华南师范大学附属中学 2024 届高三综合测试
数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．若 (2 + i)z = i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知θ ∈R ，则“ cosθ > 0 ”是“角θ 为第一或第四象限角”的 ( )
A．既不充分又不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
3．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40．若这两组数据的中位数相
等，则删除的数为 ( )
A．25 B．30 C．35 D．40
4． 等边 ABC 的边长为 3，若 AD = 2DC ， BF = FD ，则 | AF |= ( )
A 13 B 15 C 17． ． ． D 19．
2 2 2 2
5．某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含
量 M （单位：mg / L) 与时间 t （单位： h)之间的关系为： M = M e kt0 （其中 M 0 ， k 是正常数）．已知经
过1 h ，设备可以过滤掉 20% 的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近 ( ) （参考数据：
lg2 = 0.3010)
A．3 h B． 4 h C．5 h D． 6 h
6．将一副三角板拼接成平面四边形 ABCD （如图）， BC =1，将 BCD其沿
BD折起，使得面 ABD ⊥面 BCD，若三棱锥 A BCD 的顶点都在球O 的球面
上，则球O的表面积为 ( )
A． 2π B 7π 8π． C． D．3π
3 3
7．函数 y = 2cos x(0 < x < π ) 和函数 y = 3tan x的图象相交于 A、 B 两点，O为坐标原点，则 OAB 的面积
为 ( )
A 2π B 3π C 2π． ． ． D 3π．
3 3 2 2
8． 为样本空间，随机事件 A、 B 满足 P(A) = P(B) 1= ， P(A B) =1，则有（ ）
2
A． A B = B． P(A B) =1 C． AB = D． P(A | B) =1
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．设 a，b 为两条不同的直线，α ， β 为两个不同的平面，则下列结论不．正确的是 ( )
A．若 a / /b ， b / /α ，则 a / /α B．若 a / /b ， a / /α ，b / /β ，则 a / /β
C．若 a ⊥ b， a ⊥α ，b / /β ，则α ⊥ β D．若 a ⊥α ，b / /α ，则 a ⊥ b
10．已知函数 y = x + ex 的零点为 x1 ， y = x + lnx 的零点为 x2 ，则 ( )
A． x1 + x2 > 0 B． x1x2 < 0
C． ex1 + lnx2 = 0 D． x1x2 x1 + x2 >1
11．已知定圆 M : (x 1)2 + y2 =16，点 A 是圆 M 所在平面内一定点，点 P 是圆 M 上的动点，若线段 PA
的中垂线交直线 PM 于点Q，则点Q的轨迹可能为 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D． 抛物线
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图 1 三角形边长为 2，则第 n个图中阴
影部分的面积为 ．
13 2．已知 (x3 + )n2 的展开式中各项系数和为 243，则展开式中常数项为 . x
14．设实数 x 、 y 、 z 、 t 满足不等式1≤ x ≤ y ≤ z ≤ t 100 x z≤ ，则 + 的最小值为 .
y t
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15 1．（13 分）已知函数 f (x) = 3 sinωxcosωx sin2 ωx + (ω > 0) ．
2
π
（Ⅰ）若ω = 2 ，求 f ( ) 的值；
6
f (x) [π ,π ] f ( π（Ⅱ）若 在区间 上单调递减， ) = 0，求ω的值．
6 2 12
数学试题 第 2 页（共 4 页）
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16．（15 分）如图，边长为 4 的两个正三角形 ABC ， BCD所在平面互相垂直， E ， F 分别为 BC ，CD
的中点，点G 在棱 AD 上， AG = 2GD ，直线 AB 与平面 EFG 相交于点 H ．
（1）证明： BD / /GH
（2）求直线 BD与平面 EFG 的距离．
17．（15 分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为 p(0 < p <1)．现对该
产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验 10 次．记 X
为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为 a(a > 0) 元．
（1）①写出 X 的分布列；
②证明： E(X ) 1< ；
p
（2）某公司有意向投资该产品．若 p = 0.25，且试验成功则获利 5a 元，则该公司如何决策投资，并说明
理由．
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18．（17 分）已知函数 f (x) = ae x + sin x x．
（1）若 f (x) 在 (0,2π ) 单调递减，求实数 a的取值范围；
（2）证明：对任意整数 a， f (x) 至多有 1 个零点．
19．（17 分）已知抛物线Γ : x2 = 2 py( p > 0) ，过点 (0,4) 的直线 l 交C 于 P ，Q 两点，当 PQ与 x 轴平行时，
OPQ 的面积为 16，其中O为坐标原点．
（1）求Γ的方程；
（2）已知点 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，C(x3, y3 ) （ x1 < x2 < x3 ）为抛物线 Γ上任意三点，记 ABC 面积
为 S1 ，分别在点 A、 B 、C 处作抛物线Γ的切线 l1、 l2 、 l3 ， l1与 l2的交点为 D ， l1与 l3 的交点为 E ，
l2 与 l3 的交点为 F ，记 DEF 面积为 S2 ，是否存在实数λ，使得 S1 = λS2 ？若存在，求出λ的值，若
不存在，请说明理由.
数学试题 第 4 页（共 4 页）
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数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.A.2.C.3.B.4.D.5.A.6.C.7.D.8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABC.
10.BC.
11.ABC.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.5.(.
13.80
14.
1
5
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.解：因为f)=V5 sinxco-sin'or+2
1
2 sin 2wx-
1-cos2ox 1
x
·2分（每用对一个公式给1分）》
=V
sin 2cos2ox
3分
2
sin(2ax+)
4分
6
()当o=2时，f(x)=sin(4x+),
。。····5分
6
所以f()=sin
5π1
....
6分
6
62
()若)在区间后上单调递减，
则T≥-产=
8分
2
263
所以x严≥，
9分
203
因为0>0，
所0
00000象●0果g
10分
因为f八2)=0，
华南师范大学附属中学2024届高三综合测试数学参考答案
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所以-0+交=kπ，keZ,
11分
66
所以0=-6k+1,，k∈Z,
。。。。。。。。。。
12分
故0=1.
经检验，o=1满足题意
13分
16.(1)证明：因为E,F分别为BC,CD的中点，
所以EF //BD,
………1分
又EFC平面EFGH,
2分
BD丈平面EFGH,
。年·带
3分
H
所以BD//平面EFGH,
0。·。。。。··。4分
G
因为BDC平面ABD,
平面ABD∩平面EFGH=GH,·5分
D
所以BD1IGH.
·。·····。。6分
(2)解：由(1)知，BD/1平面EFGH,
知点B到平面EFG的距离即为直线BD与平面EFG的距离，··7分
连接EA,ED,
因为△ABC与△BCD均为正三角形，且E是BC的中点，
所以EA⊥BC,ED⊥BC,
000··。 8分
又平面ABC⊥平面BCD,
平面ABC⌒平面BCD=BC,
EA⊥BC,EAC平面ABC,
G
所以EA⊥平面BCD,
。。·。。。。。9分
因为EDC平面BCD,所以EA⊥ED,
故以E为坐标原点，EB,ED,EA所在直线分别为x,y,z轴建
2
立如图所示的空间直角坐标系，
则B2,0,0),F-1,5,0),G0,45,25
。···10分
31
3
所以丽=2,0,0)，F=(1,5,0,G=0,4W5,25
.........
3
11分
3
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),
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