深圳市外国语学校高 2024 届高三模拟考试
数学·参考答案
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D B A D A C
5 5 2 i
1.【解析】由复数 z(2 i) 3 4i 32 42 5，可得 z 2 i .则复数
z的虚部是 1.
2 i 2 i 2 i
故选：C .
2. 【解析】因为 A 2,3,5 ，B 3,5,8 ，所以 A B 3,5 ，所以 A A B 3,5 ．则 A A B 的子
集个数是 4个.
故选： B.
x2 y2
3. 2 2【解析】双曲线 1的渐近线方程为 y x .但是渐近线方程为 y x 的双曲线方程可以是
9 4 3 3
x2 y2
1，所以 p是 q的充分不必要条件.
9 4
故选：D.
4【. 详解】由题意，b c 1 4 ,5 1 ，由 a与b c垂直，则 a b c 0，即1 4 3 5 1 0，解得 2 .19
故选： B.
50 5 40 3 10 3
5.【解析】所有人的平均工资为 4千元，
100
1
故该公司所有员工工资的方差为 50 4 5 4 2 40 8 2 3 4 10 6 3 2 4 6.8 .100
故选： A.
q3 a6. 6【解析】由 a6 8a3，可得 8，即 q = 2a ，故 C选项错误；3
a a q n 1 S a1(1 2
n )
又 n 1 ， n a1 2
n a 2a
1 2 1 n
a1 ，故 D 选项正确；
6
S a (q3
S a (2 1)
3 1 1)， S a (2
6 1) 6 16 1 ， 3 9，故 B 选项错误；S3 a1(2 1)
S a (q9 1) S S a2 (q12 q9 3又 9 1 ， 3 9 1 q 1)，S
2 a2 12 6 26 1 (q 2q 1)，故 S3 S9 S6 不成立，故 A 选项正确，
故选：D.
2
7.【解析】检测 2 次可测出 2件次品，不同的测试方法有 A2 种;
1 1 1
检测 3次可测出 2 件次品，不同的测试方法有C2C2C4种；
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检测 4次测出 2件次品;不同的测试方法有C12C
1A23 4 种；
4
检测 4次测出 4件正品，不同的测试方法共有 A4 种．
2 1 1 1 1 1 2 4
由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为: A2 +C2C2C4 +C2C3A4 + A4 =114 种.
故选：A.
x a x ln a
8.【解析】∵ f (x) ae ln 2 0∴ e lna ln(x 2) 2
x 2
x x ln a两边加上 得 e x lna ln(x 2) x 2 ln(x 2) e ln x 2
设 g(x) x ex，则其单增∴ x lna ln(x 2)，即 ln a ln(x 2) x
令 k(x) ln(x 2) x，则 k (x) 1 x 1 1 ∵ f (x)的定义域是 2,
x 2 x 2
∴当 x 2, 1 时， k (x) 0， k(x)单增；当 x 1, 时， k (x) 0， k(x)单减
∴当 x 1时， k(x)取得极大值即为最大值，且 k(x)max k( 1) 1
∴ lna k(x)max k( 1) 1，∴ a e即为所求.
故选：C .
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9 10 11
AD ABD ACD
9. X N 2, 2【解析】：对于 A：因为 且P X 6 0.4，所以 P 2 X 2 0.1，故 A 正确.
对于 B：共有 9个数，第 70 百分位数是第 7个数 16，故 B 错位
对于 C：在一元线性回归分析中可以用决定系数 R2来刻画回归的效果，若 R2的值越小，则模型的拟合效果越差，
故 C 错误；
对于 D： P A 0.3, P B | A 0.4 ,所以 P AB P A P B | A 0.12，又因为 P A 1 0.3 0.7，则
P AB P A P B | A 0.7 0.2 0.14，所以 P B P AB P AB 0.12 0.14 0.26，故 D 正确.
