8．6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
一、 单项选择题
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线A1B成45°角的棱的条数为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 2
2. (2022宁德期末)若空间中三条不同的直线l1，l2，l3满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论中正确的是( )
A. l1⊥l3
B. l1∥l3
C. l1与l3既不平行也不垂直
D. l1与l3相交且垂直
3. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c的位置关系为( )
A. 一定平行
B. 一定相交
C. 一定是异面直线
D. 平行、相交、异面都有可能
4. (2023全国高一专题练习)在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为( )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 60°或120°
5. (2022郴州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成角的取值范围是( )
A. (0°，45°) B. [0°，45°)
C. [0°，60°] D. (0°，60°]
二、 多项选择题
7. (2023全国专题练习)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题中正确的是( )
A. GH与EF平行
B. BD与MN为异面直线
C. GH与MN成60°角
D. DE与MN垂直
8. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是( )
A. AB⊥EF
B. AB与CD所成的角为60°
C. EF与MN是异面直线
D. MN∥CD
三、 填空题
9. 在空间四边形ABCD中，P，R分别是AB，CD的中点，且PR＝3，AC＝4，BD＝2，则AC和BD所成的角的大小是________．
10. (2023全国高一专题练习)如图，已知圆锥CO的正视图是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为________．
11. 若a，b是所成角为60°的两条异面直线，O为空间内一点，则过点O与a，b均成60°角的直线有________条．
12. (2022荆州期末)在四面体ABCD中，AC与BD的夹角为30°，AC＝2，BD＝2，M，N分别是AB，CD的中点，则线段MN的长度为________．
四、 解答题
13. (2023高一课时练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1) 求A1C1与B1C所成角的大小；
(2) 若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
14. (2022淄博期末)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点， M，N分别是AB，PC的中点．
(1) 求证： MN∥平面PAD；
(2) 若MN＝BC＝4, PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
【答案解析】
8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
1. B 解析：如图，在正方形ABB1A1中，AA1，AB，BB1，A1B1与A1B均成45°角，根据线线角的定义知，DD1，CC1，DC，D1C1都与A1B成45°角，所以满足条件的棱有8条．
2. A 解析：因为空间中三条不同的直线l1，l2，l3满足l1⊥l2，l2∥l3，所以l1⊥l3.
3. D 解析：当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
4. D 解析：如图，因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，所以EG∥AD，EF∥BC.因为AD与BC是异面直线，所以根据异面直线所成角的定义可知∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角．因为AD与BC所成的角为60°，所以∠FEG为60°或120°.
5. C 解析：如图，取DD1 的中点N，连接MN，AN.因为MN∥C1D1，所以∠AMN 或其补角即为直线AM与C1D1所成角．因为CD⊥ 平面ADD1A1, MN∥CD，所以MN⊥ 平面ADD1A1.因为AN 平面ADD1A1，所以MN⊥AN，故△AMN 是直角三角形．设正方体的棱长为2，则MN＝2，AN＝＝＝，所以tan ∠AMN＝＝.
6. D 解析：如图，连接CD1.因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是直线CP与CD1所成的角，即∠D1CP.当点P从点D1向点A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与点D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是（0°，60°].
7. BCD 解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，故A不正确；BD与MN为异面直线，故B正确；GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，所以∠GHM＝60°，所以GH与MN成60°角，故C正确；连接AG，FG，则AG⊥DE，FG⊥DE，所以DE⊥平面AFG，所以DE⊥AF，又MN∥AF，所以DE与MN垂直，故D正确．故选BCD.
8. ABC 解析：将正方体的平面展开图还原为正方体，可得如下空间图形．连接DN，根据正方体的特点，易知AB⊥DN.因为DN∥EF，所以AB⊥EF，故A正确；连接BF，AF，因为CD∥BF，而△ABF为等边三角形，故直线AB与BF所成的角为60°，则直线AB与CD所成的角也为60°，故B正确；由图可知EF和MN显然是异面直线，故C正确；由图可知MN与CD是异面直线，故D错误．故选ABC.
9. 90° 解析：如图，取BC的中点G，连接PG，RG，则PG∥AC，PG＝AC＝2，RG∥BD，RG＝BD＝.因为32＝（）2＋22，所以△PRG是直角三角形，且∠PGR＝90°，所以异面直线AC，BD所成的角即为PG与GR所成的角，为90°.
10. 解析：如图，取AC的中点E，劣弧BD的中点F，AO的中点G，连接OF，OE，易知OE∥BC，AD∥OF，则异面直线AD与BC所成的角是∠EOF或其补角．连接EG，GF，EF，易得EG⊥GF，不妨设OG＝1，则OF＝2，OE＝2，EG＝，GF2＝OG2＋OF2－2·OG·OF·cos ＝5＋2，则EF2＝EG2＋GF2＝8＋2.在△OEF中，cos ∠EOF＝＝－，故异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
11. 3 解析：如图，将异面直线a，b平移至共交点O的a′，b′处，在平面α中，s为a′与b′所成锐角的角平分线，将s绕点O往正上方旋转得l，将s绕点O往正下方旋转得m，且m，l与a′，b′均成60°角．在平面α中，k为a′，b′所成补角的角平分线，且k与a′，b′均成60°角，所以通过图形，可知过点O与a，b均成60°角的直线有3条．
12. 1或 解析：取AD的中点P，连接PM，PN.因为M，N分别是AB，CD的中点，所以MP∥BD，NP∥AC，且MP＝，PN＝1.因为AC与BD的夹角为30°，所以∠MPN＝30°或∠MPN＝150°，所以MN＝＝1或MN＝＝.
13. (1) 连接AC，AB1.
由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，则B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，
得∠B1CA＝60°，
所以A1C1与B1C所成的角为60°.
(2) 连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以AC⊥EF，
所以EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
14. (1) 如图，取PD的中点H，连接AH，NH.
因为N是PC的中点，
所以NH∥DC，NH＝DC.
因为M是AB的中点，AB＝DC，AB∥DC，
所以NH∥AM，NH＝AM，
所以四边形AMNH为平行四边形，
所以MN∥AH.
