a∥b，b α，a α，则a∥α
D. 若a∥α，b∥α，则a∥b
2. (2022泉州期中)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过直线EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
(第2题) (第3题)
3. (2022南平期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过直线MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则下列说法中正确的是( )
A. MF∥NE
B. 四边形MNEF为梯形
C. 四边形MNEF为平行四边形
D. A1B1∥NE
4. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1的长为( )
A. 2 B.
C. D. 1
5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，则下列结论中错误的是 ( )
A. l∥B1C1
B. BD∥平面AD1B1
C. l∥平面A1D1B1
D. D1B1∥l
6. (2022三明期中)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过点C，D，E的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A. 2＋ B. 3＋
C. 3＋2 D. 2＋2
二、 多项选择题
7. (2023全国高一专题练习)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥CD，BC＝，AA1＝AB＝AD＝2，点P，Q，R分别在棱BB1，CC1，DD1上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论中正确的是( )
A. 任意点P，都有AP∥QR
B. 存在点P，使得四边形APQR为平行四边形
C. 存在点P，使得BC∥平面APQR
D. 存在点P，使得△APR为等腰直角三角形
8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，则下列结论中正确的是( )
A. E，F，G，H一定是各边的中点
B. G，H一定是CD，DA的中点
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四边形EFGH是平行四边形或梯形
三、 填空题
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中，与平面BC1D1平行的棱共有________条．
10. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝，过点P，M，N的平面与棱CD交于点Q，则PQ＝________．
11. (2023绵阳三模)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝________．
12. (2022张家界期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝________．
四、 解答题
13. 如图，在三棱锥S-ABC中，D，E分别是SA，SC的中点，平面BDE∩平面ABC＝l，求证：
(1) DE∥平面ABC；
(2) DE∥l.
14. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，BC＝6，与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围．
【答案解析】
8．5.2 直线与平面平行(2)
1. C 解析：对于A，若a∥b，b∥α，则a∥α或a α，故A错误；对于B，若a∥b，b α，则a∥α或a α，故B错误；对于C，若a∥b，b α，a α，则a∥α，故C正确；对于D，若a∥α，b∥α，则a∥b，a与b相交，或a与b异面，故D错误．
2. A 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，AA1＝BB1.因为E，F分别为AA1，BB1的中点，所以AE＝BF，AE∥BF，所以四边形ABFE为平行四边形，所以EF∥AB.因为EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.因为EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以GH∥AB.
3. B 解析：因为在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，所以AM∥BN，AM＝BN，所以四边形ABNM为平行四边形，所以MN∥AB.又MN 平面ABC，AB 平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，所以EF≠MN，所以四边形MNEF为梯形．
4. D 解析：如图，连接AB1交A1B于点O，过点O作OP∥AC1交B1C1于点P，则O是AB1的中点．因为OP 平面A1PB，AC1 平面A1PB，所以AC1∥平面A1PB，即点P为所求的点．又在△AB1C1中，＝＝，而B1C1＝2，所以PC1＝1.
5. A 解析：易证B1D1∥BD，由直线和平面平行的判定定理，得BD∥平面AD1B1，故B正确；因为B1D1∥平面ABCD，平面AB1D1∩平面ABCD＝l，由线面平行的性质定理知，B1D1∥l.因为B1D1 平面A1D1B1，l 平面A1D1B1，所以l∥平面A1D1B1，故C，D正确，A错误．
6. C 解析：因为AB＝BC＝CD＝DA＝2，所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB.又CD 平面SAB，AB 平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD 平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB＝EF，所以CD∥EF，所以EF∥AB.又因为E为SA的中点，所以EF＝AB＝1.又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，所以DE＝CF＝2×sin 60°＝，所以四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝3＋2.