故选： AD
10.【解析】对于 A：当m / / ，m 时，两平面 ， 可能平行可能相交，所以 A 错误；
对于 B： ， ，两平面 ， 可能平行可能相交，所以 B错误；
对于 C：当 m， ， 时，
设 b， c，在 取一点 O，过 O分别作OB b B，OC c C，
则OB ，OC ，因为 m，所以m ，m ，所以OB m，OC m，
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因为 OB OC O，OB,OC 平面 ，所以m ，所以 C正确；
对于 D：当 m， n ，n∥ ， n// 时，可得m∥ 或m ，所以 D错误，
故选： ABD
11.【解析】对于 A:令 x y 1，得 f 2 2 f 1 f 1 ，因为 f 2 f 1 0，
所以 f 1 1 ，所以 A正确；
2
对于 B：令 y 1，得 f x 1 f x f 1 f x f 1 ①，所以 f 1 x f x f 1 f x f 1 ，
因为 f x 是奇函数，所以 f x 是偶函数，所以 f 1 x f x f 1 f x f 1 ②，由①②，
得 f x 1 2 f x f 1 f 1 x f x f x 1 ，即 f x 2 f x 1 f x ，
所以 f x 3 f x 2 f x 1 f x 1 f x f x 1 f x ，
所以 f x ， f x 是周期为 3的函数，所以 f 9 f 0 0，所以 B错误，C正确；
1
对于 D：因为 f 2 f 1 f 1 ，在①中令 x 0得 f 1 f 0 f 1 f 0 f 1 ，所以 f 0 1，
2
20
f k f 1 f 2 f 3 6 f 1 f 2 1 ，所以 D正确．
k 1
故选： ACD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 1
12． 13． 14．
4 3
2
2sin 36 cos36 cos 72 2sin 72 cos 72 sin144 1
12.【解析】 cos 72 cos 36
2sin 36 4sin 36 4sin 36 4 .
1
故答案为 .
4
OF OM 1
13.【解析】由题意，M 为 AC中点，所以有OM 为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且 ，
FA AB 2
c 1
即 可得 e c 1 1 ．故答案为
a c 2 a 3 3 .
1 1 1 1 1 1 2
14.【解析】M x ，M y y M ，又
M y得M y ，
x M x x M
1
可得M 2 2，即M 2，当M 2即 x 2y 时等号成立.
故答案为： 2 .
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
PO PD
15.【解析】证明：（1）连接 PH 交CE于点O，连接DO，则O为 PBC重心，所以： 2 ,由题: 2，
HO GD
所以DO //GH ，又DO 面CDE,GH 面CDE ,所以GH //面CDE .
（2）因为 AB, AC, AP两两垂直，以 A为坐标原点， AB, AC, AP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则： B(4,0,0)，H 2,1,0 ,M 0,1,2
2x y 0
设平面 AHM 的法向量为 n (x, y, z)，则 ，取 x 1,则n (1, 2,1) ;
y 2z 0
m (0,0,1) cos m ,n m
n 1 6
又平面 ABH 的法向量为 ,所以 m
，
n 6 6
设所求角为 30 30，则 sin . 故求二面角 B AH M 的正弦值是 .
6 6
16.【解析】（1）由题意知 ABC中， 3c b sin A 3a cosB，
故 3 sinC sinB sin A 3 sin AcosB，即 3 sin(A B) sin B sin A 3 sin Acos B ,
即 3(sin Acos B cos Asin B) sin B sin A 3 sin Acos B ,
所以 3 cos Asin B sin Bsin A 0 ，而 B (0, π), sin B 0，
故 3 cos A sin A 0，即 tan A 3，又 A (0, π)
2π
，故 A ；
3
（2）由余弦定理： BC b2 c2 2bccos A b2 c2 bc ,
又 S ABD S ACD S
1 1 1 bc
ABC ，所以 c ADsin 60 b ADsin 60 bcsin120 ,所以： AD 2 2 2 b c
BC b2 c2 bc 2bc bc b c 2 bc
所以： AD bc
bc 3 3 2 3bc bc .当且仅当b c时，取等号.
b c b c
17.【解析】由题可得： f x sin x x cos x a sin x，因为 f x 在 x 时，取得极大值，所以 f 0，
2 2
所以 a 1，所以 f x x sin x cos x . 所以 f (x) sin x x cos x sin x x cos x，
令 f (x) 0 ，则 x 0或 x .
2
x ,
时， f (x) 0， f (x)
单调递增， x ,0 时 f (x) 0， f (x)单调递减，
2 2
x 0,
时， f (x) 0
， f (x)单调递增， x , 时， f (x) 0， f (x)单调递减.
2 2
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f (x) 的单调递增区间是 , ,
0, ，递减区间是 ,0 , , 2 2
.
2 2
（2） h x 在 R上有 3 个零点，理由如下： h x x2 4x sin x 4cos x 4，
因为h(0) 0，所以 x 0是 h(x)的一个零点.
h( x) ( x)2 4 4( x)sin( x) 4cos( x) x2 4 4xsin x 4cos x h(x)，所以 h(x)是偶函数，
即要确定 h(x)在 R上的零点个数，需确定 x 0时， h(x)的零点个数即可.