又MN 平面PAD，AH 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2) 连接AC，取AC的中点O，连接OM，ON，
则OM＝BC，ON＝PA，ON∥PA，
所以∠ONM为异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2，
所以MO2＋ON2＝MN2，
所以∠MON＝90°，∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN所成角的大小为30°.8．6.2 直线与平面垂直(1)
一、 单项选择题
1. (2022武汉期末)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
2. (2022济南期末)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A. α∥β，且m α
B. m∥n，且n⊥β
C. m⊥n，且n β
D. m⊥n，且n∥β
3. 若一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交不垂直 D. 不确定
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 ( )
A. 平面DD1C1C
B. 平面A1DB
C. 平面A1B1C1D1
D. 平面A1DB1
5. (2022龙岩期末)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为 P，点P在△AEF 内的射影为O，则下列说法中正确的是( )
A. O是△AEF的垂心
B. O是△AEF 的内心
C. O是△AEF 的外心
D. O是△AEF的重心
6. (2022娄底期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行
C. 斜交 D. 以上都不对
二、 多项选择题
7. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论中正确的有( )
A. BC⊥平面PAB B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC D. PB⊥平面ADC
(第7题) (第8题)
8. (2022广州越秀区期末)如图，四棱锥S-ABCD的底面为菱形，AB＝SD＝3，∠DAB＝60°，SD⊥底面ABCD，P是SC上任意一点(不含端点)，则下列结论中正确的是( )
A. 若SA∥平面PBD，则SA∥PO
B. 点B到平面SAC的距离为
C. 当P为SC的中点时，过点P，A，B的截面为直角梯形
D. 当P为SC的中点时，DP＋PB有最小值
三、 填空题
9. 已知平行四边形ABCD的对角线的交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系为________．(填“垂直”或“不垂直”)
10. 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
11. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，则此图形中有________个直角三角形．
12. 如图，将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上一个正确的条件即可)
四、 解答题
13. (2022三明期末)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，E是PB的中点，且BE＝DE.
(1) 求证：BD⊥平面ACE；
(2) 若PD＝AB，PD⊥AC，且AE＝4，求四棱锥P-ABCD的体积．
14. (2022武汉部分重点中学期末)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，且E，F分别是BC，A1B1的中点．
(1) 求证：EF∥平面A1C1CA；
(2) 在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案解析】
8．6.2 直线与平面垂直(1)
1. C 解析：因为OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，所以OA⊥平面OBC.
2. B 解析：对于A，若α∥β，且m α，则m∥β，故A错误；对于B，一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，故B正确；对于C，D，m β或m∥β或m与β相交均有可能，故C，D错误．
3. B 解析：一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，所以必与第三边垂直．
4. D 解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与平面DD1C1C相交但不垂直，故A错误；AD1与平面A1DB相交但不垂直，故B错误；AD1与平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C错误；因为A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，A1D∩A1B1＝A1，A1D 平面A1DB1，A1B1 平面A1DB1，所以AD1⊥平面A1DB1，故D正确．
5. A 解析：由题意可知PA，PE，PF两两垂直，则PA⊥平面PEF，则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，又PA∩PO＝P，PO 平面PAO，PA 平面PAO，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心．
6. A 解析：连接B1D1，BD.因为几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又因为B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，BD 平面BDD1B1，BB1 平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1.因为B1H 平面BDD1B1，所以AC⊥B1H.因为B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O均在平面AD1C内，所以B1H⊥平面AD1C.
7. ABC 解析：因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC.因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD.又PA＝AB，D是PB的中点，所以AD⊥PB.又PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，所以PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，故D错误．故选ABC.
8. ABC 解析：对于A，因为SA∥平面PBD，SA 平面SAC，平面PBD∩平面SAC＝PO，所以SA∥PO，故A正确；对于B，设点B到平面SAC的距离为h，因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AD，SD⊥AC.因为四边形ABCD为菱形，AB＝SD＝3，∠DAB＝60°，所以SA＝SC＝3，AC＝3.因为V棱锥B-SAC＝V棱锥S-ABC，即h××3×＝×3××3×3×，则h＝，故B正确；当P为SC的中点时，如图1，取SD的中点M，连接PM，AM，MB，则PM∥CD，PM＝CD.因为AB∥CD，所以PM∥AB，所以过点P，A，B的截面为ABPM，则PB＝3，BM＝，PM＝，所以BM2＝PM2＋PB2，则PM⊥PB，即四边形ABPM为直角梯形，故C正确；借助于侧面展开图，如图2，连接DB交SC于点P，此时DP＋PB为最小值．若P为SC的中点时，因为SD＝CD，则DP⊥SC，所以BC＝SB，这与题意相矛盾，故D错误．故选ABC.
9. 垂直 解析：由题意，得O是AC，BD的中点．因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.因为AC∩BD＝O，AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
10. 菱形 解析：连接AC.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA 平面PAC，PC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又AC 平面PAC，所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD一定是菱形．
11. 4 解析：由PA⊥平面ABC，得△PAC，△PAB是直角三角形．因为∠ACB＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥AC.由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有4个直角三角形，即△PAC，△PAB，△ABC，△PCB.
12. AC⊥BD（或四边形ABCD为菱形、正方形等） 解析：在平面四边形ABCD中，设AC与BD交于点E，假设AC⊥BD，则AE⊥BD，CE⊥BD.折叠后（如图），AE与BD，CE与BD依然垂直，可得BD⊥平面AEC.又AC 平面AEC，所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．（若平面四边形ABCD为菱形或正方形，则它们的对角线互相垂直，所以同上可证AC⊥BD）
13. (1) 如图，设AC与BD交于点O.
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
因为BE＝DE，O为BD的中点，所以EO⊥BD.
因为EO∩AC＝O，AC 平面ACE，EO 平面ACE，
所以BD⊥平面ACE.
(2) 设AB＝2a，因为∠BAD＝60°，
所以AO＝a，EO＝PD＝a.
因为PD⊥AC，PD∥EO，所以EO⊥AC，
故EO2＋AO2＝AE2，
即a2＋3a2＝42，解得a＝2，则PD＝4.
因为EO⊥BD，EO⊥AC，
所以EO⊥平面ABCD，则PD⊥平面ABCD，
所以四棱锥P-ABCD的体积V＝S ABCD·PD＝×4×4sin 60°×4＝.
14. (1) 如图，取A1C1的中点G，连接FG，CG.
因为F，G分别是A1B1，A1C1的中点，
所以FG∥B1C1，且FG＝B1C1.