7. AC 解析：对于A，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝QR，所以AP∥QR，故A正确；对于B，若四边形APQR为平行四边形，则AR∥QP，而AD与BC不平行，即平面ADD1A1与平面BCC1B1不平行，又平面APQR∩平面BCC1B1＝PQ，平面APQR∩平面ADD1A1＝AR，所以直线PQ与直线AR不平行，与AR∥QP矛盾，所以四边形APQR不可能是平行四边形，故B不正确；对于C，当BP＝CQ，点R与点D重合时，满足BC∥平面APQR，故C正确；对于D，假设存在点P，使得△APR为等腰直角三角形，令BP＝x，过点D作DE⊥AB，则DE＝BC＝，在线段DR上取一点M使得DM＝BP＝x，连接BD，PM，则四边形BDMP为矩形，所以MP＝BD＝2，则PR＝＝，AP＝＝，AR＝＝，显然AR≠PR，若AP＝PR，则DR＝2x，AR2＝4＋4x2，此时4＋4x2＝2(4＋x2)，解得x＝，不合题意；若AP＝AR，则BP＝DR＝x且BP∥DR，得四边形BPRD为平行四边，所以RP＝＝2＝AP＝＝，无解，故D错误．故选AC.
8. CD 解析：由BD∥平面EFGH，及线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，所以EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形或梯形．故选CD.
9. 2 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中，与平面BC1D1平行的棱为CD，A1B1，共2条．
10. 解析：如图，因为M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又AC∥A1C1，所以MN∥AC.又MN 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.又MN 平面PMN，平面PMN∩平面ABCD＝PQ，所以MN∥PQ.因为AP＝，所以DP＝DQ＝a，所以PQ＝.
11. 解析：因为AB∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以CD∥平面SAB.又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD 平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝.
12. 2 解析：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO.因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO.在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC.因为EQ∥FC，所以四边形EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ.又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝A1Q＝2，故CF＝2.
13. (1) 因为D，E分别是SA，SC的中点，
所以DE∥AC.
因为DE 平面ABC，AC 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
(2) 因为平面BDE∩平面ABC＝l，DE 平面BDE，DE∥平面ABC，所以DE∥l.
14. 因为PA∥平面EFGH，PA 平面PAB，平面PAB∩平面EFGH＝EH，所以PA∥EH.
同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG，
所以EH∥FG，EF∥HG，
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为EF∥BC，所以＝，
所以EF＝.
因为HE∥PA，所以＝，
所以HE＝，
所以四边形EFGH的周长l＝2(EF＋HE)＝＝＝＝8＋.
因为0<<1，所以8故l的取值范围为(8，12).8．5.3 平面与平面平行
一、 单项选择题
1. (2023菏泽高一阶段练习)若m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m α，l∥m，则l∥α
B. 若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C. 若α∥β，l β，则l∥α
D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n
2. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为12，G，F分别是C1D1，BC的中点，过点A1，G，F的平面与正方体的底面ABCD的交线是EF，其中点E在AB上，则BE的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (2023全国高一专题练习)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是( )
4. (2022济宁期末)若平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是( )
A. 互相平行 B. 交于一点
C. 互相异面 D. 不能确定
5. 设平面α∥平面β，P是平面α，β外的一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A. B. 24
C. 24或 D. 16
6. (2023高一课时练习)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，P是正方体表面上的动点，若C1P∥平面CD1EF，则点P在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为( )
A. ＋ B. ＋2
C. 2＋ D. 2＋2
二、 多项选择题
7. 已知直线a，b和平面β，γ，则下列说法中不正确的有( )
A. 若a∥β，a γ，β∩γ＝b，则a∥b
B. 若a∥β，b∥β，则a∥b
C. 若a与b为异面直线，且a∥β，a∥γ，b∥β，b∥γ，则β∥γ
D. 若a∥b，b∥γ，则a∥γ
8. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，则下列结论中正确的是( )
A. 平面EFGH∥平面ABCD
B. 直线PA∥平面BDG
C. 直线EF∥平面PBC
D. 直线EF∥平面BDG
三、 填空题
9. 已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则α与β的位置关系为________．
10. 已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
11. (2022广州八校联考)设P，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，A1D1，AA1的中点，且BC＝CC1＝AB＝1，M是底面ABCD上的一个动点，若D1M∥平面PEF，则线段B1M长度的最小值为________．
12. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过点M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
四、 解答题
13. 如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图2.求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG.
