【北师大版八上同步练习】 第一章 勾股定理（培优）检测题（含答案）

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【北师大版八上同步练习】
第一章勾股定理（培优）检测题
一、填空题
1．如图，在中，，，，　 　．
2．如图，平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则BD的长为 　 　.
3．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为　 　米．
4．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是　 　毫米.
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是　 　．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=6，则BE=　 　.
二、单选题
7．已知分别为三角形的三条边，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．20
9．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH
C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF
10．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（　　）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
11．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
三、解答题
12．在△ABC中，点D在AB上，连接CD，已知AD=8，CD=4，BD=3，BC=5.
（1）求证：CD⊥AB
（2）求 AC的长.
13．如图所示的是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理.
（2）假设图中的直角三角形有若干个，你能运用图中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗 请画出拼后的示意图(不需要证明).
14．如图，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
四、作图题
15．如图所示的是由单位长度为1的小正方形组成的网格，按要求作图.
（1）在图①中画出一条长为的线段；
（2）在图②中画出一个以格点(小正方形的顶点)为顶点，三边长都为无理数的直角三角形.
五、综合题
16．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）
（1）的长为　 　．
（2）在网格中找到一格点C，使得，在图中画出并通过计算判断的形状
17．如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线 的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△CNB；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
18．阅读理解：
（1）【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：，
，
，（定角）
点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
2．【答案】2．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质
3．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
4．【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
5．【答案】
【知识点】最简二次根式；坐标与图形性质；勾股定理
6．【答案】1
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
8．【答案】A
【知识点】勾股定理
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
11．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
12．【答案】（1）证明：∵CD=4，BD=3，BC=5.
∴BD2+CD2=32+42=25，BC2=52=25.
∴BD2+CD2= BC2，
∴△ BDC是直角三角形，
∴∠BDC = 90°，
∴CD⊥ AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵AD=8，CD=4，
∴AC=.
∴AC的长为4
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
13．【答案】（1）解：如图①所示(答案不唯一).
根据梯形的面积公式可知梯形的面积为
(a+b)(a+b).
由梯形的面积=三个三角形的面积，
得(a+b)(a+b)=ab+ab+c2.
化简，得a2+b2=c2.
（2）解：画边长为(a+b)的正方形，如图②所示，其中a，b为直角边，c为斜边(答案不唯一).
【知识点】勾股定理的应用
14．【答案】解：在Rt△ABC中，AC= .
又因为52+122=132，
即AD2+AC2=CD2.
所以∠DAC=90°.
所以S四边形ABCD=SRt△ACD+SRt△ABC= ×3×4+ ×5×12=6+30=36
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
15．【答案】（1）解：(画法不唯一)如图①所示.
∵AC===，
∴线段AC即为所求.
（2）解：(画法不唯一)如图②所示.
△ABC的三边长分别为AB==，AC==2， BC==，
且 AB2+AC2=()2+(2)2=10，
BC2=()2=10，
∴()2+(2)2=()2，
∴△ABC即为所求.
【知识点】勾股定理的应用
16．【答案】（1）
（2）解：如图，由勾股定理可得：，点即为所求的格点，
由勾股定理可得：，
则，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
17．【答案】（1）证明：∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180﹣90°=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∴△AMC≌△CNB（AAS）
（2）解：由（1）知 △AMC≌△CNB，∴CM=BN=5，
∴Rt△ACM中，AC= ，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC= ，
∴AB= = =2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
18．【答案】（1），
（2）2
（3），
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
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