因为四边形BCC1B1是平行四边形，
所以B1C1∥BC，且B1C1＝BC.
因为E是BC的中点，
所以EC∥B1C1，且EC＝B1C1，
所以EC∥FG，且EC＝FG，
所以四边形FECG是平行四边形，
所以FE∥GC.
因为FE 平面A1C1CA，GC 平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.
(2) 当P为线段AB的中点时，BC1⊥平面EFP，理由如下：
取AB的中点P，连接PE，PF.
因为BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，A1C∩CC1＝C，A1C 平面ACC1A1，CC1 平面ACC1A1，
所以BC1⊥平面ACC1A1.
因为P，E分别为AB，BC的中点，
所以PE∥AC.
因为PE 平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，
所以PE∥平面ACC1A1.
因为EF∥平面ACC1A1，EF∩PE＝E，
所以平面EFP∥平面ACC1A1，
所以BC1⊥平面EFP.
故当P是线段AB的中点时，BC1⊥平面EFP，此时＝.8．6.2 直线与平面垂直(2)
一、 单项选择题
1. (2022泉州期末)若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为( )
A. 72° B. 90°
C. 108° D. 180°
2. (2022淄博期末)将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以点A，B，C，D为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为( )
A. 90° B. 60
C. 45° D. 30°
3. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则直线AD与平面BB1C1C所成的角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
(第3题) (第4题)
4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，AB上的点，若∠NMC1＝90°，则∠NMB1( )
A. 大于90° B. 小于90°
C. 等于90° D. 不能确定
5. 已知直线a是平面α的斜线，b α，则当直线a与b成60°，且b与a在α内的射影成45°时，a与α所成的角是( )
A. 60° B. 45° C. 90° D. 135°
6. (2022张家界期末)在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，则下列结论中正确的是( )
A. CD⊥AN B. BD⊥PC
C. PB⊥平面ANMD D. BD与平面ANMD所成的角为30°
8. 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是( )
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PD⊥BD D. PA⊥BD
三、 填空题
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成角的大小为________．
10. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为________．
11. (2022潮州期末)在《九章算术》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为________．
(第11题) (第12题)
12. (2022宜昌期末)如图，已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等，点E满足＝3，点P在棱AB上运动．设EP与平面BCD所成的角为θ，则sin θ的最大值为________.
四、 解答题
13. (2022广州八校联考)如图，将正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心．
(1) 求证：AB∥平面EOF；
(2) 求直线CD与平面DOF所成角的大小．
14. (2022广州越秀区期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，且D为A1C1的中点．
(1) 求证：A1B∥平面B1CD；
(2) 求A1B与平面BCC1B1所成角的余弦值．
【答案解析】
8．6.2 直线与平面垂直(2)
1. B 解析：当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时， 直线l与这条直线垂直，所成的角为直角．又因为两直线所成角的取值范围为[0°，90°]，所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.
2. C 解析：记正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线AC折起后，如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥DABC的体积最大，所以∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角．因为正方体对角线相互垂直且平分，所以在Rt△DOB中，OD＝OB，所以直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.
3. C 解析：如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C，所以AE⊥DE，所以∠ADE即为AD与平面BB1C1C所成的角．设三棱柱的棱长为a，则DE＝，AE＝，所以tan ∠ADE＝＝，所以∠ADE＝60°.
4. C 解析：因为∠NMC1＝90°，所以MN⊥MC1.又由正方体的性质可知，B1C1⊥平面ABB1A1.因为MN 平面ABB1A1，所以B1C1⊥MN.因为MC1∩B1C1＝C1，MC1 平面MB1C1，B1C1 平面MB1C1，所以MN⊥平面MB1C1.又因为MB1 平面MB1C1，所以MN⊥MB1，即∠NMB1＝90°.
5. B 解析：如图，A∈a，AC⊥α于点C，AB⊥b于点B，连接BC，OC.因为AC⊥α，b α，所以AC⊥b.因为AB⊥b，AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以b⊥平面ABC，所以OB⊥BC.由题意得cos ∠AOB＝cos 60°＝，cos ∠BOC＝cos 45°＝.设∠AOC＝θ，则θ即为直线a与平面α所成的角，即cos θ＝＝＝，所以θ＝45°.
6. A 解析：如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于点O，则DO⊥AC，连接PO.因为PA⊥平面ABCD，DO 平面ABCD，所以PA⊥DO.又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以DO⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角．因为PA＝AD＝1，易知PA⊥AD，所以PD＝，易得DO＝DB＝，所以sin ∠DPO＝＝，即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为.
7. CD 解析：对于A，因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD.因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥AN.若CD⊥AN，又CD∩AD＝D，CD 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AN⊥平面ABCD，与PA⊥平面ABCD矛盾，故A错误；对于B，连接AC.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.若BD⊥PC，又PA∩PC＝P，PA 平面PAC，PC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，则BD⊥AC，在题中给出的直角梯形ABCD中，显然不可能，故B错误；对于C，因为PA＝AB，N为PB的中点，所以PB⊥AN.因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.因为∠BAD＝90°，BC∥AD，所以∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.因为PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，所以PB⊥MN.因为AN∩MN＝N，AN 平面ANMD，MN 平面ANMD，所以PB⊥平面ANMD，故C正确；对于D，连接DN.因为PB⊥平面ANMD，所以∠BDN是直线BD与平面ANMD所成的角，在Rt△BDN 中，sin ∠BDN＝＝，所以直线BD与平面ANMD所成的角为30°，故D正确．故选CD.
8. ABD 解析：因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，PA，AB均在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以PB⊥BC，故A正确；因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD均在平面PAD内，所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，故B正确；若PD⊥BD，PA⊥BD，则BD⊥平面PAD.又BA⊥平面PAD，与过平面外一点有且仅有一条直线与平面垂直矛盾，故C不正确；因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，故D正确．故选ABD.
9. 45° 解析：由正方体的性质可知，DD1⊥平面ABCD，则∠D1AD即为直线AD1与平面ABCD所成的角，易得∠D1AD＝45°.
10. 45° 解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC内的投影为AB，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45°.
11. 解析：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以CD⊥PA.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.连接ED，故∠CED即为直线CE与平面PAD所成的角．设PA＝AB＝AD＝2，在Rt△CDE中，CD＝2，DE＝＝，则CE＝＝3，则cos ∠CED＝＝，故直线CE与平面PAD所成角的余弦值为.