①当 x 0时， h '(x) 2x 4xcos x 2x(1 2cos x)
令 h '(x) 0 1 ，即 cos x ，x 2kx或 x 2kx (k N ) .
2 3 3
x
2
(0, )时， h '(x) 0,h(x) 2 3单调递减，且
3 h( ) 2 0
，
3 9 3
x ( , 5 )时， h (x) 0， h(x) h(5 ) 25 2 10 3单调递增，且 2 0
3 3 3 9 3
h(x) (0, 5在 )有唯一零点
3
5
②当 x 时，由于 sin x 1， cos x 1.
3
h(x) x2 4 4xsin x 4cos x x2 4 4x 4 x2 4x t(x)
而 t(x) (5在 , )单调递增， t(x) 5 t( ) 0
3 3
所以 h(x) 0 5恒成立，故 h(x)在 ( , )无零点，所以 h(x)在 (0, )有一个零点，
3
由于 h(x)是偶函数，所以 h(x)在 ( ,0)有一个零点，而h(0) 0，
综上 h(x)在 R有且仅有三个零点.
1 1
18. 【解析】（1）由条件可得： PF PM ，则点 P 的轨迹为以 F ，0 为焦点，直线 x 为准线的抛物线，
4 4
故抛物线方程为 y2 x .
（2）①直线 AB与圆 N 相切,理由如下:
y y
设 P y 20 ，y0 、 A y 21 ，y1 、 B y 22 ，y2 ，则 PA 的方程为： y y 1 00 2 x y 2y y 0 ，1 0
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y y y y y y x y 2 x y y y y y 0 N 2 y y即： ，即 ，它是圆 的切线，则 1 01 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1，
y 21 y0 1
即 y 2 2 2 2 2 20 1 y1 2y0 y1 3 y0 0；同理： y0 1 y2 2y0 y2 3 y0 0，
2
即 y 21、 y2 为方程 y0 1 y2 2y0 y 2y 3 y 3 y 20 0的两根，则 y1 y2 02 ， y y 0 2y 1 1 2 y 2 y 0 1 0 .0 0 1
由上知：直线 AB 的方程为 x y1 y2 y y1y2 0，即 y 20 1 x 2y0 y 3 y 20 0，
2(y2 1) 3 y2 y20 0 1
则点 N到 AB 的距离 d 0 1，则直线 AB 与圆 N 相切.
(y20 1)
2 4y2 y20 0 1
2 2 4y 2 24y 0 y 0 1 0 4 y 0 1 y 2 3 2 y 20 0 1
②由以上结果知: AB 1 y y y 40 3y 20 3，
2 1 2y 2 2 20 1 y 0 1 y 0 1 y 20 1 2
y 20 1 y 20 2y 20 3 y 20 4
点 P y 20 ，y0 h y 0 3到直线 AB 的距离 2 ，
y 2 2 1 4y 2 y 0 10 0
4
1 y 0 3 y
4
0 3y 20 3
则： S PAB AB h ，令 y 20 1 t 1, 0 0 , 2 y 20 1 2 .
2 2t 2t 4 t 2 t 1 2
S 2
4 1 1
记 PAB f t 4 t 2 1
t
，
t t t 2
则：
f '(t) 2(t 4 2)(1 4 2 )(1
1 1 4
2 ) (t 2)
2 ( 1 22 3 )t t t t t t t
1 2 4 2 1 1 1 4 （ ) 2(t 2)(1 )(1 2 )
2
t t t t t t 2
(t 2) ,t
1 1 1 1 4
2
显然，
t t 2
0， 2 t 2 0 .t t
4 2
当 t 1 , 0 时， t 2
2
1 0，1 0，即 f ' t 0在 1 , 0 成立，
t t t
4 2 2 1 1 1
当 t 0 , 时， 2 t 2 1 1 2 2 t
4
2 0，
t t t t t t
当 t 0 , 2 2时，1 0， f ' t 0， t 2 , 时，1 2 0， f ' t 0 .
t t
则 f t 在 t 1 , 0 单增，在 t 0 , 2 单减， t 2 , 单增，而 f 1 f 2 27，
则 S PAB的最小值为 3 3，当且仅当 t 0或2，即y0 0或y0 3时取得最小值.
又 S 1 PAB ( PA PB AB ) 1，则 PAB 周长的最小值为6 32 .
