福建省泉州市安溪第一中学2023-2024学年高一下学期5月份质量检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省泉州市安溪第一中学2023-2024学年高一下学期5月份质量检测数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-06 18:39:25 | ||
图片预览
文档简介
福建省安溪第一中学
2023-2024学年高一年下学期5月份质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．复数为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为
A． B．2 C． D．
3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则
A． B． C． D．
4．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
5．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于
A． B． C． D．
6．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
8．如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，满足，，则下列说法正确的是
A． B．
C．的虚部为2 D．
10．下面说法正确的是
A．多面体至少有四个面
B．棱柱所有的面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
11．在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是
A．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，长方体，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 （填：棱柱、棱锥、棱台其中一个）
13．已知向量，为单位向量，当向量，的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是 ．
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，是边的中点，，且，则的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
（1）求的值；
（2）记复数，求复数的模．
16．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
17．在中，角，，的对边分别为，，，其中为锐角，．
（1）求；
（2）设为边上的中线，若，，请选择以下思路之一求出的长．
思路①：利用
思路②：利用
思路③：利用
思路④：其它方法
18．如图，已知平面，，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）若点为的中点，求点到平面的距离．
19．在中，，，对应的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，，，，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值．
福建省安溪第一中学
2023-2024学年高一年下学期5月份质量检测
数学试题参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，
复数在复平面内对应的点所在象限为第二象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．【解答】解：在直角梯形中，，，，
显然，于是，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，，，，所以该平面图形的高为．故选：．
【点评】本题考查了直观图的画法与应用问题，是基础题．
3．【解答】解：在中，，，，
利用正弦定理：，整理得：．故选：．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值，正弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．【解答】解：如图，
作平面直角坐标系x﹣O﹣y，使A与O重合，AD在x轴上，且AD＝2，AB在y轴上，且AB＝2，
过B作BC∥AD，且BC＝1，则四边形ABCD为原平面图形，其面积为S＝．
故选：C．
【点评】本题考查利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，熟记画法是关键，是基础题．
5．【解答】解：如图所示，
圆锥的母线为，底面半径为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．故选：．
【点评】本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．
6．【解答】解：因为，所以由正弦定理得，
即，因为，，故（舍或，
所以，又，由得．故选：．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦公式与正弦定理的应用，属于中档题．
7．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
积水深9寸，水面半径为寸，
则盆中水的体积为（立方寸）．
平地降雨量等于（寸．故选：．
【点评】本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．
8．【解答】解：因，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，
不妨设的中点为，
则点也是，，，的中点，
则，同理可得：
，
则．故选：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题．
二．多选题（共3小题）
9．【解答】解：，，
，故正确；
，故正确；
，其虚部为0，故错误；
，则，
，故正确．故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，复数的概念，属于基础题．
10．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，多面体至少有四个面，正确；
对于，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，错误；
对于，棱台的侧面都是梯形，正确；
对于，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台，错误．
故选：．
【点评】本题考查棱柱、棱台、圆台的结构特征，注意多面体的定义，属于基础题．
11．【解答】解：依题意可知，所以，
对于选项，，，所以，
所以为钝角，
所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，选项错误；
对于选项，当时，，圆锥的高为，
以下分析选项：
侧面展开图的弧长为，所以圆心角，
所以，选项正确；
设圆锥的外接球的球心为，半径为，
所以，解得，所以外接球的表面积为，选项正确；
棱长为的正四面体如下图所示，
正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为，
设内切圆的半径为，则，
解得，所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内不可以任意转动，选项不正确．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
12．【解答】解：左侧几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以左侧几何体为棱柱．
故答案为：棱柱．
【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．
13．【解答】解：由定义可得向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为，故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的定义，考查平面向量数量积运算公式，属于基础题．
14．【解答】解：由及正弦定理，
得，即，由余弦定理，得，
又，所以，因为是边的中点，所以，
又，因为，所以，故，故，
由余弦定理得，
故，因为，所以，易知，
所以
，所以，故的长为．故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
15．【解答】解：（1）是关于的方程的一个根，
，即，
，则，，解得：，，得；
（2），，
，则．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
16．【解答】解：在中，，，所以，
由正弦定理：，得，
所以，
，
所以的面积为．
（Ⅱ）由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．即点，之间的距离为．
【点评】本题考查了正余弦定理和三角形面积的计算问题，属于中档题．
17．【解答】解：（1）由正弦定理，得，
又，所以，又为锐角，所以
（2）在中，由余弦定理得，
所以；若选择思路①
由，
得，解得；
若选择思路②
由得到，
即；
若选择思路③，
得．
若选择思路④，比照上述标准给分．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
18．【解答】（1）证明：平面，，
平面，而平面，
，又，点为中点，
，而，可得平面；
（2）解：取中点，连接，，
，，，点为中点，
，，得四边为平行四边形，
，
则直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
平面，为直线与平面所成角，
点为中点，，
，，，
，又，
，即直线与平面所成角为；
（3）解：以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，
以过在平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则由，取，得，
又，点到平面的距离为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．
19．【解答】解：（1）因为
，
所以，
由正弦定理，
再由余弦定理可得：，
即，又因为，所以；
（2）由题意知：，所以，
所以，
可得；
（3）根据柯西不等式：