12. 解析：依题意可知，该几何体为正四面体．设顶点A在底面上的射影是O，则O是底面的中心，如图，连接OB，过点P作PH∥AO，交OB于点H，连接HE.设正四面体的棱长为4a，PB＝x(013. (1) 因为O是原正方形ABCD的中心，
所以O为AC的中点．
因为F为BC的中点，所以OF∥AB.
因为OF 平面EOF，AB 平面EOF，
所以AB∥平面EOF.
(2) 因为AB⊥BC，OF∥AB，所以BC⊥OF.
因为AD＝DC，所以OD⊥AC.
因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD 平面ADC，
所以OD⊥平面ABC.
因为BC 平面ABC，所以OD⊥BC.
因为OD∩OF＝O，OD 平面DOF，OF 平面DOF，所以BC⊥平面DOF，
所以直线CD与平面DOF所成的角为∠CDF.
因为CF＝BC＝CD，
所以在Rt△CDF中，sin ∠CDF＝＝，
所以∠CDF＝30°，
即直线CD与平面DOF所成角的大小为30°.
14. (1) 连接BC1，设BC1∩B1C＝E，连接DE.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为矩形，则E为BC1的中点．
又D为A1C1的中点，所以DE∥A1B.
因为A1B 平面B1CD，DE 平面B1CD，
所以A1B∥平面B1CD.
(2) 取B1C1的中点F，连接A1F，BF，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，A1F 平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1F.
又△A1B1C1为等边三角形，所以C1B1⊥A1F.
因为C1B1∩BB1＝B1，C1B1 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1，
所以A1F⊥平面BCC1B1，
所以∠A1BF为直线A1B与平面BCC1B1所成的角．
因为AB＝AA1＝3，
所以BF＝＝＝，
A1B＝＝3，
所以cos ∠A1BF＝＝＝，
所以直线A1B与平面BCC1B1所成角的余弦值为.8．6.2 直线与平面垂直(3)
一、 单项选择题
1. (2022临沂期末)已知直线l⊥平面α，直线m α，则下列说法中正确的是( )
A. l⊥m
B. l∥m
C. l，m异面
D. l，m相交而不垂直
2. 已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为( )
A. B. C. D.
3. 已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A，B的任意一点，则下列关系中不正确的是( )
A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB D. PC⊥BC
4. (2022枣庄期末)如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，则这个条件可能是( )
A. AC⊥β
B. AC⊥CD
C. AC∥BD
D. AC与α，β所成的角相等
5. 如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是边CD的中点，将△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为( )
A. B.
C. D. 1
6. (2022三明期末)已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为( )
A. B. 2
C. D. 2
二、 多项选择题
7. 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是线段BB1，AB，A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R，则下列结论中错误的是( )
A. 对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q
B. 对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP
C. 对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R
D. 对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP
8. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF将这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则下列结论中成立的是( )
A. SG⊥平面EFG
B. SE⊥平面EFG
C. GF⊥SE
D. EF⊥平面SEG
三、 填空题
9. 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥AC，EC⊥BC，且EC＝12，则ED＝________．
10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，PC⊥平面BDM.(填上一个正确的条件即可)
11. (2022连云港期末)已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝3，PA⊥平面ABCD. 若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________．
12. (2022无锡期末)已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，△ABC和△ADC是边长为2的等边三角形，BD＝2，则球O的体积为________；若P，Q分别为线段AO，BC的中点，则PQ＝________．
四、 解答题
13. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝.
(1) 求证：PA⊥平面ABC；
(2) 过点C作CF⊥PB交PB于点F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF，求点E 的位置．
14. (2022十堰期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M，N分别为棱AC，A1B1的中点．
(1) 求证：MN∥平面BB1C1C；
(2) 求点B到平面CMN的距离．
【答案解析】
8．6.2 直线与平面垂直(3)
1. A 解析：根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直于该平面内的任意一条直线，因此 l⊥m.
2. A 解析：如图，由题意可知PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，取BC的中点E，连接OE，PE，则PO⊥OE.在PE上取点N，使得NE＝PE，则N即是△PBC的重心．过点N作NG⊥PO于点G，则GO＝PO＝2，GN＝OE＝×AB＝.又MO＝PO＝3，所以MG＝1，则MN＝＝＝，即PO的中点M到△PBC的重心N的距离为.
3. C 解析：由题意可得AC⊥BC，由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故A正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，故B正确；结合选项B，可得BC⊥PC，故D正确；若AC⊥PB，由AC⊥PA，PB∩PA＝P，PB 平面PAB，PA 平面PAB，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥AB，与AC⊥BC矛盾，故C错误．
4. A 解析：由AB⊥α，CD⊥α，EF α，得AB⊥EF，CD⊥EF，AB∥CD.显然BD 平面ABDC，但由EF垂直于平面ABDC内的两条平行直线不能推出EF垂直于平面ABDC，进而不能推出EF垂直于BD，所以增加的条件只要能推出EF垂直于平面ABDC内与AB（或CD）相交的一条直线即可，故A正确．
5. B 解析：由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D′-ABCE中，底面ABCE为边长是1的正方形．在侧面D′EA中，D′E⊥AE，且D′E＝AE＝1.因为AE⊥D′E，AE⊥CE，D′E∩CE＝E，D′E 平面D′CE，CE 平面D′CE，所以AE⊥平面D′CE.作D′M⊥CE于点M，作MN⊥AB于点N，连接D′N，则由AE⊥平面D′CE，可得D′M⊥AE.又AE∩CE＝E，AE 平面ABCE，CE 平面ABCE，所以D′M⊥平面ABCE.又AB 平面ABCE，所以D′M⊥AB.因为MN⊥AB，D′M∩MN＝M，D′M 平面D′MN，MN 平面D′MN，所以AB⊥平面D′MN.在△D′MN中，作MH⊥D′N于点H，则AB⊥MH.因为D′N∩AB＝N，D′N 平面ABD′，AB 平面ABD′，所以MH⊥平面ABD′.又由题意可得CE∥平面ABD′，所以MH即为点C到平面ABD′的距离．在Rt△D′MN中，D′M⊥MN，MN＝1.设D′M＝x，则06. D 解析：因为三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA＝4，所以球心O是PA的中点，球的半径R＝OC＝PA＝2.取AB的中点D，连接OD，OB，则OD⊥AB，且OD＝＝＝.因为△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，所以CD＝＝1，所以OC2＝CD2＋OD2，所以OD⊥CD.又CD∩AB＝D，CD 平面ABC，AB 平面ABC，所以OD⊥平面ABC，所以点P到底面ABC的距离为d＝2OD＝2.