14. (2023铜川高一期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．
(1) 求证：BC∥AD；
(2) 求证：CE∥平面PAB；
(3) 若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．
【答案解析】
8．5.3 平面与平面平行
1. C 解析：对于A，若m α，l∥m，则l∥α或l α，故A错误；对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；对于C，若α∥β，l β，则l∥α，故C正确；对于D，若α∥β，m α，n β，则m∥n或m，n异面，故D错误．
2. C 解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1GFE＝EF，平面A1B1C1D1∩平面A1GFE＝A1G，所以A1G∥EF. 取DC，AB的中点G′，H，连接AG′，CH，则A1G∥AG′，AG′∥CH，所以EF∥CH.又F为BC的中点，所以E是BH的中点，所以BE＝AB＝3.
3. D 解析：对于A，如图1，在正方体DMEF-GPQT中，QT∥EF且QT＝EF，因为B，C分别为QT，EF的中点，所以BQ∥EC且BQ＝EC，所以四边形BCEQ为平行四边形，所以BC∥EQ，因为BC 平面EMPQ，EQ 平面EMPQ，所以BC∥平面EMPQ，同理可证AB∥平面EMPQ，因为AB∩BC＝B，AB，BC均在平面ABC内，所以平面EMPQ∥平面ABC，因为MN 平面EMPQ，所以MN∥平面ABC，故A满足；对于B，如图2，连接PT，在正方体DECF-GPQT中，PE∥FT且PE＝FT，因为A，B分别为PE，FT的中点，所以PA∥BT且PA＝BT，所以四边形PABT为平行四边形，故AB∥PT，因为M，N分别为GP，GT的中点，所以MN∥PT，所以MN∥AB，因为MN 平面ABC，AB 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故B满足；对于C，如图3，在正方体DMKN-GPQT中，取GT的中点F，连接AF，BF，PT，因为PG∥KN且PG＝KN，A，C分别为PG，KN的中点，所以AG∥CN且AG＝CN，故四边形ACNG为平行四边形，则AC∥GN，因为F，B分别为GT，TN的中点，所以BF∥GN，则BF∥AC，所以A，C，B，F四点共面，因为PM∥NT且PM＝NT，所以四边形PMNT为平行四边形，所以PT∥MN，因为A，F分别为PG，GT的中点，所以AF∥PT，所以MN∥AF，因为MN 平面ABC，AF 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故C满足；对于D，如图4，在正方体DEKF-GPQT中，取EK的中点H，连接BH，HM，CN，PT，EF，BN，因为PE∥FT且PE＝FT，B，N分别为PE，FT的中点，所以PB∥TN且PB＝TN，所以四边形PBNT为平行四边形，则BN∥PT，因为A，C分别为GP，GT的中点，所以AC∥PT，故AC∥BN，所以A，B，N，C四点共面，同理可证MH∥BN，故AC∥MH，同理可得AB∥MN，反设MN 平面ABC，因为MN∥AB，且AB 平面ABC，所以MN∥平面ABC，但MN与平面ABC有公共点N，这与MN∥平面ABC矛盾，故MN 平面ABC，故D不满足．
4. A 解析：由平面与平面平行的性质定理及基本事实4知，a∥b∥c∥d.
5. C 解析：当点P在α，β外侧时，则有＝，所以PB＝，BD＝；当点P在α，β之间时，则有＝，所以PB＝16，BD＝24，综上，BD的长为24或.
6. B 解析：取BB1的中点G，A1B1的中点H，连接GH，C1G，C1H，A1B，EG，HF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H为中点，所以EF∥A1B，GH∥A1B，所以EF∥GH且EF＝GH＝.因为F，H分别为AB，A1B1的中点，所以FH∥CC1，且FH＝CC1，所以四边形FHC1C为平行四边形，所以HC1∥CF.因为HC1 平面CD1EF，CF 平面CD1EF，所以HC1∥平面CD1EF.同理可得HG∥平面CD1EF.又GH∩HC1＝H，HC1 平面C1GH，GH 平面C1GH，所以平面C1HG∥平面CD1EF，所以点P在正方体表面上运动所形成的轨迹为△C1HG.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以HC1＝GC1＝＝，所以△C1HG的周长为GH＋HC1＋GC1＝＋＋＝＋2.