，（当且仅当为正三角形时取等号），
即的最小值为48．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，及柯西不等式的应用，属于中档题．
2023-2024学年高一年下学期5月份质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．复数为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为
A． B．2 C． D．
3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则
A． B． C． D．
4．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
5．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于
A． B． C． D．
6．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
8．如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，满足，，则下列说法正确的是
A． B．
C．的虚部为2 D．
10．下面说法正确的是
A．多面体至少有四个面
B．棱柱所有的面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
11．在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是
A．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，长方体，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 （填：棱柱、棱锥、棱台其中一个）
13．已知向量，为单位向量，当向量，的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是 ．
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，是边的中点，，且，则的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
（1）求的值；
（2）记复数，求复数的模．
16．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
17．在中，角，，的对边分别为，，，其中为锐角，．
（1）求；
（2）设为边上的中线，若，，请选择以下思路之一求出的长．
思路①：利用
思路②：利用
思路③：利用
思路④：其它方法
18．如图，已知平面，，，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）若点为的中点，求点到平面的距离．
19．在中，，，对应的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，，，，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值．
福建省安溪第一中学
2023-2024学年高一年下学期5月份质量检测
数学试题参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，
复数在复平面内对应的点所在象限为第二象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．【解答】解：在直角梯形中，，，，
显然，于是，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，，，，所以该平面图形的高为．故选：．
【点评】本题考查了直观图的画法与应用问题，是基础题．
3．【解答】解：在中，，，，
利用正弦定理：，整理得：．故选：．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值，正弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．【解答】解：如图，
作平面直角坐标系x﹣O﹣y，使A与O重合，AD在x轴上，且AD＝2，AB在y轴上，且AB＝2，
过B作BC∥AD，且BC＝1，则四边形ABCD为原平面图形，其面积为S＝．
故选：C．
【点评】本题考查利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，熟记画法是关键，是基础题．
5．【解答】解：如图所示，
圆锥的母线为，底面半径为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．故选：．
【点评】本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．
6．【解答】解：因为，所以由正弦定理得，
即，因为，，故（舍或，
所以，又，由得．故选：．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦公式与正弦定理的应用，属于中档题．
7．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
积水深9寸，水面半径为寸，
则盆中水的体积为（立方寸）．
平地降雨量等于（寸．故选：．
【点评】本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．
8．【解答】解：因，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，
不妨设的中点为，
则点也是，，，的中点，
则，同理可得：
，
则．故选：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题．
二．多选题（共3小题）
9．【解答】解：，，
，故正确；
，故正确；
，其虚部为0，故错误；
，则，
，故正确．故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，复数的概念，属于基础题．
10．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，多面体至少有四个面，正确；
对于，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，错误；
对于，棱台的侧面都是梯形，正确；
对于，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台，错误．
故选：．
【点评】本题考查棱柱、棱台、圆台的结构特征，注意多面体的定义，属于基础题．
11．【解答】解：依题意可知，所以，
对于选项，，，所以，
所以为钝角，
所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，选项错误；
对于选项，当时，，圆锥的高为，
以下分析选项：
侧面展开图的弧长为，所以圆心角，
所以，选项正确；
设圆锥的外接球的球心为，半径为，
所以，解得，所以外接球的表面积为，选项正确；
棱长为的正四面体如下图所示，
正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为，
设内切圆的半径为，则，
解得，所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内不可以任意转动，选项不正确．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
12．【解答】解：左侧几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以左侧几何体为棱柱．
故答案为：棱柱．
【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．
13．【解答】解：由定义可得向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为，故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的定义，考查平面向量数量积运算公式，属于基础题．
14．【解答】解：由及正弦定理，
得，即，由余弦定理，得，
又，所以，因为是边的中点，所以，
又，因为，所以，故，故，
由余弦定理得，
故，因为，所以，易知，
所以
，所以，故的长为．故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
15．【解答】解：（1）是关于的方程的一个根，
，即，
，则，，解得：，，得；
（2），，
，则．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
16．【解答】解：在中，，，所以，
由正弦定理：，得，
所以，
，
所以的面积为．
（Ⅱ）由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．即点，之间的距离为．
【点评】本题考查了正余弦定理和三角形面积的计算问题，属于中档题．
17．【解答】解：（1）由正弦定理，得，
又，所以，又为锐角，所以
（2）在中，由余弦定理得，
所以；若选择思路①
由，
得，解得；
若选择思路②
由得到，
即；
若选择思路③，
得．
若选择思路④，比照上述标准给分．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
18．【解答】（1）证明：平面，，
平面，而平面，
，又，点为中点，
，而，可得平面；
（2）解：取中点，连接，，
，，，点为中点，
，，得四边为平行四边形，
，
则直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
平面，为直线与平面所成角，
点为中点，，
，，，
，又，
，即直线与平面所成角为；
（3）解：以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，
以过在平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则由，取，得，
又，点到平面的距离为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．
19．【解答】解：（1）因为
，
所以，
由正弦定理，
再由余弦定理可得：，
即，又因为，所以；
（2）由题意知：，所以，
所以，
可得；
（3）根据柯西不等式：
，（当且仅当为正三角形时取等号），
即的最小值为48．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，及柯西不等式的应用，属于中档题．
同课章节目录