7. BCD 解析：对于A，当点P与点B1重合时，CP⊥AB，CP⊥AD1，且AB∩AD1＝A，所以CP⊥平面ABD1.因为对于任意给定的点Q，都有D1Q 平面ABD1，所以对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q，故A正确；对于B，只有D1Q⊥平面BCC1B1，即D1Q⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP.因为过点D1与平面ADD1A1垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，故B错误；对于C，当点R与点A1重合时，在线段BB1上找不到点P，使得CP⊥D1R，故C错误；对于D，只有D1R⊥平面BCC1B1，即D1R⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP.因为过点D1与平面ADD1A1垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1与A1C没有交点，故D错误．故选BCD.
8. AC 解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE 平面EFG，GF 平面EFG，得SG⊥平面EFG，故A正确；同理可得GF⊥平面GSE，所以GF⊥SE，故C正确；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，故B错误；同理可得D也错误．故选AC.
9. 13 解析：因为△ABC为直角三角形，∠ACB为直角，所以AB＝＝10.因为D为AB的中点，所以CD＝5.又EC⊥AC，EC⊥BC，AC∩BC＝C，AC 平面ABC，BC 平面ABC，所以EC⊥平面ABC.因为CD 平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝＝13.
10. DM⊥PC（或BM⊥PC） 解析：如图，连接BD，AC.因为四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA.因为PA∩AC＝A，PA，AC在平面PAC内，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.
11. 解析：如图，因为PA⊥平面ABCD，DM 平面ABCD，所以PA⊥DM.因为BC边上存在点M，使PM⊥DM，且PM∩PA＝P，PM，PA均在平面PAM内，所以DM⊥平面PAM.因为AM 平面PAM，所以DM⊥AM，所以以AD为直径的圆和BC有公共点．因为AD＝BC＝3，所以圆的半径为.因为点M是唯一的，所以BC和半径为的圆相切，所以AB＝，即a＝.
12. π 解析：很明显△ABD和△BCD是等腰直角三角形，且BD是公共的斜边，故四面体的外接球的球心O是BD的中点，且该球的半径R＝，所以球O体积V＝π（）3＝.因为OA＝OB＝，AB＝2，所以OA2＋OB2＝AB2，所以OA⊥OB，同理OA⊥OC，又OB∩OC＝O，OB 平面BCD，OC 平面BCD，所以AO⊥平面BCD，所以AO⊥OQ，故△OPQ是直角三角形，OP＝，OQ＝1，则PQ＝＝＝.
13. (1) 由已知，得PC2＝PA2＋AC2，PB2＝PA2＋AB2，
所以PA⊥AC，PA⊥AB.
又AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC.
(2) 因为CF⊥PB，
所以只要PB⊥CE，就有PB⊥平面CEF.
因为PA⊥平面ABC，CE 平面ABC，
所以PA⊥CE.
又PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，所以CE⊥平面PAB.
因为AB 平面PAB，所以CE⊥AB.
设BE＝x.因为AB2＝AC2＋BC2，
所以∠ACB＝90°，所以△ACB∽△CEB，
所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝，
故点E在线段AB上且满足BE＝时，有PB⊥平面CEF.
14. (1) 如图，取AB的中点D，连接ND，MD.
因为在直棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是AC，A1B1的中点，
所以ND∥BB1, ND＝BB1，MD∥BC.
因为ND 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1，
所以ND∥平面BCC1B1，同理可得MD∥平面BCC1B1.
又ND∩MD＝D，ND 平面MND，MD 平面MND，
所以平面MND∥平面BCC1B1.
又MN 平面MND，所以MN∥平面BCC1B1.
(2) 连接BM，BN，AN，CD.
由BB1⊥平面ABC，知ND⊥平面ABC.
又CD 平面ABC，
所以ND⊥CD，同理ND⊥DM，
所以S△BCM＝S△ABC＝××2×2＝1，V棱锥N-BCM＝S△BCM·ND＝×1×2＝.
因为CD＝＝＝，CN＝＝＝3，
MD＝BC＝1，MN＝＝，CM＝AC＝，
所以在△MCN中，cos ∠MCN＝＝，所以sin ∠MCN＝，
所以S△MCN＝CN·CM sin ∠MCN＝×3××＝.
设点B到平面MCN的距离为h，
则V棱锥N-BCM＝V棱锥B-CMN＝S△MCN·h，
所以h＝＝，
即点B到平面CMN的距离为.8．6.3 平面与平面垂直(1)
一、 单项选择题
1. (2022承德期末)从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A. 60° B. 120°
C. 60°或120° D. 不确定
2. 如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
3. 如图，AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上的一点(不同于点A，B)，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的平面角为( )
A. ∠PAC B. ∠CPA
C. ∠PCA D. ∠CAB
4. (2022武汉部分重点中学期末)在三棱锥S-ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O.
①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的( )心；
②若三条侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的( )心：
③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的( )心．
以上三个空依次填( )
A. 外，垂，内 B. 内，外，垂
C. 垂，内，外 D. 外，内，垂
5. 已知在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为( )
A. 30° B. 60°
C. 30°或150° D. 60°或120°
6. (2022沧州期末) 已知正四棱锥S-ABCD的体积为，底面边长为2，则下列说法中错误的是( )
A. 该四棱锥的侧面积为4
B. 棱SA与SC垂直
C. 平面SAB与平面SCD垂直
D. 二面角B-SA-C的余弦值为
二、 多项选择题
7. (2022郴州期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列命题中正确的是( )
A. 三棱锥A-D1PC的体积不变
B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为
C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
D. 二面角P-AD1-C的大小不变
8. (2022深圳期末) 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝，将△ABD沿BD折起，使点A到点A′，点A′不落在底面BCD内，若M为线段A′C的中点，则在△ABD翻折过程中，下列命题中正确的是( )
A. 三棱锥A′-BCD的体积的最大值为1
B. 存在某一位置，使得BM⊥CD
C. 异面直线BM，A′D所成的角为定值
D. 当二面角A′-BD-C的余弦值为时，三棱锥A′-BCD的外接球的半径为
三、 填空题
9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，点E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C的大小为45°，则BF＝________．
(第9题) (第10题)
10. 如图，已知矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A-BD-P的正切值为________．
11. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM将△ABC折成二面角，折后点A与点C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为________．
12. (2022天津东丽区期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为________．
四、 解答题
13. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，点M在线段CC1上，且A1B⊥AM.求：
(1) CM的长；
(2) 二面角B-AM-C的大小．
14. (2022咸宁期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AD⊥AB，CD＝2AB＝2AD，E为PD的中点．
(1) 证明：AE∥平面PBC；
(2) 若二面角P-BC-D的正切值为，求二面角B-AE-C的正弦值．
【答案解析】
8．6.3 平面与平面垂直(1)