7. BD 解析：对于A，a∥β，a γ，β∩γ＝b，由线面平行的性质，得a∥b，故A正确；对于B，若a∥β，b∥β，则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；对于C，若a与b为异面直线，且a∥β，a∥γ，b∥β，b∥γ，根据面面平行的判定定理的推论，则β∥γ，故C正确；对于D，若a∥b，b∥γ，则a∥γ或a γ，故D错误．故选BD.
8. ABC 解析：作出立体图形如图所示．连接点E，F，G，H构成平面EFGH.对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD.因为EF 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.同理，EH∥平面ABCD.又EF∩EH＝E，EF 平面EFGH，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；对于B，连接AC，BD，DG，BG.设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以MG∥PA.又MG 平面BDG，PA 平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B正确；对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC.因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正确；对于D，根据C中的分析可知EF∥BC，再结合图形可得，BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D错误．故选ABC.
9. 平行 解析：假设平面α与平面β不平行，则α∩β＝c，因为a 平面α，a∥β，所以a∥c.因为b 平面β，b∥α，所以b∥c，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故α∥β.
10. 6 解析：如图，因为AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面．因为α∥β，且α∩平面ABCD＝AC，β∩平面ABCD＝BD，所以AC∥BD.又AB∥CD，所以四边形ABDC为平行四边形，所以AB＝CD＝6.
11. 解析：如图，分别取CC1，C1D1，BC的中点Q，R，G，连接PG，QG，QR，ER，易知点E，F，P，G，Q，R共面．连接AD1，AC，CD1.因为AP＝PB，BG＝GC，所以PG∥AC.又PG∥ER，所以ER∥AC.因为AC 平面AD1C，ER 平面AD1C，所以ER∥平面AD1C.同理可证EF∥平面AD1C.因为ER∩EF＝E，ER 平面EFPGQR，EF 平面EFPGQR，所以平面AD1C∥平面EFPGQR，故点M在线段AC上运动．要使线段B1M长度最小，需使BM⊥AC.此时BM·AC＝AB·BC，得BM＝，所以B1M＝＝.
12. 3 解析：如图，在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需ME∥BC1.因为A1M＝2MD1，所以点E位于靠近点A的三等分点处，同理可确定点F，G，H，I，故可得截面MIHGFE，即为平面α，且平面A1BC1∥平面MIHGFE.设正方体的棱长为3a，则a＝，所以ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，则截面MIHGFE的周长为ME＋MI＋IH＋HG＋FG＋EF＝9a＝3，则该截面多边形的周长为3 .
13. 在梯形ABCP中，AP∥BC，BC＝AP，D为AP的中点，所以AD∥BC，AD＝BC，
所以四边形ABCD为平行四边形．
在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥CD.
因为AB∥CD，所以EF∥AB.
因为EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG＝E，EF 平面EFG，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB.
因为AP 平面PAB，所以AP∥平面EFG.
14. (1) 在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，
所以BC∥AD.
(2) 取AP的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，
所以EF∥AD且EF＝AD，
由(1)知BC∥AD，又BC＝AD，
所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，故CE∥BF.
又CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
(3) 线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB，理由如下：
取AD的中点N，连接CN，EN.
因为E，N分别为PD，AD的中点，
所以EN∥PA.
因为EN 平面PAB，PA 平面PAB，
所以EN∥平面PAB.
由(2)知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，CE 平面CEN，EN 平面CEN，
所以平面CEN∥平面PAB.
又M是CE上的动点，MN 平面CEN，
所以MN∥平面PAB，所以线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB.