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19.【详解】（1）因为 an 2n ，所以 a1 2,a2 4,a3 8,a4 16,a5 32，
则 B1 {i N
* | ai 1} ,B2 {i N
* | ai 2} ，所以 b1 0，b2 0，
又 B10 {i N
* | ai 10} 1,2,3 ，所以b10 3；
（2）由题可知 a1 1，所以 B1 ，所以 b1 0 .
若 a1 m≥ 2，则 B2 ， Bm 1 {1}，所以b2 0，bm 1 1，与{bn}是等差数列矛盾.
* *
所以 a1 1 .设 dn an 1 an n N ，因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以 dn N .
假设存在 k N*使得 dk ≥ 2 .设 ak t，由 ak 1 ak ≥ 2得 ak 1 ≥ t 2 .
由 ak t t 1 t 2≤ ak 1得bt k， bt 1 bt 2 k，与{bn}是等差数列矛盾.
所以对任意 n N*都有 dn 1 .所以数列{an}是等差数列， an = 1+ (n -1) = n .
（3）因为对于 n N*， Bn Bn 1，所以bn bn 1 .
所以 n bn ≤ n bn 1 n 1 bn 1，即数列 n bn 是递增数列.
先证明 S T .假设 S T ，设正整数 p S T .
由于 p S，故存在正整数 i p使得 p i ai，所以 ai p i .
因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以 ai 1 ≥ p i 1 .所以 bp i i 1， bp i 1 i .
所以 ( p i) bp i p i i 1 p 1， ( p i 1) b p i 1 p i 1 i p 1 .
又因为数列 n bn 是递增数列，所以 p T，矛盾.所以 S T .
再证明 S T N* .由题可知 S T N* .
设 q N*且 q S，因为数列{n an}是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数 j，使得 q j a j .令 j0 min{ j | q j a j} .
若 j0 1，则 q 1 a1，即 a1 q 1，所以 a1 ≥ q .所以bq 0，所以 q bq q T .
若 j0 1，则 j0 1 a j 1 q j0 a j ，所以 a j 1 q j0 1≤a0 0 0 j0 .
所以 bq j 1 j0 1，所以 (q j0 1) bq j 1 q j0 1 j0 1 q0 0 .
因为 (q j0 1) b *q j0 1 T ，所以 q T .所以N S T .
综上， S T N* 且 S T .
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{#{QQABLYQQoggoAJAAARgCUwGQCgAQkBGCACoGxBAMoAAASAFABAA=}#}深圳市外国语学校高2024届高三模拟考试
数学试题
（考试时间:120分钟 试卷满分:150分）
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
第一部分（选择题 共分）
一、单选题（本题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
定义两集合的差集:且，已知集合，，则的子集个数是（ ）个
A． B． C． D．
3．已知:双曲线的方程为,:双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．是的充要条件 B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件
4．已知平面向量，，，若与垂直, 则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
某公司有营销部门﹑宣传部门以及后勤保障部门，其中营销部门有人，平均工资为千元，方差为，宣传部门有人，平均工资为千元，方差为，后勤保障部门有人，平均工资为千元，方差为，则该公司所有员工工资的方差为（ ）
A． B． C． D．
已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（ ）种不同的测试方法
A． B． C． D．
8. 已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共小题，每小题分，共分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，有选错得分）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．一组数据的第百分位数为
C．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
D．设随机事件，已知事件发生的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，在事件不发生的条件下事件发生的概率为，则事件发生的概率为
10．已知两条直线和三个平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A． B．
C．是周期为3的函数 D．
第二部分（非选择题 共分）
三、填空题:(本大题共小题，每小题分，共分)
12. 计算:=
13. 椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，延长直线交线段于，若，则椭圆的离心率是
14. 记表示x、y、z中的最小值. 若x，，，则M的最大值为
四、解答题（本题共小题，共分，其中题分，题分，题分，题分，题分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分分）在三棱锥中，两两垂直，分别为棱的中点，点是线段的中点，且，
(1)求证:平面；
(2)当是线段中点时，求二面角的正弦值．
16.（本小题满分分）已知中内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且是角的角平分线，求的最小值.
17.（本小题满分分）已知在时，取得极大值.
(1)讨论在上的单调性；
(2)令，试判断在上零点的个数.
（本小题满分分）在平面直角坐标系中，过直线:上任一点作该直线的垂线，，
线段的中垂线与直线交于点.
(1)当在直线上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)过向圆:引两条切线，与轨迹的另一个交点分别.
①判断:直线与圆的位置关系，并说明理由;
②求周长的最小值.
19．（本小题满分分）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定: 若时，.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.