1. C 解析：因为∠EPF＝60°，它与二面角的平面角相等或互补，所以二面角的平面角的大小为60°或120°.
2. C 解析：如图，过点A作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l，∠ACO＝60°.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sin θ＝＝·＝sin ∠ABC·sin ∠ACO＝sin 30°·sin 60°＝.
3. C 解析：因为C是圆上的一点（不同于点A，B），AB是圆的直径，所以AC⊥BC.因为PA⊥BC，AC∩PA＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又PC 平面PAC，所以BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC＝BC，PC∩AC＝C，所以由二面角的定义知∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．
4. D 解析：对于①，如图1，连接OA，OB，OC，由SO⊥平面ABC，可得∠SAO为SA与平面ABC所成的角，∠SBO为SB与平面ABC所成的角，∠SCO为SC与平面ABC所成的角，且∠SAO＝∠SBO＝∠SCO.因为AO＝，BO＝，CO＝，所以AO＝BO＝CO，即O为△ABC的外心；对于②，如图2，过点S在平面SAC内作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过点S在平面SBC内作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过点S在平面SAB内作SF⊥AB，垂足为F，连接OF，因为SO⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以AB⊥SO.因为SF⊥AB，SO∩SF＝S，SO，SF均在平面SFO内，所以AB⊥平面SFO.因为OF 平面SFO，所以AB⊥FO，可得∠SFO为侧面SAB与底面ABC所成角的平面角，同理可知，∠SEO为侧面SCB与底面ABC所成角的平面角，∠SDO为侧面SAC与底面ABC所成角的平面角，且∠SFO＝∠SEO＝∠SDO，因为OF＝，OE＝，OD＝，所以OD＝OE＝OF，即O为△ABC的内心；对于③，如图1，若SA⊥BC，SB⊥AC，因为SO⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥SO.因为SA∩SO＝S，SA，SO均在平面SAO内，所以BC⊥平面SAO.因为AO 平面SAO，所以AO⊥BC，同理可得OB⊥AC，即·＝0，·＝0，即·（－）＝0，·（－）＝0，所以·＝·＝·，即·（－）＝·＝0，则OC⊥AB，即O为△ABC的垂心.
5. D 解析：因为AB⊥β，l β，所以AB⊥l.因为BC⊥α，l α，所以BC⊥l.因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，所以l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D，如图，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°，则∠ADB＝60°，所以二面角的平面角的度数为60°或120°.
6. C 解析：如图1，由题意，得S四边形ABCD＝4，则·SO·S四边形ABCD＝，可得SO＝.而AC＝2且O是AC的中点，SO⊥AC，故SC＝SA＝2，即SC2＋SA2＝AC2.对于A，因为侧面为等边三角形，所以侧面积为4××2×2×＝4，故A正确；对于B，棱SA与SC垂直，故B正确；对于C，若E，F分别是AB，DC的中点，如图2，易知AB⊥平面SEF，DC⊥平面SEF，所以平面SAB⊥平面SEF，平面SCD⊥平面SEF，则∠ESF为平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角．又SE＝SF＝，EF＝2，所以∠ESF不是直角，故C错误；对于D，若G是SA的中点，连接OG，BG，如图3.由上易知OG⊥SA，BG⊥SA，而OG∩BG＝G，OG，BG均在平面OGB内，所以SA⊥平面OGB，即二面角BSAC的平面角为∠OGB且∠BOG＝90°，故cos ∠OGB＝＝，故D正确．
7. ABD 解析：对于A，因为BC1∥AD1，BC1 平面ACD1，AD1 平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等．又△ACD1的面积不变，所以三棱锥A-D1PC的体积不变，故A正确；对于B，因为BC1∥AD1，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，当点P与点B或点C1重合时，所成角最小为，当CP⊥BC1时，所成角最大为，故B正确；对于C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误；对于D，当点P在直线BC1上运动时，AP 平面BAD1C1，即二面角P-AD1-C的大小不受影响，故D正确．故选ABD.
8. ABD 解析：如图1，连接AC交BD于点O，连接OA′，取CD的中点N，连接MN，BN.对于A，当平面A′BD⊥平面BCD时，四面体A′BCD的体积最大，点A′到平面BCD的距离最大，此时在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝，则△ABD，△BCD都是等边三角形，则OA′＝OA＝OC＝，此时四面体A′BCD的体积为××2××＝1，所以四面体A′BCD的体积的最大值为1，故A正确；对于B，因为M，N分别为A′C，CD的中点，所以BN⊥CD，MN∥A′D，且MN＝A′D＝1.由题意，得∠A′DC∈，则∠MNC∈，当∠MNC＝时，MN⊥CD.因为MN∩BN＝N，MN 平面BMN，BN 平面BMN，所以当∠MNC＝时，CD⊥平面BMN.又BM 平面BMN，所以CD⊥BM，所以存在某一位置，使得BM⊥CD，故B正确；对于C，因为MN∥A′D，所以异面直线BM，A′D所成的角即为∠BMN或其补角，cos ∠BMN＝＝－，因为BM不为定值，所以cos ∠BMN不为定值，即异面直线BM，A′D所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为OC⊥BD，OA′⊥BD，所以∠A′OC即为二面角A′-BD-C的平面角，则cos ∠A′OC＝＝＝，所以A′C＝2，所以四面体A′BCD为正四面体，如图2，补全正四面体A′BCD为正方体，则正方体的棱长为，则这个正方体外接球的半径为＝，即四面体A′BCD的外接球的半径为，故D正确．故选ABD.
9. 1 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，易得AB⊥平面BCC1B1.因为C1F 平面BCC1B1，CF 平面BCC1B1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF.又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角，所以∠C1FC＝45°，所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1.
10. 解析：如图，过点A作AO⊥BD，交BD于点O，连接PO.因为矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，所以BD＝＝5.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.又AO⊥BD，AO∩PA＝A，AO 平面PAO，PA 平面PAO，所以BD⊥平面PAO.又PO 平面PAO，所以PO⊥BD，所以∠POA是二面角A-BD-P的平面角．因为AO＝＝，所以tan ∠POA＝＝＝，所以二面角A-BD-P的正切值为.
11. 90° 解析：结合题意可知AB＝1，AC＝1，BC＝1，∠ABM＝∠BAM＝∠BCM＝45°，所以AM＝MB＝MC＝，所以AM2＋MC2＝AC2，所以∠AMC＝90°.因为AM⊥BM，CM⊥BM，所以∠AMC为所求二面角的平面角，为90°.
12. 解析：因为E，F分别为棱AD，BC的中点，所以CF⊥EF，C1F⊥EF，所以∠CFC1即为平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，则在Rt△C1CF中，cos ∠CFC1＝＝＝，所以平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为.
13. (1) 连接A1C交AM于点D.
因为几何体ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC.
因为BC⊥AC，AC∩CC1＝C，AC 平面ACC1A1，CC1 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AM.
因为AM⊥A1B，A1B∩BC＝B，A1B 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以AM⊥平面A1BC，所以AM⊥A1C，
所以∠CAM＝∠CA1A.
又tan ∠CA1A＝＝＝，
所以CM＝CA×tan ∠CAM＝.
(2) 连接BD.
因为AM⊥平面A1BC，BD 平面A1BC，CD 平面A1BC，
所以AM⊥BD，AM⊥CD，
所以∠CDB即为二面角B-AM-C的平面角．
在△ACM中求得CD＝1，
所以△BCD为等腰直角三角形，
故∠CDB＝45°，即二面角B-AM-C的大小为45°.
14. (1) 如图，取PC的中点F，连接EF，BF.
因为E，F分别为PD，PC的中点，
所以EF∥CD，且EF＝CD.
因为AD⊥DC，AD⊥AB，CD＝2AB＝2AD，
所以AB∥CD，且AB＝CD，
所以EF∥AB，EF＝AB，
所以四边形ABFE为平行四边形，所以AE∥BF.
因为AE 平面PBC，BF 平面PBC，
所以AE∥平面PBC.
(2) 连接BD，设AB＝1，则BD＝，BC＝，CD＝2，
所以BD2＋BC2＝CD2，所以BC⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为PD∩BD＝D，PD 平面PBD，BD 平面PBD，所以BC⊥平面PBD.
因为PB 平面PBD，所以PB⊥BC.
又BC⊥BD，
所以∠PBD为二面角P-BC-D的平面角．
因为tan ∠PBD＝＝＝，所以PD＝2.
设AE，BF的中点分别为H，G，连接HG，CG，CH.
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB.
因为AB⊥AD，AD∩PD＝D，AD 平面PAD，PD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD.
因为AB∥GH，
所以GH⊥平面PAD，所以AE⊥GH.
因为AC＝CE＝，且H为AE的中点，
所以CH⊥AE.
故∠CHG就是二面角B-AE-C的平面角．
在△CHG中，GH＝1，CH＝，CG＝.
由余弦定理可得cos ∠CHG＝＝，所以sin ∠CHG＝.
故二面角B-AE-C的正弦值为.8．6.3 平面与平面垂直(2)
一、 单项选择题
1. (2022深圳期末)已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β成立的充分条件是( )
A. α⊥γ，β⊥γ
B. m∥α，m∥β
C. m∥α，m⊥β
D. m⊥n，α∩β＝m，n β
2. (2022咸宁期末)已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m∥α，则m⊥β
B. 若m⊥n，n⊥β，α⊥β，则m⊥α
C. 若m∥α，m∥β，则α∥β
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
3. 在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则下列结论中正确的是( )
A. 平面ABC⊥平面ADC B. 平面ABC⊥平面ADB
C. 平面ABC⊥平面DBC D. 平面ADC⊥平面DBC
4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论中正确的是( )
A. 平面ABD⊥平面ABC
B. 平面ADC⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDC
D. 平面ADC⊥平面ABC
5. (2022扬州期末适应性考试)如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC＝BC＝1，PA＝BA＝，PB＝2.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，则点B1在底面ABC上的射影H必在( )
A. 直线AC上 B. 直线BC上
C. 直线AB上 D. △ABC内部
二、 多项选择题
7. (2022无锡期终)已知四棱台A1B1C1D1-ABCD的底面ABCD是正方形，A1A⊥平面ABCD，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，则下列说法中正确的有( )
A. 直线B1B与直线D1D异面
B. 平面BB1D1D⊥平面AA1C1C
C. 直线B1D1与直线CD所成角的大小为45°
D. 该四棱台的体积为
8. (2022东莞期末)如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论中正确的是( )
A. BF与AE异面
B. BF∥平面ACD
C. 平面CDF⊥平面ABD
D. DE与平面ABD所成角的正弦值是
三、 填空题
9. (2022邵阳期末)如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
10. 如图，已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
11. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
12. 如图，在三棱锥P-ABC中，能证明AP⊥BC的条件是________．
①AP⊥PB，AP⊥PC；
②AP⊥PB，BC⊥PB；
③平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC；
④PB＝PC，AB＝AC.
四、 解答题
13. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝BC，M是CC1的中点，求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1.
14. (2022郴州期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．求证：
(1) EF∥平面PBC；
(2) 平面PBD⊥平面PAC.
【答案解析】
8．6.3 平面与平面垂直(2)
1. C 解析：对于A，α与β可能相交可能平行，不一定垂直，故A错误；对于B，α与β可能相交可能平行，不一定垂直，故B错误；对于C，m∥α，则m与过m的平面与α的交线（设为a）平行，由m⊥β，得a⊥β，从而可得α⊥β，故C正确；对于D，得不出n与α内两条相交直线垂直，从而不能得出线面垂直、面面垂直，故D错误．
2. D 解析：对于A，直线m可能在β内或平行于β或与β相交，故A错误；对于B，直线m可能在α内或平行于α或与α相交，故B错误；对于C，α与β不一定平行，故C错误；易得D正确．
3. D 解析：由题意知AD⊥BC，BD⊥AD.因为BC∩BD＝B，BC 平面DBC，BD 平面DBC，所以AD⊥平面DBC.又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC，故A，B，C错误，D正确．
4. D 解析：由平面图形易知∠BDC＝90°.因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD 平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，CD 平面ADC，AD 平面ADC，所以AB⊥平面ADC.又AB 平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.故A，B，C错误，D正确．
5. B 解析：因为AC＝BC＝1，PA＝BA＝，PB＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，PA2＋AB2＝PB2，即PA⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PA 平面PAB，所以PA⊥平面ABC.因为△ABC为直角三角形，所以△ABC外接圆的圆心在斜边AB的中点，所以三棱锥P-ABC外接球的即为如图所示的长方体的外接球，所以三棱锥P-ABC外接球的球心O在PB的中点，所以球心O到平面ABC的距离为PA＝.
6. A 解析：如图，连接B1C.因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.因为BC⊥AB1，AB1∩AC＝A，AB1 平面AB1C，AC 平面AB1C，所以BC⊥平面AB1C.因为BC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面AB1C.过点B1在平面AB1C内作B1E⊥AC，垂足为E.因为平面ABC⊥平面AB1C，平面ABC∩平面AB1C＝AC，B1E⊥AC，B1E 平面AB1C，所以B1E⊥平面ABC，则点E即为点H，所以点H在直线AC上．
7. BCD 解析：因为四棱台延长四条侧棱交于同一点，所以直线B1B与直线D1D相交，故A错误；因为A1A⊥平面ABCD，所以BD⊥A1A.因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因为A1A∩AC＝A，AA1 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C.因为BD 平面BB1D1D，所以平面BB1D1D⊥平面AA1C1C，故B正确；根据四棱台可知B1D1∥BD，所以∠BDC就是直线B1D1与直线CD所成的角，因为∠BDC＝45°，所以直线B1D1与直线CD所成角的大小为45°，故C正确；设四棱台体积为V，则V＝×1×（1＋4＋）＝，故D正确．故选BCD.
8. ABD 解析：由展开图还原正方体如图1所示，其中B，D分别为NP，AM的中点．对于A，因为AE∩平面EFPN＝E，BF 平面EFPN，E BF，所以AE与BF为异面直线，故A正确；对于B，如图2，连接BD，DG，因为D，B分别为AM，NP的中点，所以BD∥AP，BD＝AP.又AP∥FG，AP＝FG，所以BD∥FG，BD＝FG，所以四边形BDGF为平行四边形，所以BF∥DG.又BF 平面ACD，DG 平面ACD，所以BF∥平面ACD，故B正确；对于C，如图3，假设平面CDF⊥平面ABD成立，因为AG⊥平面ABD，AG 平面CDF，所以AG∥平面CDF.因为AG 平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，所以AG∥CD，显然不成立，所以假设错误，则平面CDF与平面ABD不垂直，故C错误；对于D，如图4，连接DN，直线DE与平面ABD所成的角即为直线DE与平面AMNP所成的角．因为EN⊥平面AMNP，所以∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成的角，设正方体的棱长为2，因为DE＝＝＝＝3，所以sin ∠EDN＝＝，即直线DE与平面ABD所成角的正弦值为，故D正确．故选ABD.
9. 2 解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，且DE⊥AB，DE 平面ABD，所以DE⊥平面ABC，故DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.
10. 解析：连接BC.因为二面角α-l-β为直二面角，AC α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝＝.
11. 2 解析：因为∠PCA＝90°，所以PC⊥AC.因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PC 平面PAC，所以PC⊥平面BAC.又CM 平面BAC，所以PC⊥CM，所以PM＝.又△ABC是等边三角形，CM的最小值为点C到AB的距离，即高h＝×4＝2，所以PMmin＝＝2.
12. ①③④ 解析：对于①，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，PB 平面PBC，PC 平面PBC，所以AP⊥平面PBC.因为BC 平面PBC，所以AP⊥BC，故①满足条件；对于②，AP⊥PB，BC⊥PB，无法证明AP⊥BC，故②不满足条件；对于③，因为平面BCP⊥平面PAC，平面BCP∩平面PAC＝PC，BC⊥PC，BC 平面BCP，所以BC⊥平面PAC.因为AP 平面PAC，故AP⊥BC，故③满足条件；对于④，取BC的中点D，连接AD，PD，因为PB＝PC，D为BC的中点，所以BC⊥PD，同理可得BC⊥AD.因为AD∩PD＝D，AD 平面PAD，PD 平面PAD，所以BC⊥平面PAD.因为AP 平面PAD，所以AP⊥BC，故④满足条件．综上，能证明AP⊥BC的条件是①③④.
13. 如图，连接A1B，交AB1于点P.
因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
所以四边形A1ABB1是矩形，
所以P是A1B的中点．
取AB的中点N，连接CN，PN，MP，
则NP∥CM，NP＝CM，
所以四边形MCNP是平行四边形，
所以CN∥MP.
又AC＝BC，所以CN⊥AB.
因为CC1⊥平面ABC，CN 平面ABC，
所以CC1⊥CN.
又AA1∥CC1，所以AA1⊥CN.
因为A1A∩AB＝A，A1A 平面A1ABB1，AB 平面A1ABB1，
所以CN⊥平面A1ABB1，
所以MP⊥平面A1ABB1.
因为MP 平面AB1M，
所以平面AB1M⊥平面A1ABB1.
14. (1) 如图1，取PC的中点G，连接FG，BG.
因为F是PD的中点，
所以FG∥CD，FG＝CD.
因为四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，
所以BE∥CD，BE＝CD，
所以BE∥FG，BE＝FG，
所以四边形BEFG是平行四边形，
所以EF∥BG.
又EF 平面PBC，BG 平面PBC，
所以EF∥平面PBC.
(2) 如图2，设AC∩BD＝O，则O是BD的中点，连接PO.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
因为PB＝PD，O是BD的中点，
所以BD⊥PO.
又AC∩PO＝O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
因为BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC.
